三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474

1、实用文案三角形“四心向量形式的充要条件应用1. 0是 AABC 的重心 u OA+OB+OC=0；S假设0是MBC的重心,那么 1Sd0c =S"OB =5SAABC 故 OA + OB + OC = 0；PGPB ' + PC ') u G 为 &ABC 的重心.2. 0是 4ABC 的垂心仁 OA OB =OB OC = OC OA ；假设0是MBC 非直角三角形的垂心,那么SZPOC : SZAOC :S AOB = tan A : tan B : tan C故 tanAOA tan BOB tanCOC -0,2 - 23. 0 是 AABC 的外心.

2、|0A|=|0B|=|0C| (或OA =OB- 2=OC )假设 0是 MBC 的外心那么 Sjoc： S鼻OC： S&OB=sinBOC:sinAOC:sinAOB = sin2A:sin2B:sin2c故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0OA4. 0是内心 MBC的充要条件是,AB AC 、()=OB (| AB | ACBA|BA |BC CA CB_J = OC (_)=0|BC |CA | CB |引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记 ab,bc,ca的单位向量为ei,e2,e3 ,那么刚刚.是*ifcABC内心的充要条件可以写成0A (ei +e3

3、)=OB (ei + e2)= OC (e2 +e3)= 0° 是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0.假设0是AABC的内心,那么S BOC : S ,AOC : S AOB = a： b ' c故 aOA bOB cOC =减 sinAOA sinBOB sinCOC = 0；| AB|PC + |BC|PA+|CA|PB=0u P 是 AABC 的内心;向量M+SC八#0所在直线过 MBC的内心是/BAC的角平 | AB| |AC|分线所在直线；一将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的动点POP =OA

4、(罟十答,九三b,那么p点的轨迹一定通过 mbc的AB ACA外心B内心C重心D垂心解析：由于普是向量ABAB、一 r、一、一,一的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为©I 和 ©2 ,标准文档实用文案OP OA = AP ,那么原式可化为 AP = Me + 02,由菱形的根本性质知 AP平分/ BAC ,那么在 MBC 中,AP平分/BAC ,那么知选B.二将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2.H是 ABC所在平面内任一点,hA .hB=hB ,hC=hC hAu点H是AABC的垂心.由 HA HB -HB HC u HB HC -HA =0匕 HB AC

5、 =0匕 HB _ AC ,同理HC_lAB, hA _LBC.故H是ABC勺垂心.反之亦然证略例3.湖南P是ABCff在平面上一点,假设 pA pB = pB PC = PC pA,那么P是ABC勺D A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB = PB ,而得PA PB PB ,玩=o .即靛PA玩=o,即PB CA = o那么PB _LCA,同理PA_L BC,PC _L AB 所以P为AABC的垂心.应选D.三将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理例4.G是 ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0u点G是4ABC的重心.:三 E证实 作图如右,图中GB +GC =GE连

6、结BE和CE那么CE=GB BE=GC BGC划平行四边形=D是BC的中点,AD为BC边上的中 线.将 gB +gC =gE 代入 gA +gB +gc =o,得GA+EG=o=GA = -GE=-2GD,故G是 ABC勺重心.反之亦然证略例5.P是 ABC所在平面内任一点.G是4ABC的重心u PG=-PA+PB + PC.3证实 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG =AG BG CG PA PB PC. G是AABC的重心 /. Ga+GB +GC=o=> AG+BG+CG =o, IP 3PG=PA + PB + PC由此可得诏=1PA+而+PC.反之亦然证

7、略3例 6 假设.为 AABC 内一点,Oa + Ob+Oc =o,贝U O 是MBC 的A.内心B.外心C.垂心D.重心 T T T 七口 T T T - y、,皿“小十一E、,? 解析：由OA+OB+OC =.得OB+OC = -OA ,如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形,那么标准文档实用文案高乱前 ,由平行四边形性质知 OE =1OD , |OA =2OE ,同理可证其它两边上的这个性 质,所以是重心,选D四将平面向量与三角形外心结力考查例 7 假设 O 为 AABC 内一点,OA=OB=|O?,那么 O 是 AABC 的A.内心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定义

8、知 O到AABC的三顶点距离相等.故 O是AABC的外心 ,选B.五将平面向量与三角形四心结合考查例 8.向量 函,OP2, OP3 满足条件 Op1+Op2 +Op3 =0, | 函 |=| OP21=| 施 1=1,求证 PiP2P3是正三角形.?数学?第一册下,复习参考题五B组第6题证实 由Op1 + OP2 =- Op3 ,两边平方得 Op1 Op2 =-2 ,同理 OP2 OP3 =OP3 or=1 ,2| PiP； | = | P2 P3 | = | P3PI |=禀,从而 PiP2P3 是正三角形.反之,假设点.是正三角形 PiP2P3的中央,那么显然有OPi +OP2 +OP3

9、 =0且| OPi |=| OP21=| OP31.即O是ABCT在平面内一点,市+OP2 +OP3 =0 且| op； |二| OP21=| op3 | o 点 o是正 PiP2P3 的中央.例9.在 ABC中,Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证： 线,且 QG:GH=1:2【证实】：以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如下图的直角坐标系 xi,0、Cx2,y 2 , D E、F分别为 AB BC AC的中点,那么有：Q G H三点共设 A0,0、BD 包,0、2Xi X2G_ xi x2 y2X2 y2E-t-,-b F ,- 222 2?.AH =X2,y4,QF = 3B

10、C =仅2 -xl, AH _BCAH *BC =x2x2 -x； y2y4 =0y4X2X2 -xiy2, QF _ACox2 x； y2QF *AC =X2寸寸 72葭»=0X2X2 -Xi,必2y 2标准文档实用文案QH 三仅2 -3, y4 -丫3)=(23x2(x 2 - X1) y 2一 瓦 一万=(2x 2 -xix1 y2 V)(万/-y3)=(3x2(x2 -x1)6y22x2 -x1""6左)J63y2 x2(x2-x1) y232x 2 - x 122y22y 21- =QH3即 QH =3QG ,故 QG H三点共线,且QG GH=1：例1

11、0.假设O、H分别是 ABC的外心和垂心OH =OA OB OC.证实 假设 ABC的垂心为H,外心为0,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AR CD. AD _LAB , CD _LBC .又垂心为 H, AH ±BC , CH 1 AB , .AH/ CD CH/ AR四边形AHCM平行四边形,AH =Do =DO +Oc ,Oh =Oa+Ah =Oa +Ob +Oc .著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线 (2)三角形的重心在“欧拉线上,且为外一- 离是重心到外心距离的2倍.外心、 “欧拉线重心、垂心的位置关系:垂连线的第一个三分点

12、,即重心到垂心的距“欧拉定理的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题 例11. 设Q G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OGOH3、一 、 、._一 _一_ _、1 d 1证实 按重心止理 G是 ABC的重/L、u OG =(OA+OB+OC) 3按垂心定理 Oh =OA Ob Oc由止匕可得 OG=1OH3“重心的向量风采【命题1】G是4ABC所在平面上白一点,假设 GA + GB + GC = 0,那么G是4ABC的重心.如图(1).图图标准文档OP=qA + ?.(Ab+AC),【解析】由 papB=pBpc,得 PB <PAPC)=0,即7BcA=o,所以7

13、B,C<实用文案【命题2】 0是平面上一定点, A B C是平面上不共线的三个点,动点P满足九w(0,十町,那么P的轨迹一定通过 ABC的重心.【解析】由题意AP=mAB+AC),当九w(o,+w时,由于九湍+战)表示bc边上的中线所在直线的向量,所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心,如图.的向量风采【命题3】P是4ABC所在平面上一点,假设 PA PB = PB PC=pC PA,那么P是4ABC的垂心.PCX ABBC上ICI二一.P图【命题4】0是平面上一定点A B, C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP =0AAB cosBACACcosC,九w (0, +%,那么动点P的

14、轨迹一定通过4ABC的垂心.【解析】由题意AP=,JAB- AB cos BACAC cosCAC cosC+-ACBCAB cos BAC cosC=BC'-=0,所以AP表小垂直于BC的向量,即P点在过点A且垂直于BC的直线上,所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心,如图.“内心的向量风采【命题5】 I为4ABC所在平面上的一点,且AB=c , AC = b , BC = a .假设aIA+b旧+cIC =0,那么I是 ABC的内心.PAX BC . a P是ABC的垂心.如图.实用文案【解析】AlaB+cAC+=|aCi AB + 向 AC =屈 圆.驾v bAB cAC司,AC

15、分别为aB和羡 方向上的单位向量,图 ,IB = IA AB , IC* = IA AC ,那么由题意得(a+b+c)lA + bAB+caC = 0,【解析】 当九W(0, +*时,京表示/ BAC的平分线所在直 . 1Al与/ BAC平分线共线,即AI平分/ BAC .同理可证：BI平分NABC , CI平分NACB .从而I是4ABC的内心,如图【命题6O是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点,动点 P满足OP -OA '九w (0 +叼,那么动点P的轨迹一定通过zABC的内心.线方向的向量,故动点P的轨迹一定通过 ABC的内心,如图四、“外心的向量风采【命题7】O是

16、 ABC所在平面上一点,假设OA2 = OB2 = OC2 ,那么 O 是 ABC 的外心.【解析】图,2图(7).假设 OA =ob2=oc2,那么 OA2 =|ob|2=OC , OA = OB = OC ,那么 O 是4ABC 的外心,如图【命题7 O是平面上的一定点,A B, C是平面上不共线的三个点,动点P满足标准文档实用文案【解析】AB十AB cosB_CAC |cosC由于0BF过眈的中点,(注意：理由见二、4条解释,九w (0,十,那么动点P的轨迹一定通过 ABC的外心.当 Kw (0, +s)时,ABACcos B 1 AC表示垂直于cosC),所以P在BC垂直平分线上,动点

17、P的轨迹一定通过 ABC的外心,如图.补充练习1.A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足OP=1 ( 1Oa + 1OB+2OC),那么点P一定为三角形ABC的 322A.AB边中线的中点C.重心B.D.AB边中线的三等分点(非重心)AB边的中点1. B取AB边的中点 M 那么OA + OB=2OM ,由OP30P =3而+2MC, .MP=2MC,即点P为三角形中3点P不过重心,应选B.11 1=(OA + OB +2 OC )可行 322AB边上的中线的一个三等分点,且2.在同一个平面上有 AABC及一点O满足关系式:20A + BC2222=OB + CA =

18、 OC +2 一 一AB,那么.为MBC的外心B 内心重心 D 垂心2. ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P 满足：PA+PB + PC=0 ,那么 P 为 AABC 的A3.C外心B 内心O是平面上C定点,重心 D 垂心A B、C是平面上不共线的三个点,动点 P满足:OP =OA + K(AB+AC),那么P的轨迹一定通过 ABC的A 外心B 内心 C 重心 D 垂心4 . ABC P为三角形所在平面上的动点,且动点 P满足:PA.Pc PA.PB PB.PCA 外心B 内心 C=0,那么P点为三角形的重心 D 垂心5 . ABC P为三角形所在平面上的一点,且点 P满足：a PA +

19、 b PB + c*PC = 0,那么P点为三角形的A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心标准文档实用文案 2, 2 6 .在三角形 ABC中,动点 P满足：CA =CB _2AB,CP,那么P点轨迹一定通过 ABC的：B A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心一 一 aB aC - aB aC 17 .非零向量ABWACW足 十 - BC=0且=-,那么 ABC为|AB| |AC|AB| |AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形T -K解析：非零向量与满足当-+4- =0,即角 A的平分线垂直于BC,. AB=AC,又|AB| |AC|AB AC

20、 i-cosA = 再 .&=不,ZA=-,所以 ABC为等边三角形,选D.| AB| |AC | 238 . MBC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH =mOA + OB + OC,那么实数m=J9 .点O是AABC所在平面内的一点,满足 OA OB=OB OC = Oc OA ,那么点O是AABC的B A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点II10 .如图1,点G是AABC的重心,过G作直线与AB, AC两边分别交于M N两点,且7M = xAB ,AN =yAC ,贝U1 +1 =3.x yI证 点G是AABC的重心

21、,知 GA GB GC = O,W -AG (AB-AG) (AC-aG) 二Q有 AG = 1(AB +AC)0又M, N, G三点共线(A不在直线MN 3上),于是存在 九, 使得 AG=?uAM + nAN(且九+ n=i),七 BBli 一. x . i 1 1有 AG = KxAB + NyAC =-(AB +AC), 3=1Jy =13,于是得1+工=3.x y标准文档实用文案1、课前练习.2 2. 21.1 O是 ABC内的一点,假设OA =OB =OC,那么O是AABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心1.2 在 abc中,有命题 Ab -Ac =Bc ；AB + B

22、C+CA = 0；假设AB + AC卜AB-NC=0 ,那么ABCJ等腰三角形；假设AB ,AC A 0,那么 ABC为锐角三角形,上述命题中正确的选项是A、B 、 C 、 D 、例1、 ABC中,有：1AB +7AC BC=0和丝坐 = 1,试判断ABC的形状.I 网 Ml 网 |AC 2练习1、 ABC中,AB = a, BC=b, B是4ABC中的最大角,假设a*b<0,试判断 ABC 的形状.4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题I _.i 2 I 2 I _.i 2 I LI 2 I _.i 2 . 2例2、O是 ABC所在平面内的一点,满足 OA +|bc| =同 +图 =|.4 +|ab| ,那么O 是4ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、P是 ABC所在平面内的一动点,且点一一 一 AB ACP酒足 OP = OA +九曰,九 W(0,"),ABl AC那么动点P一定过 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、内心练习2、O为平面内一