双曲线习题精选精讲

1、双曲线习题精选精讲(1) 双曲线定义与椭圆相伴相离 .双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1. 按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数(小于两定点间的距离)，而椭圆则要求动点到两定点距 离之和为常数(大于两定点间的距离)；e (e 1),而椭圆则要求动点到一个2. 按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2其中a, b, c依次表示双曲线.而椭圆则要求定点和一条定直线的距离之比为常数e (0 eB.1 e VsC.1ek=2.若

2、I与双曲线的两个交点分别在左右【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线I的倾斜角为a,双曲线渐近线l与双曲线的两当3a时直线.由m的倾斜角为B .显然。 个交点分别在左右两支上2.-4 -5 -tan tan2亠42幵ae25.双曲线中e 1, 故取e T5 .选D.(3) 几何法一一使数形结合带上灵性2I例8】设P为双曲线x2 1

3、2 1上的一点，Fi,F2是该双曲线的两个焦点，若| PFi |:|PF2I 3: 2，则PF1F2的面积为(12C.12J324虚半轴和半焦距分别是：【解析】双曲线的实、临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.请看下例:(4)设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求【例9】双曲线X21的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为A. y 2x 1B.y 2x 2 C.2x 3D.2x【解析】设弦的两端分别为A ，B x2,y2.则有:弦中点为(2,2 2X1X22y1*y2X1X2X2X1121)，二X1X2y

4、1y24.故直线的斜率k2X1X2X1X2y1y2则所求直线方程为：y 1 2x2 y 2x 3，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替 而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用 .不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2【例10】在双曲线X2 y-21上，是否存在被点 M( 1, 1)平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”【错解】假定存在符合条件的弦的手段，会有如下解法:AB,其两端分别为：A( xi,yi) , B( X2, y2).那么:2X12X21

5、2尹11 2尹X-IX2X-IX212 y1y2y1y2- M( 1,1)为弦AB的中点,X1X2代入1 :y22 X1X2y1y20,kABy1 y22X1 X2故存在符合条件的直线 AB,其方程为:2X 1 .-1 -11 -这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了:2其一：将点 M( 1, 1 )代入方程X221，发现左式1=1-2- 1，故点M( 1 , 1)在双曲线的外部；其二:2所求直线AB的斜率kAB 2，而双曲线的渐近线为 y逅X 这里J2 P 2 ,说明所求直线不可能与双曲线相交,当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件【正解】在上述解法

6、的基础上应当加以验证X22y22x1 2x2122x 122x24X 3 0这里16 24p 0,故方程(2)无实根,也就是所求直线不合条件此外,上述解法还疏忽了一点：只有当X1X2时才可能求出 k=2.若X1X2,必有y1y 0 .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件 结论；不存在符合题设条件的直线(5)设参消参一一换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量 这就要用到参数法，先设参，再消参 .【例11】如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线 且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.(I)求双曲线(n)若过点FC的标准方程；的直线m与双曲线C的左右.要从中理

7、出头绪,l父X轴于点Q，点不能不恰当地处理那些非主要的变量,P是I上的一点，已知I PQ | | FQ | 1 ,两支分别交于A、B两点，设FB FA，当m6,）时，求直线m的斜率k的取值范围.【分析】第（I）问中，线段 PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（n）中，直线 m的斜率k是主要变量，其它包括入都是辅助变量.斜率k的几何意义是有关直线倾斜角0的而后将参数入用0的三角式表示，是一个不错的选择正切，所以设置直线 m的参数方程，t1,【解析】（I）设所求双曲线为:由 I PQ I 1，得 pFP的中点为c2

8、 a2 2根据（1）与（2）2*其左焦点为2,1)；由 |FQ| 1 cF （-c。0）;左准线:a2b2c. 1a2a2 1二，丄.代入双曲线方程:22a4c ac24c2a2cb4a2b2,2 所求双曲线方程为x2y2 2.（n）设直线m的参数方程为:2 tcoscos2t2 .那么已知直线uurFBuuarFA.注意到（4）代入sec2t12 tcosy tsin代入x22 得:2tsin 2 t cos24t cos0时,Q16cos28 2cos2t2t1t24coscos 22cos2m与双曲线C的左右两支分别交于12t：5):508f 0B两点,uur _FB与FA同向,uur相

9、异二实根，设为0，.于是:1 t2 t111t2t； t12t1t2t16,）上是增函数,4coscos2tan2492cos2t12t2址2248cost1t2249 2cos2t1 t249址2621 50cos494949双曲线2的渐近线斜率为1，故直线m与双曲线的左右两支分别交必须k1,1 .综合得直线m的斜率k的取值范围是k1,1,1 .7双曲线1已知中心在原点，顶点 Ai、A2在x轴上，离心率 AiPA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、歹迺的双曲线过点3N,问：是否存在直线P(6, 6)(1)求双曲线方程.(2)动直线I,使G平分线段MN，证明你的结论.I经过.解(1)如图，设

10、双曲线方程为2Xa22y =1b262由已知得qa62b21,e2a2b2a221亍解得21=1122a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为 90)、( 3, 0), 其重心 GMN，设(2)P、Ai、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,假设存在直线I，使G(2，2)平分线段M(xi,yi), N(X2,y2).的坐标为(2, 2)则有Xiyiy24412xj 9y1210812x22 9y22108yiy2XiX2124 , kI=4 I 的方程为9331y1l 1/o a2 IIx4y=3(X- 2)+2,由2 212x 9y 1084,消去 y,整理得 X2 4x+28=0/ A=16

11、 4X 28 0, 所求直线y 3(X 2)I不存在。22.已知双曲线X2y1,问过点A (1, 1)能否作直线I ,使I与双曲线交于P、Q两点,2并且A为线段PQ的中点?若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由。错解 设符合题意的直线I存在，并设P(Xi,X2)、Q(X2,y2)2Xi则2X22Yi222为线段PQ的中点,(I)(I)得(XiX2)(XiX2)1-(YiY2 )( Yiy2)(3)因为A( I，I)(2)所以XiX2若XiX2 ,则直线I的斜率yiy22 (4)2 (5)yiy2XiX2(4)、( 5) 检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。剖析 在(3)式成立的前提

12、下，由X22x 12y2得 2x 4x 30J 12将、代入(3)XiX21-(Yi 2)3已知点解：(I)2所以符合题设条件的直线I存在。其方程为2x y I 0两式可推出 式，但由 式不能推出 (5)两式，故应对所求直线进行 应在上述解题的基础上，再由根据0,说明所求直线不存在。2Y2若过N的直线I交双曲线于C、D两点，且CD2 仝1得2(I，2),过点N的直线交双曲线设直线AB: y k(x 1)2代入X2令 A(XI，yi)，B(x2，y2)，贝U xi、ABX2是方程的两根彳IbIB两点，且ON (OA OB) (1)求直线 AB的方程;0,那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？(2 k2)x22k(2 k)x (2 k)2202 k20 且 x1 x22k(2 k)2 k2 1 ON (OA OB)k(2 k) k22 k = 1(2)将k = 1代入方程(*)得Cd Ab1, 0) , B(3, 4) (x 1) 2 即 y 3X3X46 ,X3X4N是AB的中点 AB方程为:X2 2x 30x代