例析圆锥曲线上两点关于直线对称问题

1、每天做数学题：神清气爽，强身健体!椭圆或双曲线上存在两点关于直线对称问题-许成怀我们知道过定点的直线在圆上存在两点关于该直线对称，只需该直线过圆心即可， 由直线上两点求该直线的方程即可轻松拿下。但是，若一条过定点的直线与椭圆相交且在椭圆上存在两点关于该直线对称，如何求该直线的斜率的取值范围？2例1、已知椭圆土 y2例2、椭圆勺、1(a 0,b 0,a b)上是否存在两个不同的 点A, B关于 a2 b2直线l:y kx t (t为非零常数)对称，若 存在，求实数k的取值范围。若 不存在，请说明理由。 1上两个不同的点A,B关于直线y kx 1对称。求实数k的 取值范围。解析：设椭圆上两点A(X

2、i,yi),B(X2,y2)关于l： y kx 1对称，AB的中点M (%, yo)依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(m1 k)y mx nx2 4y2 4222(4m 1)x 8mnx 4n 4 0;64m2n2 16(n2 1)(4m2 1) 016n2 4m2 1 8mnx x22xo4m 14mn4m2 1代入ymx n行：yon4m2 1又因为中点M (x0, y0)在直线y kx 1 上得k -mn 1,km 4m2 14m2 12(4m2 1)22cle 22n2 ,代入得：m22 f2 k 或k.9k222方法总结：欲求过定点 直线的斜率

3、的取值范围,设出与其垂直的直线的方程,通过垂线方程与椭圆方程联立，由0找出不等关系式；由根与系数的关系求出中点坐标，再将中点坐标代入已知直线方 程找出所设变量之间的 关系式与所求出的不等式结合,进而求出已知直线斜 率k的取值范围。解析：设椭圆上两点 A(x1,y1), B(x2,y2)关于l： y kx t(t 0)对称，AB的中点M (x0, y0)依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(m )ky mx n2 22 22 2b x a y a b.222、22(a m b )x 2a mnx a2. 2a b0；42 22 24a m n 4(a na2b

4、2)(a2m2 b2) 0、,、, 2a2mnx1 x22 72a m b2a mnx02代入y mxa m b4日n行：V。b2n2272a m b又因为中点M (址，y0)在直线y kx t上得:b2n2272a m b2a mn2 t,km 1 a m b/ 22. 2、2.22 (a m b ) t 少 i 曰 ,n2 -八,代入得:(a(a2 b2)2b2)(a2m2t2 b2tc4) 0(1)若 a2 b2 | bt |c2 |bt |c4b2t242 242 22 c b t 1 c b tm2 2-22 2a2t2k2a2t2at| 或k c4 b2t2|at| . c4 b2

5、t2'(2)若 a2 b2 |bt| c2 |bt|c4b2t2 。时,即 b2t24 0.l不存在o(a2m2 b2)(a2m2t2 b2t2 c4) 0,无解，即这样的直线小结：在该问题中，若c2 |bt|,则直线l存在;若c2 |bt |,则直线l不存在。在学习复习中，可以作为一个结论记住，在做选择、填空题时可以起到事半功倍的效果。2例3、椭圆C： 162 v91上是否存在两个不同的点A,B关于直线l： y kx 5对称,若存在，求出实数k的取值范围；若不存在请说明理由。解析：设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于l： y kx 5对称,AB的中点M(x0,y0),依

6、题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的y mx n9x2 16y2 144直线方程为：y mx n(m ) k(16m2 9)x2 32mnx 16n2 144 0;_222_2_4 256m2n2 4(16n2 144)(16m2 9)n2 16m2 9 xx232mn2xo16m2 916mn216m2 9代入y mx n得：y09n216m2 9又因为中点 M(x0,y0)在直线y kx 5上得:9n k -16mn- 5,km 16m2 916m2 92 2n2 ()-,代入得：(16m2 9)(16 25m2 9 25 49) 0(16 9)2(16m2 9)(400m2 1

7、76) 0,无解。这样的直线l不存在。工对称,322例4、椭圆C：土 1上是否存在两个不同的 点A, B关于直线l： y kx 169若存在，求出实数k的取值范围；若不存在 ，请说明理由。解析：设椭圆上两点A(xi,yi), B(x2, y2)关于l ： y kx 7对称，AB的3中点M(%,y。)，依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的 直线方程为：y mx n(m 1)ymxn22222(16m29)x232mnx 16n2144 0;9x2 16y2 1442144)(16m2 9) 02 224 256m2n2 4(16n2 n2 16m2 9 xix232mn2x°

8、;16m2 916mn /2代入y mx n得:16m2 9V。9n 16m2又因为中点M (%, y0)在直线y kx 7上得:39n216m2 916mn216m2 9Z,km 1349(16m2 9)2n2 2,代入得:(16m2(16 9)249 2 9)(16 m249,c、49) 92784 2(16m2 9)( m2 0)9这样的直线l不存在。0,无解。上述问题中已知所求直线在y轴上的截距，但如果已知直线在x轴上的截距,又该如何处理？结论又会怎样?2例5、已知椭圆C:三 a(1)求椭圆C的方程；2Vt 1(a b 0)过点(1,3)，且离心率e 一b22(2)已知椭圆C上两个不同

9、点A,B关于x ky 1对称，求实数k的取值范围。22解析：(1)C： 土 y- 1；431 一(2)设椭圆上两点 A(x1, y1), B(x2, y2)关于x ky 对称，AB的中点M (x0, y0),8k 0,不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(m k 0)y mx n3x2 4y2 12 0,22_2 一一(4m3)x 8mnx 4n 12 064m2n2 16(n2 3)(4m2 3) 0 n2 4m2 3 由根与系数的关系：x1 x2 -8mnx0 4mn，代入 y mx n得:4m 3 4m 3y°M(驾L,二),将点M的坐标代入x ky -4m 3 4m 3

10、4m 384mn , 3n 1 ,2 k2 -,(m k 0)4m2 34m2 3 84m二代入:8m(4m2 3)2, 2 c 21, 21,.5f2-2- 4m 3 m k k 或 k64m202010、510方法总结：欲求过定点直线的斜率的倒数的取 值范围，设出与其垂直 的直线的方程，通过垂线方程 与椭圆方程联立，由0找出不等关系式；由根与系数的关系求出中点坐标,再将中点坐标代入已知直线方程找出所设变 量之间的关系式与所求出的不 等式结合，进而求出已知直线斜率的倒数k的取值范围1(a b 0)上是否存在两个不同点A, B关于x ky t(t 0)对称，若存在，求实数k的取值范围；若不存在

11、，请说明理由。解析：设椭圆上两点A(x1, y1), B(x2,y2)关于x ky t对称,AB的中点M (x0, y0),k 0,不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(mk 0)y mx n2 22. 2a y a b2222(a m b )x 022a mnx2 22. 2a n a b4a42 222m n 4a (nb2)(a2m2 b2)02 b2由根与系数的关系:Xi2a2mnx22-2 JTa m bX02a mn-2-2 rr，代入 ya m bmx n得:b2ny02a mb2M(2a mnb2n)，将点M的坐标代入xky t2a mn22 r2a m bb222 a m

12、2t,( m k 0) a mn 2/ 2b mn (a mb2)tz 22(a mb2)t2 mcz 222.2.2(a m 2 b)t代入: m c222 2 2(a m b ) t2"-4m cb242, 2 22. 2(c a t )m b t(1)c42. 2a t0时m2b2t2-4272c a tk2b2t2-42T2c a tJbt| 或 k42. 2c a t_I bt l_. c4 a2t2;- 4(2)c2.2a t0 时,(c42,2、2a t )mb2t2不成立，这样的直线l不存在。小结:在学习复习中,可以作为一个结论记住,在做选择、填空题可以起到事半功倍的

13、效果。以上讨论的是过定点的直线在椭圆上有两点关于该直线对称，那么,过定点的直线在双曲线上有两点关于直线对称，结论又是怎样?2例7、已知双曲线xT a2yY 1(a 0,b0,)上两个不同的点关于直线yb2kx t(t为非零常数)对称，求 实数k的取值范围。解析：设双曲线上两点A(Xi,yi),B(X2, y2)关于l： y kx t(t 0)对称,AB的中点M (x0, y0)依题意直线l的斜率不为0,当直线l的斜率不为。时不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(m1)y mx n2 2222.2b x a y a b2222_ 22 2(a m b )x 2a mnx a n2. 2a b

14、 0;42 22 24a m n 4(a n2 2222a b )( am b ) 02222、n a m b xx22a2mn2272a m bX02 a mn2 a m/代入y mx n得:V。b2n2272a m b又因为中点M(X0,y0)在直线y kx t上得:b2n222Jza mb2a mn? t,km 1222a m bz 2222.2(a m b ) t4c，代入得：(a222.2b )(a m tb2t2c4)42. 2c b t 2一2或 ma2t2b2ak22-2六2P或k?2ay(且 k b20)( 旦)(，/at l_ c4 b2t2,0) (0, c1ati) (

15、a4 b2t2b,).例8、22已知双曲线上 y- 1上两个不同的点A, B关于直线y kx取值范围。1对称，求实数k的解析：设双曲线上两点 人汽1,0),8汽2,丫2)关于1： y kx1对称,AB的中点为M (x0,y0),依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的直线方程为:y mx n(m;)y mx n223x2 4y2 1222(3 4m2)x228mnx 4n 120；2 2264m2n2 16(n223)(3 4m2)8mnx x223 4m23ny0 31mn2 4m2 3 4mn /2代入y mx n寸:3 4 m2又因为中点M(xo,y0)在直线y kx 1 上得:

16、3km i,km3 4m 3 4m22ccn2 ()-,代入得：(4m2 3)(4m2 3 49) 049m21蜒 m23m k2 工或 k244 k 133233)(茅)。2 ").从以上推导及应用可以看出虽然过定点的直线 在双曲线上有两点关于 该直线对称的结论有些繁琐,但仍然有规律可循。上述问题中已知所求直线在y轴上的截距，但如果已 知直线在x轴上的截距,又该如何处理？结论又会怎样?2例9、已知双曲线勺 a2与1(a 0,b0,)上两个不同的点关于直线x ky tb(t为非零常数)对称，求 实数k的取值范围。解析：设双曲线上两点 A(x1, y1), B(x2, y2)关于l ：

17、 x ky t(t 0,k 0)对称, AB的中点为M(x0,y0),依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的直线方程为：y mx n(m k)y mx n.2 22 22. 2b x a y a b2222_ 22 2(a m b )x 2a mnx a n2. 2-a b0;42 2,2 24a m n 4(a n2, 2、/2 2, 2、a b )( amb )0n2 a2m2 b2 22a mn x1 x222 2a m bXo2a mn22 代入 ya m bmx n得:y。b2n2 a mb2又因为中点M(x0,y0)在直线x ky t上得:2a mn222a m bb2n

18、22 a m bt,m kc2mn (b2 a2m2)tn2222 2(b a m ) t2-代入得:,22 ,2、， 2 2,2 ,2,242、 八(a mb )(a m tb tcm) 02222 2422 2(a m b )(a t c )m b t 2. 24(1)a t cb2t2k2b2a2 2a2t22 2(a m_|bt|- a2t2b2)(a2t2a ab，0)(0，b).2例10、已知双曲线4(k 0)对称，求实数解析：设双曲线上两点b-.0) ab、(Q )a(I bt I.a2t2b2t2 0b20b2 ak20,b0,)上两个不同的点关于直k的取值范围。A(x1, y

19、1), B(x2, y2)关于 l ： x ky 1(k 0)对称,AB的中点M (x0, y0)依题意直线l的斜率存在且不为0,不妨设AB所在的直线方程为： y mx n(m k)y mx n22_3x 4y 12一2、 2_2 一一(3 4m )x 8mnx 4n 12 0;_2 2-2_264m n 16(n3)(3 4m )0 n2 4m2 3d8mn4mn3nx1 x2 j x0 7 KA y mx M寸：y0 ；3 4m23 4m23 4m2ky 1又因为中点Ml"在直线x ky 1上得：二k£b 1,m k/一2 . 27mn 3京n2甘代入得:2_ 2(4m3)-249 m4m2 32_2_2(4m3)(4m 3 49m ) 02_2_(4m3)( 45m3) 0.23. 33- 3 日4m 3 0 m k 且 k 0.2222结论总结:（一）椭圆2yy 1(a 0,b b0,ab）上是否存在两个不同的点A, B关于直线l : ykxt （t为非零常数）对称，若存在，求实数k的取值范围。不存在，请说明理由。(1)若 a2 b2 |bt| c2|bt