线性代数期末复习题

1、WOR格式线性代数复习题、判断题(正确在括号里打"，错误打X )1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列 式与原行列式相等，亦即c 一c a : b .a -j b - a :-b .b a c -1. Ib - a c.- b 厂 a : c /2. 若一个行列式等于零，则它必有一行(列)元素全为零，或有两行(列)完全相同，或有两行(列)元素成比例3. 若行列式D中每个元素都大于零，则D>0.()4. 设A, B, C都是n阶矩阵，且ABC止E，则CAB 口 E.()5. 若矩阵A的秩为r，则A的r 1阶子式不会全为零.()6. 若矩阵A

2、与矩阵B等价，则矩阵的秩 R(A)=R(B).()7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.()8. 若向量组a 1, a 2,., a s线性相关，则 a 1 定可由a 2,., a s线性表示.()9.10向量组 a 1, a 2,.,aa 1, a 2,.,a s(s3)关中，若a1与a s对应分量成比例，则向量组a 1, a 2,., a s线性相关.( 线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无.(11当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解.(12.齐次线性方程组一定有解._(13.若为可逆矩阵一 A的特征值，则1为A1的特征值.(1

3、4. 方程组(EA)x0的解向量都是矩阵 A的属于特征值的特征向量.(15.n阶方阵A有n个不同特征值是A可以相似于对角矩阵的充分条件.(16. 若矩阵A与矩阵B相似，则R(A) R(B).()1、单项选择题s-+a11a12a13P12=a11 a12a131.设行列1式m,n,则行列式()a21a22a23a21a21 a22a23(A)m n(B)(mn)(C)nm(D)mn3 862.行列式51 2的兀素a21的代数余子式A21的值为()1 07(A) 33(B)33(C)56(D)56专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式_10x11111四阶行列3.式中x的一次项系数为()1

4、1111111(A)-1(B)1(C)4(D)_ 4a11a12a1nan1a 小an2 .nn4.设 D a21a22.a2n,D2 _an1,1an1,2. an1,n,则D2与D的关系是()ananan12na11a12.a1n-:二 _ n(n1)(A)D2D(B)D：2 Hh D(C)D2(1)2D(D)D2(1) n(n1)DFa b甲0豊.0 ' 00ab|k.0 05.n阶行列式Dn的值为()000a b+b000 a+ = +(A)an/bn(BI)anbn(C)an (1) n1bn(D)n(ab)I12 3丿6.已知A101 2 ,则A*( )00 1 '

5、(A)1(B)2(C)2 一| 土 (D)37+.设A是n阶方阵且A5,则(5 AT)1( )(A)5 n1r(B)51 1X(C)5n1 =(D)5n.设A是m n矩阵，B是n m矩阵(mn)，则下列运算结果是m阶方阵的是()(A) AB(B)-(C) BA' (D)( AB)T9_.A和B均为n阶方阵，且(A B) A 2AB B，则必有()(A) A E(B) B E(C) A B(D) AB BA10. 设A、B均为n阶方阵，满足等式ABO,则必有(一 )一十 一(A) A O或 BO(B) AB P(C) A 0 或 B0(D) AB 0=爭二峯三I=11. 设A是方阵，若有

6、矩阵关系式AB AC则必有()(A) A O (B) B C 时 A O(C) A O 时 B C(D) A0 时 B C专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式(A)ARR =B(B) AP2PiB(C) R2P1AB(D) P1P2AB13.设A、B为n阶对称阵且B可逆，则下列矩阵中为对称阵的是()(A) AB - -B1A(B) AB*B1A(C) B1AB(D)( AE)2fa11a12a13f a21a22a23.31，以及初等变换矩12.已知方阵Aa21a22轴B二a11a12a13| 阵131a_ _32-33-rILJa -丄3111a32a12a33a13 向 1 0 &

7、#39;'f 100 R10 0 ,P2=10101，则有()0 1 .-101丿14. 设A、B均为n阶方阵，下面结论正确的是()(A) 若A、B均可逆，则A+B可逆(C)若A+B均可逆，则 A- B可逆(B) 若A、B均可逆，则AB可逆(D)若A+B可逆，则A、B均可逆15. 下列结论正确的是()(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C) 非奇异阵等价于单位阵(D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A的秩为r，则A中(A)所有r 1阶子式都不为0(C) 至少有一个 r阶子式不为0)(B)所有r 1阶子式全为 0(D)

8、所有r阶子式都不为 0(1) BCA=E,(2) BA(=E,(3) CAB=E,(4) CBA=E中，一定成立的是()(C)(1)(4(D)(2)(4(A)(1)(B)(2)(3)_ )18.设A是n阶方阵，且AsO(s为正整数)，贝叮EA) + 1等于()+4(A)1(B) EA1(C) AA2.A(D) E A. As1EA-31219.已知矩阵A1-0护1 , A*是A的伴随矩阵，则A中位于(1, 2)的兀素是()21417.设A、B、C均为n阶矩阵，且 ABC=E,以下式子(A) 6(B)6(C)2(D) 2专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式20. 已知A为三阶方阵，R(A

9、)=1，则()(A)R( A)3 二(B)R( A)2 (C)R( A)1(D)R( A) 一 021. 已知34矩阵A的行向量组线性无关，则矩阵A的秩等于()(A)1(B)2(C)3(D)4设两个向量组ai, a 2,.,a s和3 i, 3 2,.,3 s均线性无关，22. 贝U()2,.(A)存在不全为0的数1, ' ,s使得a眾 a潜 a和-33. 3 = 01122 .ss01122ss打,X(B)存在不全为0的数1,I；s使得+1( a323s13 1) 2( a2)-s(a s)0(C)存在不全为0的数1,2,j s使得ss1( a 13 1)2( a：A.s(a s3s

10、)-'0-(D)存在不全为0的数1,2,. k5.=LL44s和不全为1+ ”+陰0的数1,2,.,- s使得aaa和333 01122 .ss01122.ssa , a ,.,23.设有4维向量组126，则()(A)a ,ca,a中至少有两个向量能由其余向量线性表示126(B)a ,ca,a线性无关126(C)a ,ca,a的秩为4126(D)上述说法都不对-a, a , a线性无关，则下面向量组一定线性无关的24.设123是( )(A) 0, a 2, a 3(B) a 1,2 a 2, a 3(C) aa , aa , aa(D) aa , aa , a a1 2 23 311

11、2 2331a ,ca,a (3sn)线性无关的充要条件25.n维向量组12s是( )(A) a , a ,.,a中任意两个向量都线性无关1 2s(B)a ,ca,a中存在一个向量不能用其余向量线性表示12s(C)a ,ca,a中任 个向量都不能用其余向量线性表示12s(D)a ,ca,a中不含零向量12s26.下列命题中正确的是()专业资料整理WOR格式(A)任意n个n+1维向量线性相关(C)任意n+1个n维向量线性相关(B)任意n个n+1维向量线性无关(D)任意n+1个n维向量线性无关4专业资料整理WOR格 式27.(+a12xa11x1. 2 a21x1已知线性方程组十屮.a1an1a?

12、%?nxn2nxn(A) 一定有唯一解(C) 一定无解00的系数行列式D=0,则此方程组()28.组已知非齐次线性方程换成常数项得到的行列式(A) 一定有唯一解(C) 一定无解an2x2axnn n0(B) 一定有无穷多解(D)不能确定是否有解+峠a1f1a12x2.a x1n nb1a2f1a22x2+a2nxn- b2的系数行列式an11an2x2a xnn nbnD10,则此方程组()(B)一定有无穷多解(D)不能确定是否有解1D=0,把D的第一列29n矩阵，已知A为m 组齐次方程Ax0仅有零解的充要条件 是3031(A) A的列向量线性无关(C)A的行向量线性无 关:(B) A的列向量

13、线性相关(D) A的行向量线性+目关已知A为m(A)R( A, b)已知n阶方阵(A)R( A) nn矩阵，且方程组Axb有唯一解，则必有(B)R( "b)(C)R(A,b)(D)R( A b) nA不可逆，则必有(B)R( A)n(C) A0(D)方程组Ax 0只有零解32.n元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵的秩为n+1，则此方程组(333435(A)已知(A)(C)有唯一解IB)有无穷多解(C)无解-h)不能确定其解的数(D)量n ,n是非齐次线性方程组1 2r n1nn1Axb的任意两个解，则下列结论错误的是是Ax2是Ax20的一个解0的一个解+若V1, V2, V3, V4

14、是线性方程组Ax 必基础解(A)解向量(B)系若n是线性方程组Ax b的解，的是()(C为任意常数)(A) n CE(B)C n CE，T:+ 哙(B)1( nn )是Axb的一个解12(D厂2 nn 2 是 Axb的一个解0的基础解系，则(C)通解V1V2V3V4是该方程组的(D) A的行向量是方程Ax 0的解，则以下选项中是方程MB：(C)C n CE(D)C nE专业资料整理()Ax b的解WOR格式36已知 矩阵 的秩为n1 , a a是齐次线性方程组 Ax 0的任意两个不同的解，m nA1, 2k为任意常数，则方程组Ax0的通解为（）(A)k a(B)k a(C)k( aa )(D)

15、k( aa )1 21 21 2专业资料整理WOR格式37()I I莘(B) A 0.n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是(A) A的秩小于n(C) A的特征值都等于零(D) A的特征值都不等于零383,则下列矩阵中已知A为三阶方阵，E为三阶单位阵，A的三个特征值分别为1,2,是可逆矩阵的是()卅1(A)A E(B) AE(C)A3E(D)A2E395E , E.已知1 2是n阶方阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为12，则()EE(A)和E线性相关(B)和E线性无关1 212E和>E和(C)1E 2正交(D)1E 2的内积等于零40A=人.已知A是一个n(3)阶方阵，下列叙述中正确的

16、是itH_()a,贝U a是A的属于特征(A) 若存在数和向量a使得Aa 值的特征值和非零向量a使(B) 若存在数，得(E A) a 0,则是A的特征值a，a，a分别是相应的特征向量,一123 则A(C) A的两个不同特征值可以有同一个特征向量55(D) 若i 23是A的三个互不相同的特征值,Aa , a , a有可能线性相关12341一. 已知0 是矩阵A的特征方程的三重根,0的线性无关的特征向量的个数A的属于为则必有()(A)k 3(B)k342. 矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是(A)R( A)=R( B) (B) A=B43 n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量 .是(A)充分条件

17、”(B)必要条件44.n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是(A) A相似于单位矩阵E(C)AT _ A144 -. 已知A是正交矩阵，则下列结论错误的是(C)k 3(D)k3( )(C) A B(D) A与B有相同的特征值A与对角阵相似的()(C既不充分也不必要条)充要条件(D)件( )(B)A的n个列向量都是单位向量(D) A的n个列向量是一个正交向量组( )(A) A 21(B) A必为1专业资料整理WOR格式(C) A1A(D) A的行(列)向量组是单位正交组6专业资料整理WOR格式三、填空题1.已知 a31a2ia13a5ka44是五阶行列式中的一项且带正号，则i=,k=2.已知三阶行列式

18、A表示元素aj对应的代数余子式，则与aAibA?2cA2346. n阶方阵A是实对称矩阵，则()(A) A相似于单位矩阵E(B) A相似于对角矩阵(C) A1_ At(D) A的n个列向量是一个正交向量 组47.已知A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，bCac,测()(A) A与B相似(B) A与B不等价(C)A与B有相同的特征值(D) A与B合同对应的三阶行列式为3.已知LO10，则 x=24.已知A，B均为n阶方阵，且AaJR丰0,B»*bO,则(2a)BtAB'25.且1 A13，则 A1*,3A4A16.已知三阶矩阵” A的三个特征值分别为1,2,fi3,则4A1*3A设

19、矩阵A = a11 a12a13 |，是方阵，且有意义，则疋7.R-XxBABBa21 a22a23列矩阵.= (Ci8.已知矩阵A, B, Cj)sn,满足 ACCB,则A与B分别是9.可逆矩阵A满足阶矩阵，AB阶矩阵.10 (1,1,. 已知a 11)A2TA 2EQ 则 A =Ta 2(X,0,y), a 3T(1,3,2)a , a , a，若123线性相关，则X, y满足关系式专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式all a1211.矩阵Aa2i a22的行向量组线性关.aa3132一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最12. 多大Ax 一 b的两个不同的解，则该设

20、 是34矩阵，r(a) 3,若n , n为非齐次线性方程组13. A1214.已知A是mn矩阵，R(A)r(n)，则齐次线性方程组的个数为/-S Tk.t 'I.广寵4121 illrX11E1111已知方程1Un15.组,23 a- 2丿E /2无解，贝U a=.1a 他2丄X3 j.3Ji 3L +十方程的通解为Ax0的一个基础解系中含有解16.若齐次线性方程组f 1x1 入 X2*X3 二 0入X1 X2 ' X3二0只有零解，则 需要满足X30X1 X217.已知矩阵1x可相似对角化，则 x=518.已知向量I F|rI的长度依次 au| 为 j 二 |L1丿4丿aB

21、, a2和3,则向量内积諾19.已知向量a a0 , b/2, c与a正交，且 bac,则j213 _n.1匕12JJF的特征向量，20.已知X1为A5 la_ 3则a=,b=11 b2,c=已知三阶矩21. 阵A的行列式A 8,且有两个特征值一设实二次22. 型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为1和4,则第三个特征值为3，则其规范形f(z 1,Z2,Z3,Z4,Z5)23.二次型 f(x,x,x )2xx4x x3x2 的矩阵为.二1 2 3122 3131J2 0'24.已知二次型f(x,y,z)的矩阵为于2毛中5,则此二次型f(x,y,z)050t

22、x325.已知二次型f(x1,x2,x3)2x123x2222x1x2 2x1x3是正定的，则t要满足专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式四、行列式计算1.已知A, B为三阶方阵，1, B2,求行列式(2 AB*)1A.-2.已知行列式D-，求 5Al1A2l4A3lAl.3.计算n阶行列式Dn是1，其它兀素都是4.计算n阶行列式Dn5.计算n阶行列式xaa6.计算行列式1x17.计算行列式0.0.2.0 .a.ax .a .11x其中主对角线上的元素都是1 0 .0 02 1 .0 012爲.聲0 0J0 0 .1 2cdcd淨xc21DnO0xbxdc1y111y2,另外两个角落的

23、元 素一 x3X2xx23DnxX28.计算行列式XnXnXn3专业资料整理WOR格式专业资料整理WOR格式五、矩阵计算11.设 A3I12 0塗f 24 0, B / 22 13 _ 1丿，求(1) ABr; (2)44 01 1II=卜2 2 2二-2 02.已空知A14 -丿2, B125丿2121，且 AX BX 求 X.1"20 1 -23. 设A0 2 0 , B均为三阶方阵，E为三阶单位阵，且 ABEAB,求B.ft1-11=1100二 2134011-01 02134.设 B 1-,C 100110021 亠00100021 0 1,E为四阶单位阵，且矩阵X满足关系式

24、TX(CB r E,求签r1zJ1 f1113 0AU/12 05.已知 A2 6 1, B，且 XA B, 求艮X.>臂01 30 1 112 3k6.设 A1k2； (3)R( A)3.2k 3，问：当k取何值时，有(1)R( A)1 ；R( A)23六、向量组的线性相关性及计算二|二;=_IH b.ja:rj IBI1345a1,a4,a15a2，求向量组1.设 1-lIf2I1fl3F I4Li112|3=A2 -23111i关向量组，; 断并判E i_ a1, a 2, a,_ i b3, a 4 疋I线性相关还是线性无关.a , a , a1234的秩和一个最大线性无1213

25、49010，求此向量组的秩和一个最大无关2.设 a,a,a,a组，并将其余专业资料整理WOR格式1234113031向量用该最大无关组线性表示.10专业资料整理WOR格式a3.当a取何值时，向量组a i12-12Th»12.if f ¥线性相一 一12 关？a14. 将向量组12 ,Vif- 1：IJa 2- 3, a 3A1丿I 4 =1规范正交化I 0丿.15 1I1 1j*Ti,3 I1i- 3014ai¥,aL,a1.给定向量组1|J|_r'2 |J113 |L j人0 :Tfc'Jr"2 2鬣2341七、线性方程组的解0a|，试

26、判断 是否为 a , a , a的线性4a4123 组"_r49合；若是，则求出线性表达式T =* 击 =14x1 2x2 X32+ =2. 求解非齐次线性方程组3x1X22x310.11x 13x28wJ._+二iX1X23x3X413.求解非齐次线性方程组3X1X23x34x44.X1 5x29x38X44-0 -+ =X1X22x3kk2有唯 解，无解，有无穷多解？并4.当k满足什么条件时，线性方程组1 2x 2kx3在2xxk2x01 2=i3二有无穷多解时求出通解.4-=kx1(k 1)X2 X315. 当k满足什么条件时，线性方程组并在有无穷多解时求出通解.6. 已知非齐

27、次线性方程组Axb为kx1kx2X32 有唯一解，无解，有无穷多解？2kx12(k1)X2 kx3- 2rK +=* =:"出-=X1X2 X3 X4X5 23x12x2 X3X43x5a，问：当a、b取何值时，方X22x32x46x53专业资料整理WOR格式程组Ax5xi 4x2 3x3 3x4X5 bb有无穷多个解？并求出该方程组的通解11专业资料整理WOR格式X1 X2 承 X3 a的值.1 123设四元非齐次线性方程，已知n8组.Axb的系数矩阵的秩为JF- j.f A3I 2 '1一 1"h131 2且n ( j'nn1 Jf1,23，求该方程组的

28、通解.435*4= =(-) 9.设非齐次线性方程组Axb 的增广矩阵AAb, A经过初等行变换为11 0 / 1 2丿A01 131 =,00 003则(1)求对应的齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系；(2) 取何值时，方程组Axb有解？并求出通解.:«jf U八、方阵的特征值与特征I |向量1rIJ力2 00丿、2 0 0'1已知A0 01B0 y 0 ，若方阵与相似，求 、ABxy0i 1X0 0 1A 010 C) 100 02.设方阵A的一个特征值为3,求y的值.00y 1_冷+|001 2123的值7.设方程组X1 2x 2苛.ax3 一 0与方程X12X2 X

29、3a1有公共解，求x 4xa2X0是它的三个解向量，3.已知三阶方阵A的特征值为1、2、3,求行列式 A 3A 2E的值.4.求方阵A05.设 A110的特征值与对应的特征向量3求可逆矩阵 P,使得P1AP为对角矩阵.专业资料整理WOR格式12专业资料整理WOR格式设A2 1-12,求正交矩阵，使得pap为对角矩阵.P7.已知矩阵A410已知矩阵A200,判断是否存在一个正交矩阵2九、二次型P,使得P1AP=A为对角矩阵.4的特征值为 、8,11求正交矩阵P1 为对角，使得PAP阵1.当 t 取何值时，f(x1,x2,x3) x12 4x2 4x32 2tx1x2 2x1x34x2x3 为正定二次型?2.求一个正交变换把二次