2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)

1、1(2017 海淀二模)对于无穷数列 画，记 T =x|x=aja,i c j，若数列画满足：“存 在|T |，使得只要am-ak=t ( m, k 乏 N*且|m k|)，必有 a -ak+=t 则称数列|佝| 具有性质P(t).2 n n 2aT2n】5,n；3,判断数列叵是否具有性质IP?(n)求证：“T是有限集”是“数列 画具有性质P(0)”的必要不充分条件；(川)已知画是各项为正整数的数列， 且画既具有性质P 回,又具有性质PD,求证: 存在整数N，使得|aN,aN+,aN|,aN +|是等差数列.2(2017 海淀一模)已知含有n 个元素的正整数集有性质 回：对任意不大于|S(A)

2、|(其中S(A)=a, +a2+ an|)的正整数 罔存在数集 囚的一个 子集，使得该子集所有元素的和等于0.(I)写出回总的值；(n)证明：“帀却成等差数列”的充要条件是“S(A)=竺口 ” ；(川)若 S(A) =2017，求当凹取最小值时， 圃的最大值.3(2017 西城二模)设集合 IAn 巩1,2,3川,2n(n N ,n 2)| 如果对于 应的每一个含有m (m A4) I个元素的子集 回，回中必有H个元素的和等于|4n+勺,称正整数回为集合的 一个“相关数”A =a.a?, (a a2 an, n K3)(I)若数列边满足p(2T ?是否具有性质(I)当 13 时，判断 5 和

3、6 是否为集合 囚的“相关数”，说明理由;(H)若m为集合 囤的“相关数”，证明：|mn 3o|；(川)给定正整数巴求集合 九的“相关数”m的最小值.1,2,3川,2n(n3)全部填入一个 行凹列的表格中，每格填一个数字.第一行填入的数字依次为a1, a2|, an,记SnL冏 一 |=|印一b |+6 b |+山+&bn|.a2=3,a3= 5，写出|的所有可能的取值;(n)给定正整数 试给出Qa,川,k 的一组取值，使得无论bb,川，3填写的顺序如何，SI都只有一个取值，并求出此时S的值；(川)求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，应的所有取值的奇偶性相同.5(2017 东城二模)对于

4、 回维向量A = (a1,a2,川，a.)，若对任意|i? 1,2|I,帀|均有a = 0或板=1|,则称囚为回维E向量对于两个回维T向量区回,定义d(A, B)=?|ai- bi|(I)若|A = (1,0,1,0,1j,|B = (0,1,1,1,0)，求|d(A,B)|的值(n)现有一个同维T向量序列：只 7 入，人丄|,若可撅|且满足：|d(A,A+J = 2,i? N.求证：该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).(川)现有一个冈维E向量序列：|A,A2, A3L,若IA =(Uj)|且满足：I12个d(A,A+J = m,m?N*|, |i =1,2,3川|,若存在正整数j

5、使得Aj=(Q屮 Lfl),12个Aj为12维T向量序列中的项，求出所有的im.6(20 仃 东城一模)已知集合|人=佝卍2丄，an, a R,i =1,2,L , n，并且In兰 21.定义A%4(2017 西城一模)如图，将数字第二行填入的数字依次为(i)当归3时，T(A)=迟 - q |(例如:Ccj(I)若 |A =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,|M =1,2,3,4,5,集合囚的子集N满足：N 1 M |，且|T(M )=T(N”，求出一个符合条件的 冋；(n)对于任意给定的常数C以及给定的集合A=aa2丄，aj，求证：存在集合B=b,b2,L ,bj，使得|T(B)=T

6、(A)，且卜b=c(川)已知集合A =aa2,L , a2m满足：aieq申,i=1,2,L,2m 1,|m3 2a1=a,a2m =b|，其中|a,b?R为给定的常数，求|T(A)|的取值范围.7(2017 朝阳二模)各项均为非负整数的数列阻同时满足下列条件：冋=m| |(mw N*)|:|务兰n_1| |(n A2)|:回是a +a?卄II +an的因数(|n1|).(I)当m =5时，写出数列an|的前五项；(n)若数列an|的前三项互不相等，且In王3|时，囲为常数，求 回的值；(川)求证：对任意正整数 画， 存在正整数 回，使得|nM |时，囲为常数.中任意一个元素 同(|i二121

7、11, n|)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集 为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合LA为和谐集”.(I)判断集合1,2,3,4,5是否是 和谐集”(不必写过程)；(n)求证：若集合 囚是和谐集”，则集合0中元素个数为奇数；(川)若集合 囚是和谐集”，求集合 囚中元素个数的最小值.9(2017 丰台二模)若无穷数列国满足：巨，对于忖n 启 n(衣N*)，都有时-an=d(其中0为常数)，则称pa川具有性质“|p(k,n,d)|”.(n)若无穷数列 阳是等差数列，无穷数列TcJ是公比为正数的等比数列,an=bn+6|，判断莎是否具有性质“|P(2,1,0) |”，

8、并说明理由;?| aj- ai| =| a2- ai| +| a3- ai| +1 a3- a21) 1?i j?38(2017 朝阳一模)对于正整数集合A= a1,a2,|l(,an(n N1,n3 3),如果去掉其(I)若国|具有性质“|P(3,2,0)a2=3a4= 5,a6* a7+ a8= 18bi =C3=2 ,b3=G =8(川)设国既具有性质“|P(i,2,d1)又具有性质“P(j,2,d2)”，其中i，戶 N旦，叮互质，求证： 西具有性质10（2017 丰台一模）对于卄n E N，若数列世寸满足|Xn屮Xn列，则称这个数列为“K数列” I）已知数列：1, m+1 , m2是“

9、K数列”，求实数m 的取值范（H）是否存在首项为-1 的等差数列匹为“K数列”,且其前 n 项和满足n?若存在，求出Tajj的通项公式；若不存在，请说明理由;（川）已知各项均为正整数的等比数列 色川是“K数列”,数列11（2017 昌平二莫）设集合P如，伽,对数列N代N* ），规定:1若|T =0则Sr =0;2若T二乩，nJ，则ST= a.+an2+l_l+ank.已知等比数列卩an（nEN*） | a1= 1，且当|T =2, 3 |时，|ST=12|，求数列的通项公式;使ST=ak卅；B中最大元素为叵|，求证：|m王r +112（2017.1 石景山期末）集合M的若干个子集的集合称为集合

10、 M 的一个子集族.对于集合123111n的一个子集族 回满足如下条件：若|A壬 D,BAI，则IBDI，则称子集族D是“向下封闭”的.W2，门）Sn：加an 1n 1，试判断数列鱼是否为“K数列”，并说明理由.例如：当an=2nT=1,3,5时，Sr=印+a3+a5= 2 + 6+10 = 18（ii）已知数列an2, n= hn -12 ,n _21 100,且*k w N,存在T 9U(III)已知集合A匸U,B匸U,AP|B=0a - 3,SA SB设|A中最大元素为m,不是“K数列”,证明：对于任意的1（2017 海淀二模）（I）数列 面不具有性质|P| ；具有性质P（4）（n）（不

11、充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,122丄,T=1,0,1是有限集，但是由于所以不具有性质 P（0）（必要性）因为数列画具有性质匡）所以数列 亘中，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律：|ak,ak札 L ,為为一个周期 中的各项，所以数列| a*|中最多有 m -1 个不同的项，m, k 乏 N且m Ak，满足amak= 0，即am =ak所以一定存在一组最小的am 1二ak 1)am 2 ak 2,L , a2m k二am J,a2m k =am,L（I）写出一个含有集合1,2的“向下封闭”的子集族D并计算此时AD的值（其中冈表示集合A表示对子集族 叵中所有成员 囚求和）；（n）回是

12、集合1,2,3|n的任一“向下封闭的”子集族，对*AwD|，记k=max | A| ,f (k)二 max a (_1)AA起（其中 max 表示最大值），(i)求f (2);（ii）若凶是偶数，求f(k).由性质 P（0）的含义可得所以T最多有互个元素，即T是有限集（川）因为数列 叵具有性质叵勾，数列 亘具有性质叵 5!,所以存在 M ,NE N*，使得 a” p-a”，=2 , aNf-a”，=5，其中|p,q |分别是满足上述关系式的最小的正整数,若M cN，则取k=N_M，可得 a”* _aN，=2若M AN，则取k=M N，可得 aM* a”，=5记 M =maxM, N，则对于 |

13、和 |，有 aM和aM=2所以aM书p aM=(aMHqp aM十q)p)+(aM十q)pd(q_2)p)*L+(aM4p aM) =2qaM qp -aM-(aMpq -aM (pj)q)(aM(p)q -aM(p_2)q) L(aM-q-aM) =5p所以 aM 知=aM *2q=aM +5p|.所以|2q=5pL所以 q =5, p =2aM 2aM-2,aM -5aM =5所以X7k乏N， aM羊十一 aM *=2,aM书伙一 aM * =5|aM 2k二aM 2(k J)2-L-aM2kaM韦k=aM书(kJ)*5 =L =aM*5k ，取| N =M+5,U 忖N，所以，若间是偶数

14、，则 |aN卅=aN+k右是奇数，贝 VaN * =aN书d(k_5) =aN 45+(k _5)=aN+5 + (k _5) =aN+ kaN :：k =aNk所以 aN,aN+,a2J|,aNAl 是公差为 1 的等差数列2(2017 海淀一模)解：(I)&=1,比=2(n)先证必要性因为丈壬2，又应应亘成等差数列，故 亘，所以|S(A)再证充分性由性质|P(2), P(5)的含义可得g NaM，p* _aM，*=2,aN，4q4k aN，4k=5aM卡一 a” =5，显然P式q由性质 P(2), P(5)的含义可得P NaMi：；pk aM k=2，aN -q k aN k =5又p,

15、q疋满足 a” 4p a” =2aM-a” =5的最小的正整数,k N因为 ai心2 2p丄，且 回为最小的正整数 依题意 p A3 贝Uai +a2 + +ap 丄兰 1+2 + +2p上=2p丄 一 1，又因为 aal can故当 k(2p丄_1,ap)时，k不能等于集合 囚的任何一个子集所有元素的和 故假设不成立，即Fm兰2m(m=1,2，,n)成立.因止匕2017=a, +a2+ +anW1+2+2n=2n-1即 12n2018，所以 |n 兰 11 因为 S =2017，贝Ua1+a2十务=2017 爲 若2017anan-1时，则当 (2017 an,an)时，集合 H 中不可能存

16、在若干不同元素的和为凶,此时可构造集合 A =1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009因为当|2,2 十 1|时,闵可以等于集合|1,2中若干个元素的和, 故当22,22+X22+2,22+3时，旧可以等于集合1,2,22中若干不同元素的和,故当|k壬28,28+1,28+ 2川,28+255时，k可以等于集合|1,2,|,28|中若干不同元素的和，故当|497 +3,497+4,山,497+511时，k可以等于集合|1,2川，28,497中若干不同元素的和，故 当k乏1009,1009十1,1009+2,山,1009+1008时， 因 可以等 于集合1川28,中若干

17、不同元素的和0 9 所以集合 A =1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009满足题设，所以当 n 取最小值 11 时，应的最大值为 1009.故 2017 an启 an1即 an兰 10093( 2017 西城二模)解：(I)当|n =31时，|人=123,456,14n +1 =13|. 1 分1对于 固的含有个元素的子集|2,3,4,5,6|,因为|2+3+4+5帀,所以5 不是集合 A 的“相关数”.2 分2囚的含有个元素的子集只有|123,4,5,6,因为 |1+3+4+5=伺,所以是集合囚的“相关数”.3 分(n)考察集合 區的含有ln + 21个元素的子集

18、|B=n1,n,n +1川,2n. 4 分B中任意 0 个元素之和一定不小于|(n _ 1)十n十(n十1)十(n +2)=4n + 2.所以|n+21 一定不是集合 囲的“相关数”.6 分所以当|mn十21时,西一定不是集合 囤的“相关数”.7 分因此若画为集合区的“相关数”，必有血n +3 .即若冋为集合也的“相关数”，必有|m -n -3.8 分(川)由(n)得 mn +3 .先将集合庄的元素分成如下n 组：G =(i,2 n+1i) (1wiwn).对頊的任意一个含有 ln+31 个元素的子集 0，必有三组Cuqq|同属于集合P .10 分再将集合瓦的元素剔除回和叵n后，分成如下匚1组

19、：Dj=(j,2n_j) (1bi，记ai,nnnn则S=无|aibi|=送（aibi）=无ai-为b = A -B. 9分yi二1imim因为A + B=：Z j =2n（2n十1）=n（2n +1）i=12Bbi,其中i =1,2,HI, n丨又因为A + B与AB具有相同的奇偶性,所以 =A_B与凹的奇偶性相同,冋EZI冋nnnnnnSnSn二(b -aj Q-aj =( bb)-( aj aji Ji 1i Ji 4i ii 4 若在两种填法中k都位于同一行,I- 1nn则0在Sn+Sn的表达式中或者只出现在瓦bi+IZb中，或只出现在- im 4nnZ ai+Z a：中，且出现两次,

20、i =1i=1若在两种填法中k位于不同行，所以AB与巴具有相同的奇偶性.11 分所以 色|的所有可能取值的奇偶性相同.解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的13分的值不变.考虑如下表所示的任意两种不同的填法,nSn=送 |ai bj丨,i丄3 3曰E3E39 分妨设ajc batb，其中i =1,2,川,n则对叵I而言，在Sn+S的结果中得到Ek11 分则k在Sn+S；的表达式中在nnZ ai中瓦a中各出现一次,imi=1则对叵而言，在Sn+sn的结果中得到0.由 得，对于任意|k 可 1,2，川,2n ,Sn+Snl必为偶数.5( 2017 东城二模)解：(I)由于卜=(1,0,1,

21、0,可,|B =(O,1,1,1,0,由定义nd(代B) =?| ai- b |，可得|d(A, B) = 4|. 4 分i=11-1(n)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列|A1,A2,A3,L,Am|,使得|A=(1,1,1,1,1), I Am=(0,0,0,0示.因为向量A = (1,1,1,1,1的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设囚的第|i(i =1,2,3,4,5个分量3变化了|2n厂11次之后变成回, 所以将R中所有分量尬变为冋共需要(2山-1) + (2 n2- 1)+(2 “3- 1) + (2帀-1) + (2门5-1)=2(n1+ n2+ n3+

22、n4+山-2)-1次，此数为奇数.又因为|d(A,A+1)=2,i?N ，说明 囚中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到 匹，所以共需要改变数值|2(m1)次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维S向量|(o,o,o,o,o). 9 分(川)此时|m =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. 13 分易见当冋为 12 的因子|1,2,3,4,6,12时，给(1 分).答出|m = 5,8,10|给(1 分).答出|m = 7,9,11中任一个给(1 分)，都对给(2 分)6（2017 东城一模）解：（I）由于|A =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,M =1

23、,2,3,4,5,所以|N =6,7,8,9,10*, | N =5,6,7,8，町,|N =4,5,6,7,8N =3,4,5,6,7门,| N =2,3,4,5萌，回答其中之一即可.3 分（n）若集合A=a1,a2,L ,a“，如果集合H中每个元素加上同一个常数 出，形成新所以，对于表格的所有不同的填法,Sn所有可能取值的奇偶性相同.13 分(川)由于|m3 2T(A) = aj+(a3aj +(a4aj +L +(a2m aj*(a3 a2)*(a4 a2)*L *(a2ma2)+(a4比)+1+(a2m a3)M*(a2m a2m)=(2m-1)ai-(2m3)a2-L -am+am*

24、+L +(2m- 3)a2mj+ (2 m1)a2m=(2m1)(a2mal) *(2 m-3)(a2ma2)*L+ (am半 一am)=(2m1)(b a) + (2m-3)(a2m-a2)+L +(amj1-am) . 11 分由于0 a2ma2 b a, v a?m/ a3vb - a,0a2m_a4b_a,M0 cam卡-amCb-a.所以(2m 1)(b a) 3,m +1十2（n _2）二巴一三十2都为整数，所以|m =3n n综上，m的值为|2,3,4|.8 分（川）对于n剖，令Sn =ai+a2+川+a“Snan 1Snn_Sn“彳nn n又对每一个n，鱼都为正整数，所以一nS

25、nd1n+1兰鱼兰兰 =mn1出现m -1个.故存在正整数M m当|nM |时，必有竝=蛍成立.n +1 nSn +Snn+1n_S S_(n 1)SnS_Snan 1= Sn 1- Sn =- Sn =nn从而Sn 2an 2 an 1 Snan 2 (nT)an 1an_ an 1an 1 -n 2n 2n 2n 2由题设知Ian 2 -an 11n 2： ：，又Sn 2n 2及an 1均为整数,宝=竝=里=常数.n n+1 n+2从而an=Sn卅_Sn_Sn=色=常数nn故存在正整数M， 使得in xM|时，am为常数 .分8（2017 朝阳一模）解：（I）集合1,2,3,4,5不是 和

26、谐集”.3 分（H）设集合A =al,a2Lan所有元素之和为Ml.由题可知，M - a（i = 1,2,|, n）均为偶数,因此ai（i= 1,2川|,n）的奇偶性相同（i）如果回为奇数，则風（|i = 12山,n|）也均为奇数,由于|M二a1+ a?+川+a，所以0为奇数.（ii）如果M为偶数，则ai（i二1,2|,n）均为偶数,，其中“曲”至多当时，则所以，故此时设阿二2bj，则阴,d,川,0也是 和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数综上所述，集合A 中元素个数为奇数.8 分（川）由（n）可知集合A中元素个数为奇数，当|

27、n = 3时，显然任意集合ai, a2,ag不是 和谐集”.当n = 5时，不妨设a1 a2 a3 a41，m2_（m +1） 1，解得|m 11;解得|m V -1|或|m 2 .所以|m A2 |，故实数 回的取值范围是|m21.4 分（H）假设存在等差数列0符合要求，设公差为 0，则區由a1 = -1，得S = -n +2d，由题意，得-n +n（: “d弓n2一n对 n*均成立，即（n- 1）d n当 |n 二 11 时,|d 61;所以I ian -j丄_an :id1,12 分所以具有性质“P(ji,i +2,UdJi13 分6 分I,又q0，所以|q=厶4若 Ka|具有性质“ |

28、p（2,i,o）,贝Uan卡一an=0 ,n 31.因为 a2=9，a4=121，所以|a2式 a41，故画不具有性质“ |P（2,1,0）（川）因为 印 j 具有性质“ |P（i,2, dj因为an具有性质“ |P（j,2,d2）因为i, j N,亘,回互质,所以由得am；jiamjd1;由，得am十=am+泊2,所以 am+ jd1=am+id2,即|d2=jd10 分11 分得lq，故 Cn=2,n启2.,n32.当更时，P才I,因为=1+，所以归1，与迁;1矛盾，故这样的等差数列 耐不存n 1n 1 |-11在. .8分（川）设数列 画的公比为 回，则|务=眄 5 ,因为|an|的每一

29、项均为正整数，且 卜讦一 an=anq an=an（q 1）1 A0, 所以怙0 ,，且|q 1|.因为 an-ianq（anan_1）anan_1,所以在an-an中，|a2-ai”为最小项.1111同理，在2a-2anA中，“2a2一尹”为最小项.由 |an|为K 数列”，只需 a21,即 a1(q1)=1 ,由数列|an|的每一项均为正整数，可得|a1（q-1） =2所以 a1=1,q =3 或 a1=2,q =2 当 a1=2,q =2 时，an=2“，贝所以数列|b不是“ K 数列”.综上：当|an：3n，时，数列|bn|为“ K 数列”，11二已2-二22所以当 at=1,q =3 时，an=3 山令 Cn=bn十一 bn（n 丘 N ），则3nn 1n +ni33n2n +1Cn二-3n 2 n 1 (n 1)(n2)则 bn =八2n32n 1(n +2)( n +3) (n +1)( n +2)3n/n28 n6on 2 (n 1)(n 3)是“ K 数列”，且“”为最小项,所以所以因为所