勾股定理讲义及题库

1、勾股定理第1节勾股定理勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b，斜边为c，那么a2 b2 c2勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的 思路是： 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下:方法一：4SS正方形EFGH1 2 2S正方形ABCD，42ab (b a) a，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 -ab

2、c2 2ab c2，大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2，所以a2 b2 c2。2111方法三：S梯形(a b) (a b) , S梯形2S ade S abe 2 ab c，化简得证。22 2勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察 的对象是直角三角形勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a, b, c为正整数时，称a, b, c为一组勾股数常见的勾股数：如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 1,

3、12,13 ; 7,24,25 ; 1,1, . 2 ; 1, 3,2 等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n为正整数);2n 1,2 n2 2n,2 n2 2n 1 ( n 为正整数) m2 n2,2 mn, m2 n2 ( m n, m , n 为正整数)勾股定理的应用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中， C 90，则c . a2 b2 ,bc2 a2 , a -,c2 b2 ;知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；可运用勾股定理解决一些实际问题例 1.在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的长；已知

4、AB 17 , AC 15，求BC的长例3.如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例4.已知直角三角形的周长为2.7，斜边上的中线为1,求它的面积例5.直角三角形的面积为120，斜边长为26,求它的周长例6.如图，水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.例7.如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙 AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7 米, 如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？3例8.如图，已知长方形 ABCD中 AB

5、=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 丘，将厶ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点F,求CE的长.例9.如图，壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐 上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着 油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功， 获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？例10.如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向 以20km/h的速度向D移动，已知城市 A到BC的距离AD=60km那

6、么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？课堂练习：1. 在Rt ABC中,/ C=9C°, a、b、c分别表示/ A, / B, / C的对边,则下列各式中,不正确的是A. a2 3 b2 c2B.c2 a2b2C.c2b2D.a2 b2c2a=12， b=16,C.20则c的长为（D.21A.3B.4C.5D.、.74.在 Rt ABC中，/ C=9C°,Z B=45°,c=10，则 a 的长为()5A.5B.C.D.55.等边三角形的边

7、长为2，则该三角形的面积为（A. 4 3B.C.2、3D.36. 若等腰三角形的腰长为A.6B.77. 若一个三角形的三边长为10,底边长为12，则底边上的高为（C.8D.93、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的值是（A.5B.6C.D.58. 已知一个Rt 的两边长分别为A.25B.149. 已知 Rt ABC中，/ C=9d,若2A.24cmB.36cm3和4，则第三边长的平方是（C.7c=10cm,则 Rt ABC的面积是（ C.48cm 2则三角形的面积为（C.40a+b=14cm,210. 等腰三角形底边上的高为8,周长为32 ,A.56B.4811. 一个直角三角形，有两边长分

8、别为6和8,F列说法正确的是（A.第三边一定为10 B.三角形的周长为)D.7D.60cm)D.3225 C.三角形的面积为48D.或25)2第三边可能为1012.直角三角形的斜边为20cm,两条直角边之比为 3： 4，那么这个直角三角形的周长为（A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm13. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需再沿边长爬行一周需（）A.6 秒14. 已知，如图，速度同时从港口A. 25海里2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁需B.5秒一轮船以16海里/时的速度从港口C.4秒A出发向东北方向航行，另一轮船以 2小时后，则两船相距（）海里D. 40海里D.

9、312海里/时的B.东15.图中,C.B.D.b一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前c ba b ccabA. a每个小正方形的边长为1, ABC的三边a,b,c的大小关系式（16.如图,A.5m17.如图, 长为（B.7mC.8mA. 3D.10m ABCn DCE都是边长为4的等边三角形, ）B. 2.3C.点 B、C、E在同一条直线上，连接 BD,则BD的D. 4.318.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境, 平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）元C.150a 元已知这种草皮每A.450a 元B.2

10、25aD.300a 元B C血）C正好构成等边BCCDABC现由水厂A和B C两厂供水，要在A、B、铺设输水管道，有如下四种设计方案，20.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边,其中最合理的方案是（图中实线为铺设管道路线）AC= 6 cm、BC= 8 cm，现将 ABC折叠，使点B与点11合，折痕为DE则BE的长为（C.6 cmA.4 cmB.5 cm21.已知，如图长方形 ABE的面积为（A.6cm 2ABCD中,)AB=3cmB.8cm2D.10 cmAD=9cm将此长方形折叠，使点2C.10cmD.12cm2B与点D重合，折痕为EF,则22. ABC中,/ C=9C°, a、b

11、、c 分别是/A、/ B、/ C的对边.若 a=5, b=12,则 c=若 c=41, a=40,则b=若/ A=3C°, a=1，则 c=; 若/ A=45), a=1，贝U b=,b=,c=，在花圃内走出了一条“路”，他们仅25.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径” 仅少走了 m路，却踩伤了花草.26. 传说,古埃及人曾用"拉绳”的方法画直角，现有一根长24厘米的绳子，请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为 厘米,厘米,厘米,其中的道理是27. 如图，在高2米，坡角为300的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需

12、米.28. 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从 AtBtC所走的路程为C-s-=T， J!iJI'.52( 害D29. 如图，小红欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m结果他在水中实际游了 520m,则该河流的宽度为30. 种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm,问吸管要做cm。31. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，

13、则这棵树高米。8m另一棵高2m两树相距8m 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的32.如图，有两棵树，一棵高长度为 cm.36.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）树梢，至少要飞m.33. 已知：如图， ABC中，/ C=9C0,点OABC的三条角平分线的交点，ODL BC, OEL AC OF1 AB,点BC的距离分别等D、E、F分别是垂足，且 BC=8cm, CA=6cm,则点 O到三边 AB, AC和于m.34. 如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c,正放置的四个正方形的面积依次是S、S2、S

14、3，则S1 + S2+S+S4=35. 如图所示，无盖玻璃容器，高18,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图2中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT勺面积分别为 S, S, S,若S1+S2+S3=10，则S2的值是1米,37. 小东拿着一根长竹秆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果秆比城门高当他把秆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问秆长多少米？38. 如图，一段楼梯，每级台阶的高度为30cm

15、,宽度为36cm, A B两点间相距多远?39. 如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出/ A=40°Z B=50°, AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道 0.3公里，问几天才能把隧道 AB凿通？7 cm则41.如图：有一圆柱，它的高等于8cm,底面直径等于4cm (3)40. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 正方形A、B C、D的面积之和为多少？它想吃到上底面与 A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约是多少?42. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到

16、小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？月43. 中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了 2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50米，这辆小汽车超速了吗？d '0JL 汽观测44. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨 & 00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进， 上午10:

17、 00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗? 如图， ABC中，AB=AC=20 BC=32 D是 BC上一点，且 AD丄AC,求 BD的长.G#45. 如图， ABC的三边分别为 AC=5 BC=12, AB=13,将厶ABC沿 AD折叠，使 AC落在AB上，求折痕 AD的长.46. 如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使点D与点B重合，已知 AB=3 AD=9,求BE的长.47. 如图，矩形纸片 ABCD勺边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落 在CD边上的点G处，求BE的长.1348. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题.2+1=3 S(

18、.3 ) 2+4=5 S 3= 32（1）请用含n （n是正整数）的等式表示上述变化规律;（2）推算出0A。的长；（3）求出 Si2+S2+S2+S°2 的值.课后练习：1. Rt ABC中，斜边 BC=2 贝U AB2+ AC + bC 的值为（）A.8B.4C.6D.无法计算2. 如图， ABC中，AB=AC=10 BD是AC边上的高线，DC=2,贝U BD等于（）A.4B.6C.8D. 2. 103. 如图，Rt ABC中，/ C=9d,若AB=15cm则正方形 ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算4. 若直角三角形

19、的三边长分别为2, 4, x，则x的值可能有（）.A.1 个B.2个C.3个D.4个 已知直角三角形的周长为26，斜边为2,则该三角形的面积是（）.3A. 1B.C.-2D.16.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于（）B. 7 或.41C. 4 2D. 4.2 或.77. 如果Rt两直角边的比为5 : 12，则斜边上的高与斜边的比为（A.60: 13B.5: 128. 如图中字母A所代表的正方形的面积为（A.4B.8C.16C.12)D.64:13)D.60:1699. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支

20、路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（A.2m10. 如图，A.3.511. 如图，（ ）A.3212. 如图， 表面从点)B.3mC.6mD.9m ABC中，/ C=9（f, AC=3 / B=30°,点P是BC边上的动点，贝U AP长不可能是（C.5.8D.7在Rt ABC中,/ ACB=90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线 DE交BC的延长线于点 E,贝U CE的长为B.4.276长方体的长为 15,宽为10，高为A爬到点B,需要爬行的最短距离是B.25620,点B离点C的距离为（）C.D.2上只蚂蚁如果要沿着长方体的A. 5

21、.21B.25C.10.55D.35yi21i-L 012 J 4 13.如图，点A的坐标是（2,2），若点P在x轴上，且厶APC是等腰三角形,则点P的坐标不可能是（ ）A.(4, 0)B.(1. 0)C.(-2 2，0)D.(2, 0)14. 在厶 ABC中，若/ A+Z B=90°, AC=5 BC=3 贝U AB=, AB边上的高 CE=.15. 在厶ABC中，若 AB=AC=20 BC=24,贝U BC边上的高 AD=, AC边上的高 BE=.16. 在厶 ABC中，若 AC=BC Z ACB=90 , AB=10,贝U AC=, AB边上的高 CD=17. 在厶ABC中，若

22、 AB=BC=CA=a则厶ABC的面积为 .18. 在厶 ABC中,若Z ACB=120, AC=BCAB边上的高 CD=3则 AC=,AB=,BC边上的高 AE=.1520.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为l的距离分别是1,2,则正方形的边长是 11u CN1LigN斗0600角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升21咼了m.mm计算两圆孔中21. 如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位:心A和B的距离为22. 如图将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm高为12cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度是为hem。则h的取

23、值范围是23. 在直线上依次摆着 7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1, 2, 3，水平放置的4个正方形的面积是 S1, S2, S3, S4,贝y S + S2+ S3+25. 如图，直线I上有三个正方形 a、b、c若a和c的面积分别为5和11,贝U b的面积为26. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt ABC中，若直角边AC=6 BC=6将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 27. 已知Rt ABC的周长是4 4. 3，斜边上的中线长是

24、2，则 Sa abc=28. 在 Rt ABC 中，/ C=9d，/ A、/ B、/ C 的对边分别为 a、b、c.（1）若 a:b=3:4 , c=75cm,求 a、b;（2） 若 a:c=15:17 , b=24,求厶 ABC的面积;(3)右 c-a=4 , b=16,求 a、c;（4）若/ A=300,c=24，求 c 边上的高 hc；若a、b、c为连续整数，求a+ b + c.29. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m当它把绳子的下端拉开 5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少？AD=2Q求BC的长.30. 如图，Rt ABC中，/ C=9C°

25、;，/ A=3C°, BD是/ ABC的平分线,31. 如图，要建一个苗圃，它的宽是 a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米.（1）求苗圃的占地面积?； （2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米？32. 如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄， 且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为d（已知d2=400000m2），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问 最小是多少？33. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘 AB=CD

26、=20m点E在CD上, CE=2m 一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）34. 如图所示，折叠长方形一边 AD,点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长。）35. 如图，折叠矩形的一边 AD,使点D落在BC边的点F处，已知 AB=8cm BC=10cm求EC的长.36. 如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45,把厶ADC沿直线 AD翻折，点 C落在点C'的位置，BC=4,求 BC的长.37. 在数轴上画出表示.10及J3的点.38. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以

27、每小时40km的速度向北偏东 60 °的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域(1) A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2) 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？39. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线I起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜.结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了 6秒钟，乙同学则顺利跑完.事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍” 根据图文信息，请问哪位冋学获胜？能

28、力提高：1.如图，从台阶的下端点 B到上端点A的直线距离为（）A. 12 2B. 10. 3C. 6.5 D.8.5A. 、5<x<.,13 B. 、13<x<5C.1<x<.13D.1<x<53. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 3dm 2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 4. 矩形纸片ABCD中, AB=6cm AD=9cm再按以下步骤折叠：将/ BAD对折，使AB落在AD上，得折痕AF;将 AFB沿BF折叠，AF与CD交于点G,贝U

29、CG的长等于cm.5. 由山脚下的一点 A测得山顶D的仰角是45°,从A沿倾斜角为300的山坡前进1500米到B,再次测得 山顶D的仰角为600,求山高CD.AD=5 BE=2j10 求 AB 的长.6. 如图，在 Rt ABC中，/ C=9Cf, D E分别为BC和AC的中点,7. 如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2、.3 ,PC=4,求厶ABC的边长.8. 如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是爬行2cm则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？第2课勾股定理逆定理勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a, b,

30、c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 b2与较长边的平方c2作比较，若 它们相等时，以a， b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b， c为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形

31、，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和 与第三边的平方比较而得到错误的结论.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。例1.如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，已知 AB=13, AD=12 AC=15, BD=5

32、求CD的长.例2.已知：如图，四边形 ABCD中, AB丄BC, AB=1, BC=2CD=2 AD=3,求四边形ABCD勺面积.例3.如图所示， ABC中，B 45, C 30 , AB , 2 ,求：AC的长.1例4.如图，正方形 ABCD中, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FBAB那么 DEF是直角三角4形吗？为什么？23例5.已知 ABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c-338，试判定厶ABC的形状，并说明你的理由.例6.如图所示，在四边形ABCD中，已知:例7.在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东600方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时1

33、5海里的速度前进，2小时后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道 乙船是沿哪个方向航行的吗 ？课堂同步：1.下列各组数中以 a, b, c为边的三角形不是 Rt的是（）A.a=2， b=3， c=4B.a=7 ， b=24, c=25C.a=6， b=8, c=10D.a=3 ， b=4， c=52.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是（）A.1 : 1 : 2B.1 : 3 : 4C.9:25 : 26D.25:144 : 1693.要从电杆离地面 5m处向地面拉一条长为( )A.10mB.11mC.12m13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底

34、部的距离应为D.13m2 2 7、24、25;、3、4、 、2mn m+n2 （m n为正整数，且 m> n）其中可以构成三角形的有（ 组9、12、15;4. 下列各组线段中的三个长度2 2m-nA.5 组；B.4 组；C.3 组；D.25. 如图，正方形网格中的 ABC,若小方格边长为1,则厶ABC>（A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.25 ; 3a、 4a、 5a (a>0);)）以上答案都不对D6. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有边的线段是（）A.CD EF、GH B.AB7. 一个三角形的三边长分别为AB CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角

35、三角形三、EF、GH15, 20, 25,A.12. 5B.12C.C.AB 、CD GH那么它的最长边上的高是（15、22D.AB、CD EF)D.98.已知三角形两边长为 2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（A.r.：'2B.2d0C.4、. 2或 2,10 D.以上都不对9. 一棵大树在一次强台风中于离地面 的高度为（）A.10 米B.1510. 已知x、y为正数，且|5米处折断倒下，倒下部分与地面成300夹角，这棵大树在折断前C.25x2-4 | + (y2-3 ) 2=0,这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（A.5B.2511. 如果三角形的三边长做勾

36、股定理的.12. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：其中能构成直角三角形的有 13. 在厶ABC中， 若 若 若a、a + b > c ,2.22a + b = c ,2.22a + b v c ,a、D.30如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以 ）C.7b、c满足a2 + b2=c2，那么这个三角形是D.15三角形，我们把这个定理叫b、c分别是/ A / B、则/则/则/（1）6、8、10, （2）5、12、13, （3）8、15、17, （4）4、5、6,（填序号）/ C的对边，31 ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 214. 若厶 ABC中

37、，(b a)(b + a) = c ,则/ B=;15. 若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a-2、a、a+2为边的三角形的面积为16. ABC的两边a，b分别为5,12，另一边c为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为.17.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a b 10,ab 18, c 8，则此三角形为 三角形2 2 2 218. ABC中, a +b =25, a-b =7,又c=5,则最大边上的高是 19. 三角形中两条较短的边为a+b, a-b ( a>b),则当第三条边为 时，此三角形为直角三角形.20. 一个三角形三条边的比为5

38、 ： 12 ： 13，且周长为60cm求它的面积21. 如图，已知四边形 ABCD中, / B=90° , AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四边形 ABCD勺面积.A22. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面 10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C处有一筐水 果，一只猴子从 D处上爬到树顶 A处，利用拉在 A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子从 D处滑到地面 B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是 15m求树高AB.23. 已知a、b、c是厶ABC的三边，且a2c2-b 2c2=a4-b4，试判断三角形的形状.24. 一辆汽车以16千米/时的速度离开甲城市，向

39、东南方向行驶，另一辆汽车在同时同地以12千米/时的速度离开甲城市向西南方向行驶，它们离开城市3个小时后相距多远25. 如图,有一个长方体的长,宽,高分别是6,4,4,在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面 B处的食 物,需要爬行的最短路程是多少？26. 如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距 A地40海里的B处训练，突然接基地命令，要该舰前住 C岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知C岛在A的北偏东600方向，且在B北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时走20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？课后练习：1. 在厶ABC中，/ A, / B, /

40、C的对边分别为 a,b,c，且(a b)(a b) c2，则()A. A为直角 B. B为直角 C. C为直角 D.不是直角三角形2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 53. 在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是()A.a=6, b=8, c=105.已知三角形的三边长为B.a 1,b. 2,c.3 C. a 5,b 1,c -44n、n+1、m（其中m=2n+1），则此三角形（）.A

41、.定是等边三角形B. 定是等腰三角形C.一定是直角三角形D. a 2, b 3, c - 6D.形状无法确定6.下列说法中，正确的个数有（） 已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1: 2,则斜边长为.10; 直角三角形的最大边长为3，最短边长为1,则另一边长为,2 ; 在 ABC中，若/ A: / B: / C=1:5:6，则 ABC为直角三角形； 等腰三角形面积为 12,底边上的高为4,则腰长为5。A.1 个B.2个C.3个D.4个2 27.已知|x 12 y 13与z 10z 25互为相反数，则以x、y、z为边的三角形是 三角形。（填“直角”、“等腰”、“任意”）8将一根长为24cm的

42、筷子置于底面直径为 5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长h的取值范围是9. 一块平地上，小王家房前7米远处有一棵大树,在一次强风中，这棵大树从离地6米高的地方折断倒下，量得倒下部分的长是 10米,则大树倒下时能碰到小王家的房子吗?10. 如图，小明在a时测得某树的影长为 2m B时又测得该树的影长为 8m若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m.11. 将一副三角板如图放置，上、下两块三角板的面积分别为S1和S2，则S1： S2=12. 如图， ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP重合，如果AP=3那么pP=13. 右上图是某广告公司

43、为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1,则阴影部分面积是14.如下图，已知 OA=OB那么数轴上点Y -4-10 133A所表示的数是15. 如图，Rt ABC中，AC=5, BC=12,分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积 为。16. 如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形和/,，依此类推，若正方形的边长为64,则正方形的边长为17. 在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为& 2，则较长直角边长为 18. 已知，在 ABC中,AB=1,AC= 2 , / B=

44、45：那么 ABC的面积是 19. 有一棵9米高的大树，树下有一个 1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断(未折断)，则小孩至少离开大树 米之外才是安全的。20. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km,然后向正北方向航行了120km,这时它离出发点有km.21. 如果 ABC的三边长a、b、C满足关系式(a 2b 6C)2 b 18 c 30 0，则 ABC是三角形.22. 已知a、b、c是Rt ABC的三一边长， ABC的三边长分别是 2a、2b、2c,那么 ABQ是直角三角 形吗？为什么？23.在厶ABC中a m2n2,b 2mn,c m2 n2,其中m、n是正整数，且m

45、n，试判断厶ABC的形状.24.若厶ABC的三边长a, b,c满足条件a2b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断厶ABC的形状.25. 有一只喜鹊正在一棵高 3m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树 24m且高为14m的一棵大树上， 巢距离大树顶部1m,这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声 ，便立即赶过去如果它飞行的速度为 5m/s，那 么它至少需要几秒才能赶回巢中 ？。26. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形.(1)使三角形三边长为 3, 2、2 , .5 . (2)使平行四边形有一锐角为 45

46、76;，且面积为4.27. 在 45° 的 Rt ABC 中，/ A=90°, DEL BCBD 是/ ABC 的平分线，且 BD=13, AB=12，求 DEC的周长。28. 一个工人师傅要将一个正方形ABCD四个角都是直角，四个边都相等）的余料，修剪成如四边形 ABEF的零件其中CE -BC，F是CD的中点.4（1）若正方形的边长为 a，试用含a的代数式表示 aF+eF的值；（2）连接AF,则厶AEF是直角三角形吗？为什么？能力提高：1. 如图，在一个由4 X 4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形 ABCD的面积比是（）C.9:16D.12. 若干个正方

47、体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7,则正方体的个数至少是（）A.2B.3C.4D.53. 观察下列各式：32+42=52, 82+62=102, 152+82=172, 242+102=262,，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.第3课勾股定理的相关证明)32D.37 或 33AM=AC BN=BC 贝U MN的长是()C.42 或C.3a、b、c来表示，且其满足关系:例1.在厶ABC中，AB=15, AC=13,高AD=1

48、2,则厶ABC的周长为（D.4A.42B.32b 14 a b 2 (c 1C)2 0,试判断 ABC的形状.例4.如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=90, E、F是BCk的点，且/ EAF=45,试探究BCF2, EF2 间的关系，并说明理由.B E F C例5.如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点, 且DEI DF,若BE=12 CF=5求线段 EF的长。例6.如图， ACBD ECD都是等腰直角三角形, (1 ) ABCA BCD (2) AD2+BE2=D.ACB=/ ECD=90, D为AB边上一点，求证:例7

49、.如图，将正方形折叠后与BC边交于点ABCD折叠，使顶点 A与CD边上的点M重合，折痕交 AD于E,交BC于F,边ABG 如果 M为CD边的中点，求证： DE DM EM=3 4: 5。35例8.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究课堂练习：1. 若厶 ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则 ABC>()A.等腰三角形B.直角三角形C. 锐角三角形 D. 钝角三角形2. 如图， ABC中/C= 90°, AD平分/ BAC DEI AB于E,下面等式错误的是 ()A. AC2 DC2 AD2 B. AD2 DE2 AE2 C.

50、 AD2 DE2 AC2 D. bd2 BE2-BC2£A3. 如图，在 ABC中，AD丄BC于 D, AB=AC=2AD=nM ABC面积是4. 如图，在 ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD且EF/ BC交AC于M 若5. 如图，每个方格的边长为 1 ,则点C到线段AB的距离为2 2EF=5,则 CE+CF=6. 如图，如果以正方形 ABCD的对角线AC为边作第二个正方形 ACEF再以对角线 AE为边作第三个正方形AEGH如此下去，已知正方形ABCD的面积S为1 ,按上述方法所作的正方形的面积依次为S ,S3 ,S（n为正整数），那么第8个正方形的面积 Sb=,第n个

51、正方形的面积 Sn=.7. 在厶ABC中，a:b:c=9:15:12, 试判定 ABC是不是直角三角形.8. 如图， ABC中，/ A=900 , AC=20,AB=10,延长 AB到 D,使 CD+DB=AC+A求 BD的长.9. 已知：如图所示, ABC中,D是AB的中点，若AC=12,BC=5,CD=6.5,求证： ABC是直角三角形.10. 已知：如图，四边形 ABCD中 , AB=a,BC=b, CD=c DA=d AC与 BD相交于 Q 且 ACL BD,贝U a,b,c,d 之间一定有关系式：a2+c2=b2+d2，请说明理由.D11. 如图， ABC中，/ C=90, M是 BC的中点，MDLAB于 D.求证：ADaC+bD.12. 已知在 ABC中，AB>AC, AD是中线