小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析汇报

1、实用标准文档文案大全三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分 知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型1等底等高的两个三角形面积相等；2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1:S2= a: b3夹在一组平行线之间的等积变形， 如右图 反之，如果SAACD=SBCD，则可知直线4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四 边形）；5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比

2、等于它们的高之比.、等分点结论（“鸟头定理”）911如图，三角形AED占三角形ABC面积的-X -=-34 6实用标准文档文案大全三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)1Si:S2=S:S3或者SixS3=S?xSAO：OC=( S+S) : (S+S)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)1Si:s=a2:b22S:S3:S2:S= a2:b2:ab:ab ;3S的对应份数为(a+b)2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：1两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;2两个三角形若有两条边对应成比例，三角形相似

3、。22Si:S=a:A模型五：燕尾定理且这两组对应边所夹的角相等则两个实用标准文档文案大全SAABG SAAGC= SABGE SAGEGBE: EQSABGA SABGC= SAAGF SAGFC= AF:FC;SAAGC SABCG= SAADG SADGGAD DB【重点难点解析】1模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1.三角形面积等高成比2.“鸟头定理”3.“蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级丿如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E、F、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为 AD边上的任意一点，求阴影

4、部分的面积.【例2】（难度等级丿如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.A实用标准文档文案大全如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证 明它们的面积相等.【例3】（难度等级小如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？如图，在面积为 1 的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD 的中点，延 长 CF 交 AB 边于 E,求三角形 AEF和三角形 CDF 的面积之和。【例5】（难度等级探

5、）如右图 BE=I BC, CD= AC,那么三角形 AED 的面积是三角形【例6】（难度等级丿【例4】（难度等级探）ABC面积的几分之几?G实用标准文档文案大全【例8】（难度等级丿如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，EF 和 BC 平行，ECH 的面积是 7 平方厘米，求 EG 的长。【例10】（难度等级丿如图已知四边形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，那么图中阴影三角形 BFD 的面积为多少平方厘米？【例7】（难度等级小如图，在长方形ABCD 中, Y 是 BD 的中点，Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米,求三

6、角形 ZCY 的面积.ZY实用标准文档文案大全【例11】（难度等级丿如图，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为12 ,23, 32,则图中阴影部分的面积为？D实用标准文档文案大全【例12】（难度等级 丿如图，平行四边形 ABCD 周长为 75 厘米，以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。【例13】（难度等级如右图，正方形 ABCD 勺边长为 6 厘米， ABE ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积.【例14】（难度等级如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分） 积是乙部分面积的几分之几？【

7、例15】（难度等级小某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方实用标准文档文案大全千米，BOC 面积为 2 平方千米，COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92【例16】（难度等级丿图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米?D实用标准文档文案大全【作业】1.如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE = 3AE，三角形ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形ABC的面积是多少？2如右图所示，在长方形内画出一些直线， 已知边上有三块面积分别是13,35,49.

8、13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少？HA=4AD 平行四边形 ABCD 勺面积是 2,求平行四15.如图，在厶 ABC 中，延长 BD=AB CEBC, F 是 AC 的中点,2若厶 ABC 的面积是 2,则厶 DEF 的面积是多少？3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4 4 厘米，求三角形 ABCABC的面积。4.如图，平行四边形ABCDBE=AB边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比.BCIDCA实用标准文档文案大全【例1】（难度等级丿如图，长方形 ABCD 勺面积是 56 平方厘米，点 E、F、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为 AD边上的任

9、意一点，求阴影部分的面积 .【分析与解】如右图，连接BH HC由E、F、G分别为AB BC CD三边的中点有AE=EB BF=FC CGCD因此 S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积 =S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面 积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部 分面积为 28.【例2】（难度等级丿如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的面积是 _ 平方厘米.【分析与解】 上排 4 个阴影三角形的高都等于 BF,底边之和恰好为 AB,他们的1面积之和为一BF AB；下排 4 个

10、三角形的高都等于 CF,底边之和恰好为 CD 他们的面积211之和为CF CD CF AB.所以阴影部分面积为：221111-BF AB CF AB BC AB 3 4=6（平方厘米）.2 2 2 2【例3】（难度等级丿如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为AB 和 AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？【分析与解】1首先，SABCBCAD=24平方厘米，而 F 是 AC 中点，所【例4】（难度等级丿如图，在面积为 1 的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD 的中点，延长 CF 交 AB 边于 E,求三角 形 AEF以S.ABFS

11、.ABC.又 E 是 AB 中点，所以SEBF-S：ABC二6平方厘米.4实用标准文档文案大全和三角形 CDF 的面积之和。实用标准文档文案大全【分析与解】连接 DE,于是三角形 AEF 的面积=三角形 EFD 的面积，所求被转化为三角形 EDCF 面积。因为 F 是 AD 中点，所以三角形 AEO 的面积和三角形 EDC 的面积相等,设 S GBDE 为 1 份,贝 U S 厶 AEC=S.l EDC 为 3 份因此 S A ABC共 7 份，13每份面积为丄所以 S 厶 EDC 占 3 份为-。77【例5】（难度等级探）如右图 BE=| BC, CD= AC,那么三角形 AED 的面积是三

12、角形 ABC 面积的几分之几?【分析与解】上图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE= BC,于是 EC= BC,SAEC_2SABC31又由于三角形AED 与三角形 AEC 的高相等，而CD=丄AC,于是43SAED3AD=AC,:4SAEC433 2所以，三角形 AED 的面积=X三角形 AEC 的面积=X - X三角44 31形 ABC 的面积=X三角形 ABC 的面积2【例6】（难度等级丿如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们 的面积相等.【分析与解】连接BE显然有S.ABEABCD,SA BE = ?SAEGF所以SABCD-SAEG

13、FCC实用标准文档文案大全实用标准文档文案大全【例7】（难度等级小如图，在长方形 ABCD 中, Y 是 BD 的中点，Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米,求三角形 ZCY 的面积.【分析与解】SABCD= AB BC =192平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以11 1111SZCY（匚SCDB）二（二SABCD）SABCD=242 2 = 2 2 28【例8】（难度等级丿如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，EF 和 BC 平行，ECH 的面积是 7 平方厘米，求 EG 的 长。【分析与解】11XEGX AE +XEG EB = 7 平方厘米221即

14、一XEGX AB=7 平方厘米；EG=3.5 厘米2【例10】（难度等级丿如图已知四边形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD的边长为 10 厘米，那么图中阴影三角形 BFD 的面积为多 少平方厘米？【分析与解】连接CF由ABCD CEF&E是正方形有BDC =/DCF =45所以BDLICF.八H由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDCW底等高所以S.BFD-S.BCD二2SABCD=50实用标准文档文案大全【例11】（难度等级丿如图，一个长方形被切成8 块，其中三块的面积分别为12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为？【分析与解】如右图，已知a+b+x=

15、23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12】（难度等级 丿如图，平行四边形 ABCD 周长为 75 厘米，以 BC 为底时高 是14 厘米；以 CD 为底时高是 16 厘米。求平行四边形ABCD 勺面积。【分析与解】BCX 14=CDX 16, BC CD=16: 14,757516BC+CD,BC=X=202216+14ABCD 面积=14X20=280 （平方厘米）如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米， ABE ADF与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积.【分析与解】因为 ABE ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等， 所以四

16、边形 AECF 的面积与 ABE ADF的面积都等于正方形面积的三分之 一，也就是：1S四边形AECF二SAABE- SADF- 366=12在厶 ABE 中，因为 AB= 6.所以 BE= 4,同理 DF= 4,因此 CE= CF=2,【例13】（难度等级实用标准文档文案大全ECF 的面积为 2X2-2 = 2.所以SAAEF= S四边形AECF- SAECF=12-2=10（平方厘米）实用标准文档文案大全【例14】（难度等级【例15】（难度等级小某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分， AOB 面积为 1 平方千米， BOC 面积为 2 平方千米， COD 的

17、面积为 3 平方千米，公 园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千 米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有S.AOBS.COD二S.AODSBOC所以S.AOD=13“2=1-5平方千米，故公园总面积为13 2 1.5 = 7.5平方千米，人工湖面积为【例16】（难度等级探）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.设厶 AEG 的面积为 x，显然 EBG BFG FCG 的面积均为 x，则 ABF的面积为 3x ,1 100SABF20 10=100即x，那么正方形内

18、空白部分的面积为23,4004x.如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4BE=3, AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?【分析与解】由BD =DCBD=DC 有BD1BE AB.由鸟头定理有3S甲二-S乙.51BC;由BE = 3，AE = 6，有21 1 1自=3 2 SABC=6SABC，足，故7.5-6.92 = 0.58平方千米DDB实用标准文档文案大全3所以原题中阴影部分面积为20 20 -400=800（平方厘米）.33实用标准文档文案大全【作业】1.如图，三角形ABC中，DC =2BD,CE = 3AE，三角形 ADE 的面积是 20 平方【答案】1202如右图所示，在长方形内画出一些直线，