单像空间后方交会-习题

1、单像空间后方交会（遥感07-1、2学生适用）测绘学院王双亭1概述1.1定义利用一定数量的地面控制点和对应像点坐标求解单张像片外方位元素的方法称为空间 后方交会。1.2所需控制点个数与分布共线条件方程的一般形式为：X Xoai（X Xs） bi（Y Ys） Ci（Z Zs）yyoa3（XXs）b3（YYs）C3（ZZs）a2（XXs）b2（YYs）C2（ZZs）a3（XXs）b3（YYs）C3（ZZs）（1）式中包含有六个外方位元素,Xs、Ys、Zs、，只有确定了这六个外方位元素的值，才能利用共线条件方程真正确定一张像片的任一像点与对应地面点的坐标关系。个数：对任一控制点，我们已知其地面坐标（X

2、i、Y、Zi）和对应像点坐标（Xi、yi），代入共线条件方程可以列出两个方程式，因此，只少需要3个控制点才能解算出六个外方位元素。在实际应用中，为了避免粗差，应有多余检查点，因此，一般需要46个控制点。分布：为了最有效地控制整张像片，控制点应均匀分布于像片边缘，如下图所示。分布合理分布合理分布不合理oooooo直接答解十分困难，所以首先将共线方程改化为线性形由于共线条件方程是非线性的， 式，然后再答解最为简单的线性方程组。(7)2空间后方交会的基本思路2.1共线条件方程线性化的基本思路 在共线条件方程中，令Xai(XXs)bi(YYs)Ci(ZZs)Ya2(XXs)b2( YYs)C2(ZZs

3、)（2）Za3(XXs)b3( YYs)C3(ZZs)Xoy。则共线方程变为Z fYZ对上式两侧同乘 Z，并移至方程同侧，则有f X (X fY (yXo)Zyo)z(4)令FxfX (x X0)Z（5）FyfY (y y0)Z由于上式是共线方程的变形，因此，Fx、Fy 是 Xs、Ys、Zs、 、的函数。对Fx、Fy分别按泰劳级数展开，并且只保留一次项，得FxFxFxFxFxFxFx (Fx)07XsYsrZsXsYsZs（6）Fy (Fy)0Xy XsFyYs：yZFyZsFyFy u丿XsYsZs式中，（Fx）0、（Fy）0分别是Fx和Fy的初值；-Fx、一氏分别是Fx和Fy对各个外方位?

4、 ?元素的偏导数；Xs、Ys、Zs、 、分别是Xs、Ys、Zs、 、初值的增量。为了明确（6）式中常数项的意义，对（6）式两侧同乘以=，则Z丄FxZ考查（7）舟（Fx）。（旦壬（Fyf（丄）旦Z式中的常数项,(Fx)0式中X是像点坐标的观测值;舟）Xs1、FxZ)Fy X运Xs雪Z丄)-FX YsZ Ys丄)FyZYs Ys 丄)旦 Zif X （X（X X。）（X计 X0）= （X X计）X0)Z(X Xo)1 Fx1) Fy(f|)ZsZs(8)X计是由相应地面坐标和外方位元素初值计算出的像点坐标。这样（7）式中的常数项就有明确的意义，即为像点观测值和计算值之差。 同样也可以得到，Fy)。

5、1 評丫 (y yo)Z(y(yY yo) ( f)(9)现将（7）式改写为VxaiiVya21XsXsai2a22YsYsyo) (y计yo)= (yai3a23ZsZsai4a24ai5ai6a26lxly(10)式中，Vx、Vy为残差;aij为系数;X s、Ys、Zs、是待求值，l X、l y是像点观测值和计算值之差。与(7)1 Fx式相比较，显然有aiiai2ai3=ai尸ai5=ai6ZXs1FxZYs1FxZZs1FxZ1FxZ1Fxa21a22a23=a24 =a25 =ZXs1FyZYs1FyZZs1FyZ1FyZ1JFyFy(IOa)a26=Zy y计式（io）就是以外方位元

6、素增量为待求值的共线条件方程线性化公式,lxly也称误差方程式。要得到完整的线性化形式，关键是求各个系数 ajj ,而求ajj的关键是求出Fx、Fy对各个外方位元素的偏导数。如何求偏导数，将在共线方程线性化部分介绍。2.2 答解外方位元素的基本过程10)式列出两个误差方程式， n 个控制点可列出 2n 个方程，用每个控制点都可以按（矩阵形式可表示为：式中1vx12v yvx2vy2111a11a12a16111a21a22a 26222a11a12a16222a21a22a 26nnna11a12a16nnna21a22a 26XSYSZSl x1 l y1lx2ly2如果能答解这AXnvxv

7、ynlxn lyn T2n 个方程构成的方程组，则可得到外方位元素的增量。11)具体的求解过程应是一个迭代过程：1）给出外方位元素的初值，X S00 0 0 0 0 YS 、 ZS 、 、 、2）对每个控制点计算误差方程式系数aj和lx、ly,从而按（10）式组成误差方程式;3 ） 答 解 线 性 方 程 组得 到 每 个 外 方 位 元 素 的 增 量X S 、YS、Z S、（ 4）将增量和初值相加，得到新的外方位元素值;（ 5）各个增量是否小于规定的限差？若是，则停止迭代运算;若不是，则将新外方位 元素值作为初值重复（2）（5）。2.3 误差方程组的答解方法（最小二乘原理）式（ 11）是一

8、个由 2n 个方程组成的误差方程组，且方程个数多于待求值的个数，对这 样的方程组应如何答解呢？在摄影测量中一般按最小二乘原理进行答解。按 最小二乘原理 ，求出的待求参数的最佳估计值应使各误差方程式的残差平方和为最 小，即满足12)V T Vmin这样就转化为 VTV 对待求值的求极值问题。F面以式（11）为例，说明求极值后误差方程式的变化。将V T V 分别VTVXsVTVYsVTVZsVTVVTVVTV对 Xs、Ys、Zs、求极值，即令(13)这样将得到六个新的线性方程式,方程式的个数与待求值的个数相同。解这个方程组，则可得到 Xs、Ys、Zs、的最佳估计值。在测量平差中把由式（11）变为式

9、(14)（13）的过程称为误差方程式的法化，法化后的方程式称为法方程式。显然，法方程式的系数和常数项将与误差方程式不同。究竟法方程式的系数、常数项和原误差方程式有什么变化， 又有什么关系呢？这可以通过较复杂的推导过程来找到。在这里，我们略去推导过程， 只按矩阵方式给出结论。由于VTV(AX L)T(AX L) XTATAX 2XTATL LT LVTV2ATAX 2ATL 0整理后有ataxatlATA 即为法方程式的系数阵。两边同乘以N 1，则可求出X，即该式即为 Xs、Ys、Zs、的解。3共线条件方程的线性化在“共线条件方程线性化的基本思路”中，我们知道：共线条件方程线性化的关健是求 各个

10、偏导数( 旦和一巳),下面我们分别求取线元素和角元素的偏导数。3.1线元素的偏导数已知FxFyf XfY(X(yFxx7XxSXai(XXs)D(YYs)C1(ZZs)和Ya2(XXs)b2( YYs)C2(ZZs)Za3(XXs)b3( YYs)C3(ZZs)(X Xo)Zaja3(xXo)SZXo)Zyo)ZXo) YsFxYsYs(Xbifb3(x Xo)FxZ7(XXo)zsCi fC3(XXo)(15)FyXsFyYsYXsY(yyo)子X sa2fa3(y yo)FyZsfYsf上Zs(y(y、Zyryo)Zsb2 fb3(y yo)第二步：求XY、z对、的偏导数，共有9个;如果把

11、内方位元素也作为未知数进行答解,3.2FX竺ZXo亚oXoFXyoFyyo角元素的偏导数FxfFyFx和Fy是角兀素的复合函数，为了推导的方便，我们将对角元素求导数的过程分为三个步骤。第一步：求各个方向余弦 的偏导数，共有27个;第三步:Fx、Fy对角兀素的偏导数，共6个。【第一步】已知a,coscos-sinsinsina2-cos sin-sinsincosa3-sincosblcossinb2coscosb3-sinCisincoscossinsinC2-sinsincossincosC3coscos则有aiCi,aia3S in ,aia2,a2C2,a2a3 cos ,a2ai,a3

12、C3,a3sin sina30,b,0,b,b3S in,bib2,b20,b2b3 cos ,b2bi,b30,b3cosb30,Ciai,CiC3 sin ,CiC2,C2a2 ,C2C3Cos ,C2Ci,C3as,C3COS sinC30,【第二步】在求X Y、Z对、的偏导数时,只需将各方向余弦的偏导数代入即可。但，为X、Y、Z 和了公式的简单与工整，应利用各个方向余弦间的关系，将各个导数尽量化为由ai、bi、Ci表示的形式。这样在乘以1后，考虑ZXoyofiZ，各个系数很容易化成f 丫Z以X、y表示的形式。XF面仅以求为例，说明X、丫、Z对、偏导数的推导过程。由 X ai(X Xs)

13、 bi(Y Ys) Ci(ZZs）可得:由于皀C1、一3-1b1(X Xs)(Ya1，代入上式有C1-(Z Zs)这个式子显然不是用Ci(X Xs) ai(Z Zs)X、Y、Z表示的形式，如何将其化为以 X、Y、Z表示的形式呢？前面我们讲旋转矩阵的性质时,已知道旋转矩阵的每个元素等于其代数余子式，因此有Ci( 1)i ja2b2a3b3，ai ( 1)i jb2b3C2C3，这里i、j是元素的行、列数。代入上式，有bsYb2ZZ sin YY YbsXb1ZZ COSXb2Xb”ZX sinY COS可等到全部9个偏导数如下:(32 b3a3b2)(XXs)(b2C3b3C2)(ZZs)a2b

14、3(XXs)a3b2(XXs：)b2C3 (ZZs)b3C2(ZZsb3a2(XXs)C2(ZZs)b2a3(XXs)C3(ZZs)b3a2(XXs)C2(ZZs)b2a3(XXs)C3(ZZs)b3a2(XXs)b2（ 丫Ys)C2(Z Zs)b2a3(XXs)b3（丫丫 b2Z对其余的求导也作类似处理,)bA Ys) b3b2(Y Ys)Ys)C3(Z Zs)【第三步】直接对Fx、Fy求、的偏导数，并将上式分别代入即可得到 6个角元素偏导数,Fxf -X(XX0)-Zf( bsYbj)(XX0)(b2X b1Y)FxXZf -(XX0)-Z f sin(Xx0 )(X sinY cos )

15、FxXZf -(XX0)-fYFyYZf(yy。)-f( bsYb1Z)(y y0)(b2X dY)FyYZf(yy。)-Z f cos(yy0)(Xsi nY cos )FyYZf(yy0)-f X误差方程的各个系数 将（15）和（16）(16)3.3a11Za1fa3(xX0)a21= a2 fa3(ya12丄dfZb3(xX0)a22=b2fZb3(y%|c1fC3(XX0)a23jG fc3(ya14(X X0)(y 壮)b1a24f (yy0)2中,即可得到误差方程式的各个系数，即式代入（10a）bif(X X0)2b2 yb3a,5fjCina25ai6ai73.4(X X0)(y

16、 y0)b2 Xb3(X Xo)(y yo)sin(X X0)(y y0)cosfsinf(y y0)2cos f cos fy yoa26(X Xo)X X0 ,a181,90a27y y。afI 280, a291(17)误差方程的近似形式在近似垂直摄影情况下，各个角元素都很小,此时,H，代入(17)式，则误差方程的各个系数变为:f0a 11321a 12a 22a 13a 14a 15(X Xq)H(XXq)2f(X XQ)(y y。)fa23a25VxVyy yo这样，可得到误差方程的近似形式为a 16a26H Xs-YsH(X Xo)2X x0F Zs fy yo 7 (X Xo )

17、(y yo)ZsHf(X0(y yo)H(X xo)(y yo)(18)f(xxo)(y(y yo)2Xo)yo)(y(Xyo)Xo)(19)lxly空间后方交会的计算过程内方位元素(1)获取已知数据。包括：n个控制点的地面坐标(Xi、Y、Zi)；Xo、yo、f ;摄影航高H ;像片比例尺量测n个控制点对应的像点坐标(Xi、yi)，并进行必要的系统误差改正。(3)确定外方位元素的初值X S Ys0-700Z S 、0、0。在近似垂直摄影情况下，各个初值可按如下方法确定:0 1 nXs - Xin i 1Yin i 10Zs H mf(4)计算各个方向余弦，组成旋转矩阵R。逐点计算像点坐标值(Xi计、yi计)，常数项和误差方程式系数，即逐点组建误差方程式。计算法方程式的系数阵 ata和常数阵atl,组成法方程式。(7) 按(14)式解各个外方位元素的增量(或改正数)，并与相应初值求和，得到外方位元素的新初值。(8) 检查计算是否收敛。将所求的外方位元素改正数与规定的限差比较，通常只对角元 (20)素的改正数设定限差(一般为0.1 )。当三个角改正数都小于限差时，迭代结束；否则，用新 的初值重复(4)(8)步。(9) 外方位元素的精度估算。5空间后方交会的理论精度根据平差原理，平差后的单位