专题4整式的乘除复习(解析版)

1、专题1.3整式的乘除章末重难点题型12 / 27考点7单项式柔单项式考点12乘法公式挥史题考点g单项式乘多项式 考点2幕的混合运算考点9妥©式乘客项式考点2巧用导的运算法则进行筒瘦i一算考点4寓的逆运算署点11利用乖亍去公式求值着点5巧不熹的垂篁法则比轴大小乘除考点10时配筒求俏考点1零:旨数层未二负?有数寻若京6星的运翦中的新定2词更M孙萌】【考点1零指数哥和负整数指数哥】【方法点拨】 零指数备：任何不等于 0的数的0次哥都等于1.即a0 1（aw0）负整数指数备：任何不等于零的数的n（n为正整数）次哥，等于这个数的n次哥的倒数，即aW0, n是正整数）【例1】（2019春？电白区

2、期中）若（x 3）0 2（2x 4） 1有意义，则x取值范围是（）A. x 3B. x 2C. x 3或 x 2 D. x 3且 x 2【分析】直接利用负整数指数骞的性质以及零指数骞的性质得出答案.【答案】解：若（x 3）0 2（2x 4） 1有意义,故选：D .【点睛】此题主要考查了负整数指数骞的性质以及零指数骞的性质，正确把握相关定义是解题关键.【变式1-1】(2019春？天宁区校级期中)如果 a ( 2019)0, b ( 0.1) 1, c (5)2,那么a、b、c三数 3的大小为()B. c a bC. a c b【分析】将三个数化简后即可求出答案.【答案】解:3 210，c ( T

3、)25【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用负整数指数哥的意义以及零指数哥的意义，本题属于基础题型.【变式1-2】(2019春?东平县期中)计算| 5| ( 3.14)0c)1的结果是()A. 0B. 1C. 4D. 6.5【分析】根据绝对值的意义，负整数指数哥与正整数指数哥互为倒数，非零的零次哥等于1,可得答案.【答案】解：原式 5 1 24 .故选：C .【点睛】本题考查了负整数指数哥，负整数指数哥与正整数指数哥互为倒数，非零的零次哥等于1是解题关键.【变式1-3】(2019春?秦淮区期中)如果等式(2x 3)x3 1 ,则等式成立的x的值的个数为()A. 1B. 2C. 3D.

4、4【分析】由于任何非 0数的0次哥等于1和1的任何指数为1,所以分两种情况讨论.【答案】解：当x 3 0时，x 3;当 2x 3 1 时，x 2 .x的值为2,3,当x 1时，等式(2x 3)x 3 1 ,故选：C .【点睛】此题考查零指数备，关键是注意本题要分类讨论，不要漏解.【考点2哥的混合运算】【例2】(2019春?铜山区期中)计算:236(1) (y ) y gy/C、42 442 2(2)y (y ) y ( y )【分析】(1)先根据哥的乘方法则化简，再根据同底数哥的乘除法法则计算即可；(2)先根据哥的乘方与积的乘方法则化简，再根据同底数哥的除法化简，然后合并同类项即可.【答案】解

5、：(1) (y2)3 y6gy y6 y6gy y;/c、 4， 2、44，2、248444444 y(y)y(y)yyyy y y y y.【点睛】本题主要考查了哥的运算以及整式的加减，熟练掌握哥的运算法则是解答本题的关键.【变式2-1】(2018秋?长宁区校级期中)计算：(x2)34 x2)2 xgf x3)3【分析】分别运用哥的乘方与积的乘方以及同底数哥的乘方法则化简计算即可.【答案】解：原式x6gx4 xg( x9) x10 x10 0 .【点睛】本题主要考查了哥的运算以及合并同类项的法则，熟记哥的运算法则是解答本题的关键.，亦 4 c，/ CC4 o 毛立匚b甘口 U咨4 5 . 、

6、7 _ z 4.4 / 8. 2【X式2-2(2018秋?阳东新区/甲)TTx gx a x) 5(x ) (x ).【分析】根据哥的乘方与积的乘方以及同底数哥的乘法法则分别进行计算，然后合并同类项即可得出答案.4 5， 、74、4 ， 8、29 ， 71616161616 - 16【答案】解：x gx a x) 5(x ) (x ) x a x ) 5x x x 5x x 3x ；【点睛】此题考查了哥的乘方与积的乘方以及同底数哥的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键，是一道基础题.【变式2-3】(2019秋?杜尔伯特县校级期中)计算： (3am)2 am 1gam 1 2(am1)2 a2.【

7、分析】根据哥的运算法则即可求出答案.【答案】解：原式9a2m a2m 2a2m 2 a22m 2 m 2m9a a 2a2m10a【点睛】本题考查哥的运算法则，解题的关键是熟练运用哥的运算法则，本题属于基础题型.【考点3巧用哥的运算法则进行简便计算】【例3】(2019春?城关区校级期中)计算：(2)2014 1.52012 ( 1)20143【分析】根据骞的乘方和积的乘方计算即可.2 20142012201423 201244【答案】斛：（-）1.5（ 1）（- -）- 1 -.33 299【点睛】此题考查哥的乘方和积的乘方，关键是根据哥的乘方和积的乘方解答.【变式 3-1 】(2019 春？

8、栾城区期中)计算：82015 ( 0.125)2016 (0.25)3 26 .22 2015/cl2016 cl、3 -6_2015c-、2015c、3 3.33【分析】由 8( 0.125)(0.25)28( 0.125)( 0.125) (0.25)22 ,根据帚的乘方与积的乘方的运算法则求解即可.【答案】解：原式 82015 ( 0.125)2015 ( 0.125) (0.25)3 23 23 201538 ( 0.125)( 0.125) (0.25 2 2)1 ( 0.125) 10.875 .【点睛】本题考查了骞的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是正确对已知的式子进行变形并

9、熟练掌握运算性质和法则.【变式3-2（2019春?太仓市期中）用简便方法计算下列各题(1 ) (4)2015 ( 1.25)2016.5(2) (31)12 ()11 ( 2)3 . 825【分析】(1)将(1.25)2016写成(5)2015 (-),再利用积的乘方计算即可; 44（2）将（31）12写成（25）11空，再运用乘法结合律与积的乘方计算即可. 888【答案】解：（1）(4)2015 ( 1.25)2016 5(4)2015 ( 5)54201554)20154)4)原式胃(25)11 (25)11 (8)1125 825 ()82525.【点睛】本题主要考查哥的乘方与积的乘方，

10、将原式中的备拆成符合积的乘方的形式是关键.【变式3-3(2019春?鼓楼区校级期中)计算：100100(1) (0.25)4 ;(2) 0.24 0.44 12.54 .【分析】因为指数相同，所以根据积的乘方的逆运算将底数直接相乘，指数提取，得出结果;【答案】解：(1) (0.25)100 4100;, 100(0.25 4),1100,1 ；2 2) 0.24 0.44 12.54 ,一一 一 一 4(0.2 0.4 12.5),(1) .【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方法则是关键【考点4哥的逆运算】【例4】(2019春？邵阳县校级期中)已知4m a , 8n b ,

11、用含a , b的式子表示下列代数式，求：(1) 22m 3n(2) 24m 6n 的值.【分析】根据已知条件可得 22m a , 23n b,然后再根据同底数哥的除法法则：底数不变，指数相减和同 底数哥的乘法法则：底数不变，指数相加进行计算即可.【答案】解：Q4m a, 8n b,2 a b22m 3n 2m 3n , (1)22g2ab ;(3) 24m 6n 24m 26n (22田)20?。/【点睛】此题主要考查了同底数骞的乘法和除法，以及骞的乘方，关键是掌握各计算法则，并能熟练应用.【变式4-1(2019春?杭州期中)(1)已知4m a, 8n b ,用含a , b的式子表示下列代数式

12、:求：22m 3n的值求：24m 6n的值(2)已知2 8x 16 223,求x的值.【分析】（1）分别将4m, 8n化为底数为2的形式，然后代入 求解;（2）将8x化为23x ,将16化为24,列出方程求出x的值.【答案】解：（1） Q 4m a , 8n b , 22m 3n2m 3n2 g2 24m 6n24 m26n2小2m2/c3n 2a(2 )(2 );(2)Q28x16-232 ,(23)x24-232 ,23x 24223,3x 4 23 ,【点睛】本题考查了同底数骞的除法以及骞的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键.【变式4-2】（2019秋?化德县校级期中）（1）已

13、知4 2a 2a 1 29,且2a b 8,求ab的值.（2）已知n是整数，且x3n 2,求（3x ）2 （ 2x ）3的值.【分析】（1）根据哥的乘方和积的乘方的性质即可得到结论;（2）根据哥的乘方以及积的乘方运算法则将原式变形为3（x3n）2 8（x3n）2进而求出即可.【答案】解：（1） Q 4 2a 2a 1 29,22 a29,则2a9,解得:3,Q 2a8,9；(2)3n、23n、2原式 9(x )8(x )9 4 8 4 4.【点睛】此题主要考查了骞的乘方运算法则以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键.【变式4-3(2019秋?邹平县校级期中)求值(1)已知4x 23x1,

14、求x的值.(2)已知 a 1111n 3, ad(5 )25; 可见，b c a d . 【点睛】本题考查了哥的乘方与积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键.m 5,求 a【变式5-1(2019春？马鞍山期中)若2a 5b 10 . (1)猜想a b与ab的大小关系；n 9m的值.【分析】(1)由4x 23x1得22x 23x1,即可知2x 3x 1,解之可得；(2)将 a2n 3、a3m 5代入 a6n9m a6n a9m (a2n)3 (a3m)3可得.【答案】解：(1) Q4x 23x1,-2x 3x 122,则 2x 3x 1 ,解得：x 1 ; 2n3m(2) Qa 3 , a 5 ,6

15、n 9m 6n 9m a a a2n 3 3m 3(a ) (a )33 5327 .125【点睛】本题主要考查哥的运算，熟练掌握同底数哥的除法与积的乘方、哥的乘方法则是解题的关键.【考点5巧用哥的运算法则比较大小】【例5】(2019春?涉县期中)若a 2 55, b 344, c 433, d 522,试比较a, b, c, d的大小.【分析】将各式化为指数相同，底数不同的值解答.【答案】解：a (25)11 3211;4、1111b(3 )81；,3、1111c(4 )64;（2）证明你的猜想.【分析】（1）根据题意猜想即可；（2）根据题意得到2ab 10b，5ab 10a，两式相乘即可得

16、到答案.【答案】解：（1） a b ab;（2） Q2a 10 ,ab b210 ，又 Q 5b 10,ab a510 ， 得到，2ab 5ab 10a 10b即（2 5）ab 10ab,故 a b ab .【点睛】本题考查的是积的乘方和骞的乘方，掌握积的乘方法则和骞的乘方法则是解题的关键.【变式5-2（2019春?扬州校级期中）已知 a444”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由【分析】把三个数的指数化成 111后,【答案】解：aa 2 555 (2 5)111(32)111，b3444(34X111/ 1、111)(77)，812226(6 2)111(36)111qL -32 36

17、 81 (32)1”(36) 即 a c b.111日11【点睛】首先把负整数指数的幕化为相同,然后进行比较.mna ,【变式5-31（2019春?清远校级期中）运用所学的“哥的运算性质"amgann n n(ab) a b .(1)已知a355,b444,c533,比较 a、b、c 的大小(2)已知2a 3,2b6,2c12找出a、b、c之间的等量关系;（3）试比较1714与3111的大小.【分析】(1)从指数相同的哥，底数大的值大，很容易求得.(2)从得数3, 6, 12中得到联系，2的b次方 2的a次方2 2的(a 1)次方，即得.(3)找到中间量，再找指数相同的哥，进行比较.

18、555 1111444 1111333 1111【答案】解：(1) Qa 3(3 )243 , b 4(4 )256 , c 5(5 )125 ,b a c ；(2) 2的b次方 2的a次方 2 2的(a 1)次方，即 b a 1 ,2的c次方 2的a次方 4 2的(a 2)次方，即 c a 2 ,a c a a 2 2a 2,2b 2a 2 a c即a c 2b ,比较后，相等；(3) Q1714 1614,1456551722 ,55 cc11 cc11 c/11Q 232 , 3231 ,14111731 .在得数中得到【点睛】本题考查了哥的乘方和积的乘方，(1)哥的指数相同，底数大小之

19、间的比较；(联系，最终得到a, b, c之间的关系；(3)找到中间量，都同中间量进行比较.【考点6哥的运算中的新定义问题】【例6】(2018春?金山区期中)观察下列等式：222(3 5)(3 5) (3 5) (3 3) (5 5) 35333(2 3)( 2 3) ( 2 3) ( 2 3) ( 2) ( 2) ( 2) (3 3 3) ( 2)3 (1 1)2 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1)2 (1)24 54545445545结论：两个有理数乘积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的哥相乘.根据上述材料完成以下各题:(i)填空：(55)2(42)2 .(2

20、)填空：(4)5 2.54 .(3)解方程：(51)3x 174 ( I)3 0. 22【分析】(1)根据积的乘方求出即可；(2)根据积的乘方求出即可；(3)先根据等式的性质进行变形，再根据积的乘方求出即可.【答案】解：(1) (55)2卓)2(55 42)2302900 ,故答案为：900;(2) ( 4)5 2.545442.5, 一、4(4 2.5)410000 440000 ,故答案为：40000;(3)(翁 174 ( 2-)3 0,x 174 ( 2)3 (51)3x 17 173 ( 1)3 (京x 17 17 ( -) -3251x 17 ( 1)3 317x27# / 27【

21、点睛】本题考查了解次方程和骞的乘方和积的乘方，能正确运用骞的乘方和积的乘方进行化简是解此题的关键.【变式6-1(2019春?瑶海区期中) 2c(1)你发现了吗？ (-)2 32 223(3)3，万由上述讨算，我们发现(I)2；(2)仿照(1),请你通过计算,判断3)3与(4)3之间的关系.(3)我们可以发现：(b)ma(a)m(ab 0)计算：(3)4 (4.【分析】(1)类比题干中乘方的运算即可得;(2)类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得;(3)根据(1)、(2)的规律即可得;逆用积的乘方将原式变形为(1) 42($4(3)4,再利用同底数哥进行计算可得. 4【答案】解：(1)Q(|)

22、2 /3、 一，(二)3213 2(2)13""22 23 2(3)(2)，故答案为: Q(5)4(4)3(3)由(1)、(2)知,(b)az a m(4故答案为:(4)原式1(2；)(4)41 43(1)(3)3 4(4)14/27工(3)44(1)44216 1【点睛】本题主要考查有理数的乘方、负整数指数骞及骞的运算，熟练掌握有理数的乘方法则和骞的运算法则是解题的关键.【变式6-2(2019春?南山区校级期中)规定两正数a, b之同的一种运算，记作： E(a,b),如果ac b,那么 E(a,b) c.例如 23 8,所以 E(2,8) 3一、1 1(1)填空：E(3,

23、27), E(-,)2 16(2)小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n, 4n) E(3, 4)小明给出了如下的证明:n nnxnnnn设 E(3 , 4 ) x ,即(3 )4 ,即(3 , 4 ) 4所以 3x 4 , E(3,4) x ,所以 E(3n , 4n) E(3 , 4)请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3, 4) E(3, 5) E(3, 20)【分析】(1)根据规定的两数之间的运算法则解答;(2)根据积的乘方法则，结合定义计算.【答案】解：(1) Q 33 27 ,E(3,27)3；1 41QE(2)64；(2)设 E(3,4) x, E(3,5) y,则

24、 3x4, 3y 5,3x y 3x$y 20,E(3,20) x y ,E(3 , 4) E(3 , 5) E(3 , 20).【点睛】本题考查的是骞的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握骞的乘方和积的乘方法则是解题 的关键.【变式6-3(2019秋?南安市期中)材料：一般地，若ax N(a 0且a 1),那么x叫做以a为底N的对数, 记作x loga N ,比如指数式 23 8可以转化为对数式3 10g2 8,对数式2 10g6 36可以转化为指数式6236.根据以上材料，解决下列问题：(1)计算：1og2 4 , log 216 , log 2 64 ；(2)观察(1)中的三个数，猜

25、测：loga M loga N (a 0且a 1, M 0, N 0),并加以证明这 个结论；(3)已知：loga 3 5,求 loga9 和 loga27 的值(a 0且 a 1).【分析】(1)根据22 4 , 24 1 6 , 26 32写成对数式；(2)设loga M x, logaN y ,根据对数的定义可表示为指数式为：ax M , ay N ,据此计算即可；(3)由loga 3 5,得a5 3,再根据同底数哥的乘法法则计算即可.【答案】解：(1)Q 22 4 , 24 16 , 26 32, log 2 4 2; 10g2 16 4; 10g 2 64 6故答案为：2; 4; 6

26、;(2)设 loga M x , log a N y ,则 ax M , ay N , x y x y M gN a ga a ,根据对数的定义，x y loga MN ,即 loga M loga N loga MN ；故答案为：loga MN .(3)由 loga 3 5 ,得 a5 3,Q 9 3 3 a5ga5 a10, 27 3 3 3 a5ga5ga5 a15根据对数的定义，loga 9 10, loga 27 15 .【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.【考点7单项式乘单项式】【方法

27、点拨】 单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中只含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【例7】(2019秋?金牛区校级期中)下列各式中，计算正确的是()A. (- 5an+1b)?( - 2a) = 10an+1bB. (-4a2b)?(-a2/)?%2 6cC. (- 3xy)?( - x2z) ?6xy2= 3x3y3zn 凡 Hl M ,n-1 1 n+1, 3n-lD- s【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【答案】解：A、(- 5an+1b)?( - 2a) = 1

28、0an+2b,此选项错误;c,此选项正确;_，2 、一，B、( 4a2b)?(一C、 （一 3xy）?（ x2z） ?6xy2= 18x4y3z,此选项错误;D、（2anb3）（-b6nJLan+1bn+2,此选项错误.30 / 27【点睛】考查了单项式乘单项式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算.【变式7-1(2019秋?雨花区校级期末)如果一个单项式与-2a2b的积为-Za3bc2,则这个单项式为(5A. Jac25acac【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法.根据单项式的除法法则计算即可得出结果.【答案】解：(-目a3bc2) + ( 2a2b)臬ac2.故选：A

29、.【点睛】本题考查了单项式的除法法则.单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的哥 分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式.【变式7-2（2019春?城关区校级期中）化简A. （i-y ） B B. 2 （x-y）【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.【答案】解：原式=16 （x-y） 4?（-1）2=-16 （x- y） 4?（ （x- y） 38（x-y） 4 ?的结果是（C. (y-x) 7(y-x) 3=2 (x- y) 7,【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.【变式7-3】（2019秋?丛台区

30、校级期中）若（2xy2） 3?卜xmyn） 2=-ix7y8 ,则（）A . m=4, n= 2 B. m = 3, n= 3 C. m=2, n= 1D . m=3, n= 1【分析】直接利用积的乘方运算法则进而得出m, n的值.【答案】解：.（ 2xy2） 3?（工xmyn） 2=x7y8,42.8x3y6?'x2my2n = Ix7y8,162则 L2m+3y2n+6 = L7y8,22 .2m+3 = 7, 2n+6 = 8,解得：m = 2, n= 1,故选：C.【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键.【考点8单项式乘多项式】【方法点拨】就是用

31、单项式去乘多项式的每一项，再把所有的项相加，利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号，运用法则计算时，一定要强调积的符号.（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项.因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式， 其项数与因式中多项式的项数相同.【例8】（2019秋?安居区期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：- 3xy （4y-2x-1） =- 12xy2+6x2y+口，口的地方被钢笔水弄污了，你认为口内上应填写（A . 3xyB. - 3xyC. - 1D . 1【分析】先把等式左

32、边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论.【答案】解：:左边=- 3xy （4y2x 1）=-12xy2+6x2y+3xy.右边=-12xy2+6x2y+D,，口内上应填写 3xy.故选：A.【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加是解答此题的关键.【变式8-1】（2019春?雁塔区校级期中）已知7x5y3与一个多项式之积是 28x7y3+98x6y5-21x5y5,则这个多项式是（）A . 4x2 - 3y2B . 4x2y - 3xy2C.

33、4x23y2+14xy2D . 4x2 - 3y2+7xy3【分析】根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案.【答案】解：由7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5-21x5y5,得（28x7y3+98x6y5 - 21x5y5） + 7x5y3 = 4x2+14xy2 - 3y2,故选：C.【点睛】本题考查了单项式乘多项式，利用了整式的除法：用多项式的每一项除以单项式，把所得商相加.【变式8-2（2019秋？秀屿区校级期中）要使（x2+ax+5） （ - 6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（）A. 1B. - 1C. gD. 0【分析】先展开，再

34、根据题意得出x4项的系数为0即可.【答案】解：（x2+ax+5） （6x3） =- 6x5 - 6ax4 - 30x3,（x2+ax+5） （-6x3）的展开式中不含 x4项， - 6a= 0,a = 0,故选：D.【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键.【变式8-3(2019春?凤翔县期中)某同学在计算-3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2-x+1,由此可以推断正确的计算结果是()A , 4x2- x+1B . x2- x+1C. - 12x4+3x3- 3x2D.无法确定【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得

35、到答案【答案】解：x2 - x+1 - ( 3x2) = x2 - x+1+3 x2 = 4x2 x+1 ,3x?( 4x2 x+1) = 12x+3x 3x2,故选：C【点睛】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【考点 9 多项式乘多项式】【方法点拨】多项式乘多项式法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。【例9】(2019秋?德州期末)若(x2-px+q) (x-3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是()A. p=3qB. p

36、+3q=0C. q+3p=0D. q = 3p【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0 求出 p 与 q 的关系式即可【答案】解：(x2px+q) (x3)= x33x2 px2+3px+qx3q = x3+( p3)x2+(3p+q) x- 3q,.结果不含x的一次项，q+3p= 0.故选：C【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键【变式9-1(2019春？蜀山区期中)若 2x3- ax2- 5x+5 = (2x2+ax 1) (x- b) +3,其中a, b为整数，贝Uab 的值为()A. 2B. - 2C. 4D. - 4【分析】将(2x2+ax-1) (

37、x-b) +3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+ (a-2b) x2- (ab+1) x+ (b+3)=2x3 - ax2 - 5x+5 ,对比系数即可求解；【答案】解：(2x2+ax-1) (x- b) +3= 2x3+ (a - 2b) x2- ( ab+1) x+ (b+3)=2x3 - ax2 - 5x+5 ,ab+1 = 5,b+3 = 5,b = 2, a= 2,【点睛】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题.A类、B类为正方形卡片，C类为长【变式9-2】(2019秋?襄城县期末)现有如图所示的卡片若干张，其中方形卡片，若用此三类卡片拼成一

38、个长为a+2b,宽为a+b的大长方形，则需要 C类卡片张数为(A. 1B. 2C. 3D. 4C类卡片的张数.【分析】表示出长方形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可确定出需要【答案】解：(a+2b) (a+b) = a2+ab+2ab+2b2= a2+3ab+2b2,则需要C类卡片张数为3.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式9-3(2019春?浑南区校级期中)若不管 a取何值，多项式a3+2a2-a-2与(a2 - ma+2n) ( a+1)都相等，则m、n的值分别为(【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可.【答案】解：多项式 a3+2a2

39、a2与(a2 ma+2n) (a+1)都相等,(a2-ma+2n) (a+1)=a3 - ma2+2an+a2- ma+2n=a3+ (1 - m) a2+ (2n-m) a+2n所以 1-m=2,得 m= - 1,2n m= 1,得 n= - 1.或者 2n = - 2,得 n= - 1.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换.【考点10整式化简求值】【例10】(2018春?高新区校级期中)先化简，再求值：(2x+y)2+ (2x+y)(y-2x)- 6y + 2y,其中x=y=3.【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的法则把原式化简，代入计算即可.

40、【答案】解：(2x+y) 2+ (2x+y) (y2x) 6y + 2y(4x2+4xy+y2+y2-4x2 - 6y)=(4xy+2y2-6y) + 2y=2x+y 3,把 x= , y= 3 代入得：原式=2X (一_) +3 - 3 = - 1 .22【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.【变式10-1(2018秋?南召县期末)先化简，再求值：当|x- 2|+ (y+1) 2=0时，求(3x+2y) (3x-2y) +(2y+x) (2y-3x) + 4x 的值.【分析】根据|x- 2|+ (y+1) 2=0可以起的x、y的值，然后将题目中所求式子化简，

41、再将 x、y的值代入 化简后的式子即可解答本题.【答案】解：|x 2|+ (y+1) 2=0,x - 2= 0, y+1 = 0,解得，x= 2, y= - 1,(3x+2y) (3x- 2y) + (2y+x) (2y-3x) + 4x=(9x2 - 4y2+4y2 - 6xy+2xy - 3x2) + 4x=(6x2 - 4xy) + 4x=1.5x- y= 1.5X 2- (- 1)= 3+1=4.【点睛】本题考查整式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法，利用非负数的性质解答.【变式10-2】（2019春?成都校级月考）已知将（x2+nx+3） （x2-2x-

42、m）乘开的结果不含 x3和x2项.（ 1 ）求m、 n 的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m-n） （m2+mn+n2）的值.【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据乘开的结果不含x3和x2项，求出m与n的值即可；（ 2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，把m 与 n 的值代入计算即可求出值【答案】解：（1）原式=x42x3 mx2+nx32nx2mnx+3x26x 3m = x4+ （n 2） x3+ （3 m 2n） x2+（mn+6） x- 3m,由乘开的结果不含 x3和x2项，得到n- 2=0, 3 - m - 2n = 0,解得：m = - 1, n =

43、 2;（2）当 m= 1, n=2 时，原式=m3+m2n+mn2 m2n mn2 n3= m3 n3= 1 8 = 9.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式10-3】（2019春?青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项.（ 1 ）求m、 n 的值；（2）求代数式（-2m2n） 2+ （3mn） 1+m2017n2018.【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含 x和x3项，求出m与n的值；（ 2）原式利用幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂法则变形，将各自的值代入计算即可求出值【答案】解：（1）= x4+ （m 3） x3+ （ 3m

44、+n- ） x + （mn+1） x- n,由积中不含 x和x3项，得到 m-3=0, mn+1 = 0,解得：m = 3, n =一 ,（2）原式=4m4n2+ （mn） 2017?n=36 +=36.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键11 利用乘法公式求值】【例11】（2019春?新津县校级月考）已知 m-n=3, mn=2,求：1 ） （ m+n） 2 的值；(2) m25mn+n2 的值.【分析】(1)根据完全平方公式得到(m+n) 2=m2+n2+2mn= (m-n) 2+4mn即可解题；(2)根据完全平方公式得到m2- 5mn+n2

45、= (m+n) 2-7mn即可解题.【答案】解：: m n=3, mn=2,-1 (1) (m+n) 2=m2+n2+2mn= (m-n) 2+4mn= 9+8= 17;(2) m2- 5mn+n2= (m+n) 2 - 7mn = 9 - 14 = - 5.【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用( m- n) 2=m2+n2-2mn.【变式11-1】(2019春?杭州期末)已知 a-b=7, ab=- 12.(1)求 a2b- ab2 的值；(2)求a2+ b2的值；( 3)求a+b 的值【分析】(1)直接提取公因式 ab,进而分解因式得出答案；( 2)直接利用完全平方公

46、式进而求出答案；( 3)直接利用(2)中所求，结合完全平方公式求出答案【答案】解：(1) 1 a - b= 7, ab= - 12, a2b- ab2= ab (a-b) =- 12X7= - 84;(3) .1 a- b= 7, ab= - 12,(a - b) 2= 49,a2+b2 - 2ab = 49, a2+b2=25;(4) a2+b2=25,(a+b) 2=25+2ab=25- 24= 1,a+b= ± 1.【点睛】 此题主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键【变式11-2】(2019春?邵东县期中)已知有理数 m, n满足(m+

47、n) 2 = 9, (m-n) 2=1,求下列各式的值.( 1 ) mn；(2) m2+n2 - mn.mn的值;【分析】(1)已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出(2)已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出ma2+b2=4,-4+2ab=5,解得：ab = y,1- 6ab= 3.【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键.【考点12乘法公式探究题】【例12】(2019春?东台市期中)如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图 2).+n2的值.【答案】解：(m+n) 2= m

48、2+n2+2mn= 9,(m-n) 2= m2+n2 - 2mn= 1,(1)-得:4mn = 8,则 mn= 2;(2) +得：2 (m2+n2) = 10,贝U m2+n2=5.所以 m2+n2 mn = 5 2=3.【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.【变式11-3】(2019春?杭州期中)已知(a+b) 2=5, (a-b) 2=3,求下列式子的值:(1) a2+b2;(2) 6ab.【分析】(1)直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；(2)直接利用(1)中所求，进而得出 ab的值，求出答案即可.【答案】解：(1) .( a+b) 2=

49、5, (ab) 2=3,a2+2ab+b2= 5, a2-2ab+b2=3,-2 (a2+b2) = 8,解得：a2+b2=4;fl d d a6(1)图2中的阴影部分的面积为(2)观察图2请你写出(a+b) 2、(a-b) 2、ab之间的等量关系是 (3)根据(2)中的结论，若x+y= 5,x?y=贝U x y=(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现?【分析】(1)阴影部分为边长为(b-a)的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；(2)在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则(a+b) 2- (a-b) 2 = 4ab;(3)由(2)的结论得到(x+y)

50、 2 - (x-y) 2=4xy,再把 x+y=5, x?y=2得至U ( x- y) 2=16,然后利4用平方根的定义求解；(4)观察图形得到边长为(a+b)与(3a+b)的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有(a+b)?(3a+b) = 3a2+4ab+b2.【答案】解：(1)阴影部分为边长为(b-a)的正方形，所以阴影部分的面积(b-a) 2;(2)图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b- a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积,所以(a+b) 2 - ( a - b) 2= 4ab;(3)(x+y) 2- x x- y) 2=

51、 4xy,而 x+y = 5, x?y.52 - ( x - y) 2=4x( x- y) 2= 16, . . x 一 y= ± 4;(4)边长为(a+b)与(3a+b)的矩形面积为(a+b) (3a+b),它由3个边长为a的正方形、4个边长为 a、b的矩形和一个边长为 b的正方形组成，(a+b)?(3a+b) = 3a2+4ab+b2.故答案为(b-a) 2; (a+b) 2- (a- b) 2=4ab; ±4; (a+b)?(3a+b) = 3a2+4ab+b2.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用面积法证明完全平方公式(a- b) 2=a2-2ab+b2.

52、【变式12-1】(2019春?牟定县校级期末)图(1)是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图(2)的形状拼成一个正方形.阳 n (1)你认为图(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少？ ;(2)请用两种不同的方法求图(2)中阴影部分面积.方法；方法二： ；(3)观察图(2),你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n) 2, (m-n) 2, 4mn. ;(4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若 a+b=7, ab=5,求(a-b) 2的值.【分析】(1)根据观察图形，可得小正方形的边长；(2)根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；(3)根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；(4)根据规律，可得答案.【答案】解：(1)图(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少？m- n；(2)请用两种不同的方法求图(2)中阴影部分面积.方法一：(m-n) 2;方法二：(m+n) 2-4mn;(3)观察图(2),你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n) 2, (mn) 2, 4mn.(m+n) 2-