应用基本不等式的八种变形技巧

1、即所谓“和定积最大，积有的需要对待求式作适当变应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值, 定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值,8形后才可求最值.常见的变形技巧有以下几种:©©©加上一个数或减去一个数使和或积为定值例LjJ函数4f(x) = ； + x(x<3)的最大值是()x 3B.1C. 5【解析】因为x<3 ,所以3 x>0 ,所以f(x)=严 +( 3 x)匕x+ 3< 2气/( 3 x) + 3 = 1.当且仅当亠 =3 x,即x= 1时等号成立，所以f(x)的最大值 /

2、3 x3 x【答案】 D爲苗£ 平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值.2例21若x>0, y>0，且2x2 +卷=8，求6+ 2y2的最大值.点拨由于已知条件式中有关X, y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值 . 2当且仅当【解】(心 + 2y2)2= x2(6 + 2y2)= 3 2x2(1 + 殳卜 3 2x2 = 1+ 3，即x = I，y =乎时，等号成立.故 彳6 + 2y2的最大值为 討3©©©展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求

3、其最值.3S3已知 a>0, b>0 且 a+ b= 2，求点拨由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值.+半4(当【解】由题得供1托+4ab+1+1+1=ab+第+1=ab+1,因为a>0,b>O,a + b= 2,所以2>2低，所以ab< 1,所以話 1.所以且仅当a = b= 1时取等号),所以2 +1£+1)勺最小值是4.©©©变形后使用基本不等式I例 设 a>1, b>1，且 ab (a + b)= 1，那么()a+ b有最小值2(2 + 1) a + b有最大值

4、(慣+ 1)2ab有最大值2 + 1C.ab有最小值2(承+ 1)a + b -【解析】因为 ab (a + b)= 1, ab< ()2,所以Z>2a+ J (a + b) > 1,它是关于a + b的一元二次不等式，解得 a+ b> 2(2 +1)或 a+ b< 2(12)(舍去),所以a+ b有最小值2(/2 + 1).又因为 ab (a + b) = 1, a+ b > /ab,所以ab /ab> 1,它是关于TOb的一元二次不等式，解得融迄+ 1或融< 1 2(舍去),所以ab> 3 + 22,即ab有最小值 3 + 2.【答案】

5、A©©©形如型函数变形后使用基本不等式g (x)f ( x)若y=亠)中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值.g (x)求函数 y= ( X+ 5X+1X+ 2) (xM-1)的值域.B点拨将(X+ 5)(x + 2)用(X + 1)来表示再变形为f(x)= Ax+ - + C的形式，然后运用基本入不等式求解.2(X+ 5)( x + 2)x2+7x+ 10【解】 因为y=X+ 1(x+ 1)2 + 5 ( x+ 1)+ 44=x+ 1 + 5,x + 1X+ 14+ 5= 9(当且仅当x= 1时取等号);x + 14-=1（当且仅当x= 3时取等

6、号）.X+ 1Y= 3+ 2 返当且仅当y=p 且 1+y= 1,即 x=j2 + 1, y= 2 + 2时，上式等号成立.故X+ y的最小值是3 + 2返.法二：因为1 + -= 1,所以x=YX yy 2当 x + 1>0 时，即 x> 1 时，y2、y (x+ 1)当 x + 1<0,即 x< 1 时，yw 5 2寸(x+ 1)所以函数的值域为（一a, 1 U 9 , + 8）用1 ”的代换法求最值 1 2【例血 已知x + y= 1,且x>0, y>0，求x+ y的最小值.【解】 法一：因为 x>0, y>0,所以 x+ y= (x+ y

7、) 1= (x+ y) £+j3+三十y3 +因为 x>0, y>0,所以 y 2>0.所以 x+宀+y= y- y(y2)'十3 (y2)+ 2y 2 y 2y 2y 2y 2 + + 33 + 2迈 j当y 2 = 't,即y= 2 + V2 y 2V时取等号，此时x=V2 +1）.求以形如或可化为a+牛1型为条件的cx+ dy（a, b, c，d都不为0）的最值可利用乍1 2的代换求乘法.本题中的条件x+厂1也可化为2x+y-xy= 0.2b23S23若a, b为常数，且0<x<1，求f(x) = + 的最小值.x 1 x点拨根据待

8、求式的特征及0<x<1知x>0, 1 x>0.又1 = X+ （1 x）,因此可考虑利用“1 ”的代换法.【解】 因为0<x<1，所以1 x>0.2 , 2 2 , 2a b a b所以一+= 1 +x 1x x 1x1 = 2伙+ (1 x) + 丄X + (1 x)x1 x22 a (1 x)b2X2、222=a2 + b2a2+ b2+ 2ab= (a + b)21 x上式当且仅当2a (1 x)b2x=d时，等号成立.1 x2.2才、ab所以+x> (a+ b)2.1 x故函数f(x)的最小值为(a + b)2【例 若实数a,b满足ab

9、4a b+ 1 = 0(a>1)，则(a + 1) (b + 2)的最小值是点拨由于所给条件式中含两个变量 待求式转化为含一个变量的式子后求其最值a, b,因此可以用一个变量表示另一个变量，将【解析】因为ab 4a b + 1 = 0,所以b= 4a= 4 +一a1a16 6 又因为 a>1,所以 b>0.所以(a + 1)(b + 2) = ab + 2a + b+ 2= 6a+一+ 9= 6(a 1) +一 a 1a 1+ 15.因为a 1>0,6I6所以 6(a 1) + 152气 /6 (a 1) X + 15= 27.a 1/a 16当且仅当 6(a 1) =

10、(a>1),a 1【答案】27已知条件含形如 ax+bxy+cy+ d = O(abcM 0)型的关系式，求关于X、y 一次式的和或积的最值问题.常将关系式中ax+ bxy + cy+ d= 0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或X)后求解.©©©代换减元求最值EBO设正实数x, y, z满足x2 3xy+ 4y2 z= 0,则当取得最小值时，x+ 2y z的xy最大值为【解析】x2 3xy + 4y2 z= 0? z= x2 3xy+ 4y2,2 2 ,xy三=x 3xy+ 4y = x+ 徴3护3 = 1. xyxyy Xy y x等号成立条件为x= 2y,2 2 2代入到 可得z= (2y) 3 2y y+ 4y = 2y ,所以 x= 2y, z= 2y2,2所以 X+ 2y z= 2y+ 2y 2y=2(y2 2y)= 2(y 1)2 + 2< 2.【答案】2ITS在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的 问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解建立求解目标不等式求最值tSH 已知x, y均为正实数，且xy= x+