高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

1、高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1(文)(2010·东北师大附中)已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4C2 D2答案A解析a在b方向上的投影为4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.B.C.D.或答案B解析由条件知，2，1，a·b4，|a|4，|b|2，cosa，b，a，b.2(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a3e12e2，bxe13

2、e2，如果ab，那么实数x等于()AB.C2 D2答案C解析由条件知|e1|e2|1，e1·e20，a·b3x60，x2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a(2,1)，b(1，2)，且mtab，nakb(t、kR)，则mn的充要条件是()Atk1 Btk1Ct·k1 Dtk0答案D解析mtab(2t1，t2)，nakb(2k,12k)，mn，m·n(2t1)(2k)(t2)(12k)5t5k0，tk0.3(文)(2010·湖南理)在RtABC中，C90°，AC4，则·等于()A16 B8 C8 D16答案

3、D解析因为C90°，所以·0，所以·()·|2·AC216.(理)(2010·天津文)如图，在ABC中，ADAB，|1，则·()A2B.C.D.答案D解析，·()···，又ABAD，·0，··|·|·cosADB|·cosADB·|.4(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150° B120°C60° D30°答案B解

4、析abc，|a|b|c|0，|ab|2|c|2|a|2，|b|22a·b0，|b|22|a|·|b|·cosa，b0，cosa，b，a，b0°，180°，a，b120°.5(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足2tt，则()A.B.C2 D3答案B解析2t()t，P在直线AB上，1，t1，2，.6(文)平面上的向量、满足|2|24，且·0，若向量，则|的最大值是()A.B1 C2 D.答案D解析·0，又|2|24，|AB|2，且M在以AB为直径的圆上，如图建

5、立平面直角坐标系，则点A(1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2y21，(1x，y)，(1x，y)，|22y2x，1x1，x1时，|2取得最大值为，|的最大值是.(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为()A8 B6 C5 D4答案B解析建立直角坐标系如图，正方形ABCD边长为2，A(0,0)，N(2，1)，(2，1)，设M坐标为(x，y)，(x，y)由坐标系可知·2xy，设2xyz，易知，当x2，y2时，z取最大值6，·的最大值为6，故选B.7如图，ABC的外接圆的圆心为O

6、，AB2，AC3，BC，则·等于()A.B.C2 D3答案B解析··()··，因为OAOB.所以在上的投影为|，所以·|·|2，同理·|·|，故·2.8(文)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，a·(ba)1，则向量a与向量b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析根据向量夹角公式“cosa，b求解”由条件得a·ba21，即a·b3，设向量a，b的夹角为，则cos，所以.(理)(2010·黑龙江哈三中)在ABC中，·，其面积S，则与夹角的取值范围

7、是()A.B.C.D.答案A解析设，·|·|cos，S|·|·sin()|·|·sin，|·|，·cot，由条件知cot，1cot，·>0，为锐角，.9(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x24y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x24y于B、C两点，那么·等于()A.B0C3 D答案B解析由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：ykx4，由消去y得，x24kx160，x1x24k，x1x216，y1·y2(kx14)(kx24

8、)k2x1x24k(x1x2)1616k216k21616，·x1x2y1y20.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是()ABCD不确定答案B解析2，|，·()·()()·()|2|21.10(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足，则·取得最小值时，点B的个数是()A1 B2 C3 D无数个答案B解析x2y22x2y10，即(x1)2(y1)21.可行域为图中阴影部分，·

9、;|·|·cos，又|为定值，当·cos，取最小值时，·取最小值，ycosx在上为减函数，由图可知，当点B在E、F位置时，AOB最大，|最小，从而·取最小值，故选B.点评可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令·xyt，则yxt，当直线yxt过B1、B2两点时，t最小，即tmin3.当·取得最小值时，点B的个数为2.二、填空题11(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()·()_.答案5解析设AC与BD相交于点O，则()·()()()·()()()

10、·()()()|2|25.12(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则·()的值为_答案12解析，由条件知，|249，|225，|，|2|2，即|2|22·|2|22·，·()12，·()12.(理)(2010·广东茂名市)O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点，平面内的动点P满足()，则时，·()的值为_答案0解析由已知得()，即()，当时，得()，2，即，0，·()·00，故填0.13(201

11、0·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则·_.答案20解析由条件知A1(5,0)，A2(5,0)，F(3,0)，设P(3，y0)，则(10,0)，(2，y0)，·20.14(2010·福建厦门质检)已知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.则函数y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值为_答案284解析|b|1，设b(cos，sin)，an2cos2sin21(nN)，an·bcoscossinsin，y|a1b|2|a2b|2|a141b|2

12、(|a1|2|a2|2|a141|2)141|b|22(a1·ba2·ban·b)2822coscoscoscos2sin2822coscos2sinsin2822cos284.三、解答题15(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)sin2xcos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f(C)0，若向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，求a，b的值解析(1)因为f(x)sin2xsin(2x)1，所以f(x)的最小值是2，最小正周期是T.(2)由题意得f(C)sin(2C)10，

13、则sin(2C)1，0<C<，0<2C<2，<2C<，2C，C，向量m(1，sinA)与向量n(2，sinB)共线，由正弦定理得，由余弦定理得，c2a2b22abcos，即3a2b2ab由解得，a1，b2.16(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD8，CD6，AB13，ADC90°且·50.(1)求sinBAD的值；(2)设ABD的面积为SABD，BCD的面积为SBCD，求的值解析(1)在RtADC中，AD8，CD6，则AC10，cosCAD，sinCAD，又·50，AB13，cosBAC，0<BAC180&#

14、176;，sinBAC，sinBADsin(BACCAD).(2)SBADAB·ADsinBAD，SBACAB·ACsinBAC60，SACD24，则SBCDSABCSACDSBAD，.(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC.分析要证明ADBC，则只需要证明·0，可设m，c，b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决证明：设c，b，m，则mc，mb.AB2CD2AC2BD2，c2(mb)2b2(mc)2，即c2m22m·bb2b2m22m·cc2，m·(cb)0，即·()0，

15、·0，ADBC.17(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0得，(32t,5t)·(2，1)0，所以t.(理)(安徽巢湖质检)已知A(，0)，B(，0)，动点P满足|4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求·的取值范围解析(1)动点P的轨迹C的方程为y21；(2)解法一：当直线l的斜率不存在时，M(1，)，N(1，)，·；当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：yk(x1)，代入曲线C的方程得(14k2)x28k2x4(k21)0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.·x1x2y1y2x1x2k2(