2.3.2+平面与平面垂直的判定+教案

1、2.3.2平面与平面垂直的判定教学目标:1 .理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角2 .掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角：3 .掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定教学难点：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定教学过程：复习两平面的位置关系：(1)如果两个平面没有公共点，则两平面平行凹若a n 3 =匕，则a / 3 .(2)如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交臼若a n 3 =AB,则a与3相交两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课思路1.(情

2、境导入)为了解决实际问题， 人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题推进新课新知探究提出问题二面角的有关概念、画法及表示方法 二面角的平面角的概念.两个平面垂直的定义.用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：二面角的有关概念

3、.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面 .二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图 2 （教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：10 / 12（2）图2二面角的表示方法：如图3中，棱为 AR面为“、3的二面角，记作二面角a-AB- 3 .有时为了方便也可在a、3内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱为l ,则这个二面角记作a图3l 3 或 PlQ.二面角的平面角的概念如图4,在二面角a l 3的棱上任取点 O,以。为垂足，在半平面a和3内分别作垂直于棱的射线OA和OB则射线 OA

4、和OB组成/ AOB.图4再取棱上另一点 O',在a和3内分另1J作l的垂线O' A和O' B',则它们组成角/ A' O B'.因为OA/ O' A ,OB / O B',所以/ AOB及/A' O B'的两边分别平彳T且方向相同 ,即/AOBh A O B'.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角图中的/ AOB,/A' O&#

5、39; B'都是二面角a 13的平面角.直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度， 就说二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直直二面角的画法：如图 5.图5两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个

6、平面互相垂直两个平面垂直的判定定理符号表述为：区 n两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知 AB，3 , ABC 3 =B, AB . a .求证：a ± 3 .分析：要证a ± 3，需证a和3构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角证明：设a A 3 =CR则由AB j|a ,知AB> CD共面.,. AB± 3 , CDh 3 , AB± CD 垂足为点 B.在平面3内过点 B作直线B已CD,则/ABE是二面角a CD3的平面角.又AB± BE即二

7、面角a CD3是直二面角， - a _L 3 .应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例思路1例1如图7,。0在平面a内，AB是。的直径，PALa , C为圆周上不同于 A B的任意一点求证:平面PACL平面PBC.证明:图7设。所在平面为a ,由已知条件，PA! a ,BC山|a ,PAI BC.C为圆周上不同于 A B的任意一点，AB是。的直径，.BC，AC.又 PA与AC是 PAC所在平面内的两条相交直线， BC，平面 PAC.BC闻平面PBC；平面PACL平面 PBC.变式训练如图8,把等腰RtABC沿斜边AB旋转至 A

8、BD的位置，使 CD=AC图8(1)求证：平面 ABDL平面 ABC(2)求二面角 CBDA勺余弦值.(1)证明：由题设,知AD=CD=BD,作DOL平面 ABC O为垂足，贝U OA=OB=OC. .O是 ABC的外心，即 AB的中点. .OC AB,即 OC 平面 ABD. .OD .平面 ABD. 平面ABDL平面ABC.(2)解：取BD的中点E,连接CE OE OC,.BCD为正三角形，CE1BD.又' BOM等腰直角三角形，OEL BD. / OEE二面角CBDA勺平面角.同(1)可证OCL平面ABD.OCL OE.1. CO助直角三角形.设 BC=a 贝U CE=冈,OE=

9、Z , cos / OEC= 叵.点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线例2如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60° ,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30° ,沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）胃。河堤斜而/ A C Fa图9解：取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作 EF，AB,垂足为F,并连接FG,则FGL AB,即/ EFG就是河堤斜面与水平面 ABG所成二面角的平面角，Z EFG=60 ，由此，得

10、 EG=EFsin60° =CEsin30 ° sin60 ° =10X K =4.3 （M.答：沿直道行走到 10 m时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角 a ABB 等于 45° , CDu a, DC AB, / CDB=45 .求CD与平面3所成的角.解：如图10,作COM 交3于点 O,连接DQ则/ CDm DCO所成的角图10过点O作OEL AB于E,连接CE,则CEL AB. / CEM二面角a AB3的平面角，即/ CEO=45 .设 CD=a,贝U CE=冈,- COL OE OC=OE. CO= 3 -. COL DO,. . s

11、in / CDO=区 .丁./ CDO=30 ,即 DC与 3 成 30° 角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面a内找一点C,作另一个半平面3的垂线，垂足为O,然后通过垂足 。作棱AB的垂线，垂足为 E,连接AE,则/ CEO二面角a -AB- 3的平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例 1 如图 11, ABC比菱形，PAL平面 ABCD PA=AD=2 / BAD=60图11(1)求证：平面 PBDL平面 PAC(2)求点A到平面PBD的距离；(3)求二面角 APBD勺余弦值.(1)证明：设AC与BD交于点O,连接PO, 底面 ABCD

12、菱形,BD± AC. PA，底面 ABCD,BD平面 ABCDJ 的 PAL BD.又 PAA AC=A,，BDL平面 PAC.又BD 平面PBD,.,平面 PBDL平面 PAC.(2)解：作AE! PO于点E,二.平面 PBDL平面PAC,，AE±平面 PBD. .AE为点A到平面 PBD的距离.在 PAO中,PA=2,AO=2 - cos30 ° =回，/ PAO=90PO=AE= ri 点A到平面PBD的距离为 国 .(3)解：作AU PB于点F,连接EF, AE，平面 PBD,. . AE1 PB.PBL平面 AEF,PB± EF. / AFE为

13、二面角 APBM平面角在 RtAEF中,AE= 因，AF=回sinZ AFE= 国 ,cos / AFE=面角APBDW余弦值为.变式训练如图12, PAL矩形ABC所在平面，M N分别是AR PC的中点.(1)求证：MN/平面PAR(2)求证：MNLCR(3)若二面角 PDCA=45 ,求证：MNL平面PDC.图12图13证明：如图13所示，(1)取PD的中点 Q 连接 AQ NQ,则Q应口 DC,AlMDC,.QN AM.四边形 AMNQI平行四边形.MN/ AQ.又 MNx 平面 PAD,AQ .平面 PAD,，MN/平面 PAD.(2) PAL平面 ABCDPAI CD.又 CDL A

14、D,PAA AD=A,CDL平面 PAD.又 AQu 平面 PAD,，CDL AQ.又 AQ/ MN/. MNL CD.(3)由(2)知，CDL平面 PAD,.-.CD± AD,CDL PD. / PDA是二面角 PDCA勺平面角./ PDA=45 .又 PA1平面 ABCDJPA，AD.，AQL PD.又 MN/ AQ,.1. MNL CD.又 MN_ PD,，MN_ 平面 PDC.例2 如图14,已知直四棱柱 ABC+ABGD的底面是菱形，且/ DAB=60 ,AD=AA , F为棱BB 的中点，M为线段AC的中点.8图14(1)求证：直线MF/平面ABCD(2)求证：平面 AF

15、CL平面 ACCA1；(3)求平面AFC与平面ABC所成二面角的大小.(1)证明：延长GF交CB的延长线于点 N,连接AN. .F是BB的中点， .F为CN的中点，B为CN的中点.又M是线段AC的中点，故MF/ AN.又 MFu 平面 ABCD,ANi 平面 ABCD, .MF一面 ABCD.(2)证明：连接BD,由直四棱柱 ABCD-ABCD,可知AAL平面 ABCD, 又 BDu 平面 ABCD 1 A1AX BD. 四边形ABC型菱形，ACL BD.又 ACn AA=A,AC A1A u 平面 ACCA1, .BDL平面 ACCA1.在四边形 DAN升,DA/ BN且DA=BN 四边形D

16、AN时平行四边形.故 NA/ BDNA!平面 ACCA1.又 NA .平面 AFC,平面 AFC,平面 ACCAi.(3)解：由(2)，知 BDL平面 ACCAi,又 AC 一 平面 ACCA,BD±AC.1. BD/ NA ACXNA.又由BD! AC,可知NAL AC, /CAC就是平面AFC与平面ABC断成二面角的平面角或补角.在 RtCiAC中，tan/CiAC= a ,故/ CiAC=30° . 平面AFC与平面ABC断成二面角的大小为 30°或i50° .变式训练如图i5所示，在四棱锥 S ABCD,底面ABC皿矩形，侧面 SDCL底面ABC

17、D且AB=2,SC=SD=2.图i513 / 12(i)求证：平面 SADL平面SBC(2)设BC=k BD与平面SBC所成的角为“，求 sin ”的取值范围(i)证明：在4SDC中，. SC=SD=R , CD=AB=2, ./ DSC=90 ,即 DSL SC. 底面 ABCD矩形，. BC± CD.又,平面 SDCL平面 ABCDJBC1面 SDC.DS± BC.,. DSL面 SBC. DS回平面SAD；平面SADL平面 SBC.(2)解：由(i)，知DSL平面SBC,，SB是DB在平面SBC上的射影.丁./ DBS就是BD与平面SBC所成的角,即/ DBS=x .那么sin a =冈.sin a =,.BC=x,C