例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

1、例谈放缩法”证明不等式的基本策略江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军215101近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的 一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基 本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性。放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往 往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试 题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮

2、助。1添加或舍弃一些正项（或负项）2例1、已知an =2n -1（n亡N ）.求证:邑+聖+ .+电(n亡 N*).23a2a3aH1证明：亡具_1_-2_2(2心-1)11、111,. c-322込-3-歹，"1,2，"3(1+2 +23 222223223.鱼+鱼+ + an' a2a3an 卅).1£直+亜+23a2a3an n+ <-(n 迂 N an 十2'使不等式一边放大或缩小，2-2，从而是使和式得若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要， 有时需要舍去或添加一些项

3、， 利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 到化简.1 1 * >n +莎匚(n"N)2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x)= 一，求证：f (1) +f (2) + +f (n)1+4x4n11证明：由f（n）=存-耐'-尸:班11 1 得 f (1) +f (2) + +f (n) >1十 1+-+1J2 212、眩2 2n=n 1 (1 +丄+ 丄 + =n 丄(n 丘 N *).< 2 422n+ 2、 丿此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.

4、若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一 变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分 母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩,证明:后裂项(或先裂项再放缩)n已知an=n，求证：舀nc+i寸(k 1)(k +1) ( Vkn)n=1+Zk=2不-1)(k+1)爲 U(k 1)k(k + 1)(P(k-1) V (k+ 1)=1 +1 +2Vn7(n+1)1< 2+旋 < 3.2本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩,有的放矢，直达目标4、放大或缩小因式”例4、已知数列an满足an十2 1=an,0 c

5、aj 兰一，求证:2n 1Z(ak-步叽 <-证明 T0<a1#,an厂总 a2=a11 1 1辽“贰山当心时*ak/a3兰花,n 1 n 1 1- 2(ak ak#ak 八忘2(ak 一比十"石佝an 十)"3?n本题通过对因式ak七放大，而得到一个容易求和的式子Z (ak -ak + ),kT最终得出证明.5、逐项放大或缩小n(n +1)例5、设an =用2 + J矛3 + J丙+ Jn(n+1)求证：证明： Jn(n +1) > Jn2 =n Jn(n +1) v J(n 冷)2 = 2n 1<an冲222n +1<2,c c1 + 3

6、+(2n +1) n(n +1)1+2 +3 + n <an <-二 n < Jn(n +1)y"1)本题利用n V Jn(n +1) v 2n十1对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项,放缩另外的项;例6、求证:7<41n(n 1)n 13+川+±£=4+二丄+2+丄+<1 +（丄12 22 32n222 2此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根 据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知an=

7、5n-4，证明：不等式J5amn Jaman>1对任何正整数m,n都成立.证明：要证 J5amn Jaman >，只要证 5amn >ama因为amn=5mn 4 , ama(5-4)(5n 4) =25mn 20(m +n) +16 ,故只要证5(5mn -4) >1 +25mn -20(m +n) +16 + 2Jaman即只要证20m +20n -3aman因为 2jaman <am +an =5m+5n-8 c5m+5n-8+(15m+l5n-29) =20m + 2On-37,所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2jaman <a

8、m +an放大即可.8先适当组合，排序，再逐项比较或放缩例8、.已知i, m、n是正整数，且 1 < i< mv n.(1)证明：niAm < mA； ; (2)证明：(1+mn> (1+n)m证明:(1)对于1 < i w m,且Am:Amim m 1 m _i +1=T 丁T，同理mm mm由于m< n,对于整数k=1,2，所以A iA ia； >Am,即miAn>niAmnm由二项式定理有：i 1,m -(1 + m)n=1+C 1 m+C n m2 + +C ；Ai c min n(m i+1),n -i +1m k>m、m“_1_

9、 22_ m(1 + n) =1+C mn+C mn + +C m由(1)知 mA n > niA m (1 < i< mv n），而Ai i Ci = Am Ci C m =)匕 ni!2 2 2 2n, m Cn >n Cm，mncn > 0,22m mn+C mn + +C m n ,二 micin> niCim(1 < m< n )-m0C0= n0cn=1, mC1= ncm=mm m" m mm+ m 十、cm Cn > nCm，m Cn > 0，- 1+Cn m+C2 m2 + +C n mn> 1+C即(1 + m)n> (1 + n)m 成立.以上介绍了用放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征 选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以 化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得 不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。