高中物理万有引力应用专题

1、万有引力应用专题至 3.1 万有引力与重力Jh知识点睛1.万有引力与重力寒假的课程中我们已经学习过：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而 产生的，但是二者不完全相等。由于地球上的物体随地球一起自转，因此万有 引力一共产生两个作用效果（如图所示）：一个效果是提供物体做圆周运动的向心力，方向指向地轴与纬度平面的交点，即轨道的圆心；另一个效果就是物体 的重力，方向竖直向下。2 .“黄金代换”由于F向一般很小，在高中阶段,由于F向m 2r ,随纬度的增大而减小，因此，物体的重力随纬度的增大而增大, 即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。般情况下不考虑地球自转，可以认为万有引力和重力近似相等,在地面上有

2、GM? mg g G雪，即GM gR2 ,这个公式称为“黄金代换”公式。 RR3.重力加速度的计算基本原理：重力等于万有引力。 地球表面附近的重力加速度g-M cC C , 2g G 9.78N/kg 9.78m/s。R 地球上空距地面h处的重力加速度gh由重力等于万有引力可得，mghGMm2 ;又由g 粤，R hR2R 联立可得：ghgoR h任意天体表面附近的重力加速度gGM地R地由重力等于万有引力可得：mg GMm （M为该星球质量，R为该星球半径），又由g地 R联立可得g 也良M地 R4 .利用重力加速度求解卫星运行的线速度、角速度、周期、向心加速度由于万有引力近似等于重力，我们也可以

3、认为卫星做圆周运动的向心力由地球对卫星吸引产生的重2R力提供。重力大小为 mgh, gh g表示距地面高度h处的重力加速度，g表示地面处的重 R h力加速度。设卫星的轨道半径为r、线速度大小为 v、角速度为、周期为T、向心加速度为a。向心加速度规律2由F向ma mgh可得，a gh g ；当h 0时，a g ,与第2讲中得到的结果相同。R h线速度规律这是卫星环绕地球由 m/ mgh 可得，v 廊7 jRgh，当 h 0 时，Vmax JRg 7.9km/s ,的最大环绕速度（等于第一宇宙速度），与第2讲中得到的结果相同。角速度规律由m 2r mgh可得,周期规律Tmin【例2】岛在圆周轨道上

4、运行的质量为 表面上的重力加速度为 g,则A.卫星运行的速度为应求R,设地球一一，一 一 .1C.卫星运行的加速度为2gD.卫星运行的角速度为 Jg/8RR2 兀 84min,g使用这种方法时要注意两点： 对于不同的中心天体，其表面的重力加速度g是不同的不能卞据v 即, 杵,T 2兀后判断v、T与r成正比或成反比，因为gh也与r有关，并不是常量。结合第2讲的内容，我们一共学习了两种求解卫星运行的线速度、 角速度、周期、向心加速度的方法：一种是利用万有引力等于向心力； 另一种是利用重力等于向心力。万有引力部分的关键就是搞清万有引力、重力、向心力三者的关系。 常用的两种处理方法就是 万有引力等于向

5、心力；重力等于向心？ 在后面处理天体质量、密度等问题时，我们还会用到这些内容。5 .卫星的超重与失重卫星在进入正式轨道前的加速过程，由于具有向上的加速度而超重；卫星进入轨道后的正常运转过程中，由于万有引力完全充当向心力，产生指向地心的向心加速度，因此处于完全失重状态，平常 由重力产生的现象都会消失。例题精讲*例题说明：本讲内容较多，题目的处理方法也较多，不同的老师对题目的处理可能不同，因此老师可以自己调整、选择需要的例题。例1考察万有引力产生重力和自转向心力两个效果，此题有一定难度；例2、例3考察重力提供向心力（也可以用黄金代换），这两道题难度不大，因此放在例4、例5前面；例4、例5结合动力学

6、情景考察重力等于万有引力；直通高考的例6综合考察重力提供向心力、万有引力提供向心力、第一宇宙速度等问题，但难度不大；例 7解法不唯一，本质上也是综合考察重力、万有引力、向心力的关系。*【例1】岛地球赤道上的物体重力加速度为g ,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ,要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的A . g倍B. #_a 倍 C. Jg二a 倍D. J3倍【答案】Bm的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径B.卫星运行的周期为 4 J2R/g【答案】BD【例3】 岛2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空。已知月球半径

7、为 R,若“嫦娥一号”到达距月球表面高为R处时，地面控制中心将其速度调整为v时恰能绕月球匀速飞行。将月球视为质量分布均匀的球体，则月球表面的重 力加速度为2 v2v2- v4vA .B.C.D.RR2RR【答案】B【例4】 岛宇航员在星球 A表面以一定初速度竖直上抛一个小球，经过时间t小球落回原处。若宇航员在某星球B表面以相同的初速度竖直上抛一个小球，经过时间4t小球落回原处，两星球质量之比p ,求两星球的半径之比。【答案】-22【例5】禹某物体在地面上受到的重力为160N ,将它放置在卫星中，在卫星以加速度ag随火箭2加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距

8、地球表面有多远？（地球半径 R 6.4 103km , g取10m/s2） 【答案】1.92 104 km * 教师版说明：寒假讲义中出现过与例5类似的题型，如果老师不想用这道题，下面再补充一道万有引力与重力关系和平抛运动结合的题目，此题较难，老师可以选讲。【补充1】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间 t,小球落到星球表 面，测得抛出点与落地点之间的距离为l o若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为V3i ,已知两落地点在同一水平面上，该星球的质量为M ,万有引力常数为 Go求该星球的半径R。*直通高考【例6】岛已知地球半径为 R,质量为M,自转角速

9、度为 ，地面重力加速度为g,万有引力常量为G,地球同步卫星的运行速度为v,则第一宇宙速度的值可表示为A,晒B. Jv2/ RC. -R/GMD. jGMg【答案】A*教师版说明：下面再补充一道综合考察万有引力提供向心力、重力提供向心力的题目（也可以认为是 黄金代换的应用），难度不大。【补充2】质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g ,引力常量为G,不考虑月球自转的影响，则航天器的GMA.线速度v JB.角速度 JgRRC飞行周期T 2嗜GMD .向心加速度a 2- R【答案】A CD*【例7】 岛近地人造卫

10、星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为Ti和丁2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为gl、g2,则4/32TiT24/3L B.T2glT2g2TiD.如g2A,坦g2 【答案】B3.2天体的质量与密度知识点睛2D.包T2g2Ti地球的质量是多少？这个问题不能靠天平称量得到结果，但是却可以通过万有引力定律来测量。解决这个问题的方法并不复杂，主要思路还是我们之前提到的两条：万有引力提供向心力； 重力提供向心力。1 .利用“万有引力提供向心力”求中央天体的质量和密度利用天体的卫星求天体的质量设卫星绕中央天体做圆周运动的轨道半径为r ,线速度为v ,周期为T ,中央天体质量为

11、 M、天体半径为R、卫星质量为m,根据万有引力提供向心力可知：2 -2GMmv2 兀2 m m r ,可解得:22 3rv 4 兀 rv3T2 =0GT2 71GrrT说明：由于角速度 学，可以认为已知与已知T等效，因此我们没有推导含的公式。利用天体的卫星求天体的密度根据上面的讨论结果，结合可得:M 3rv243 4GtR3_ TR33 7fGT2R33v3T8tt2R3G当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R,此时天体密度37r2 3，注意这里的T表面是卫星环绕天体表面运动时的周期。GT表面2R3 GT表面2表面2.利用天体表面的重力加速度求天体的质量和密度天体的质量设天

12、体表面的重力加速度为g ,天体的半径为 R,天体的质量为 M。在不考虑天体自转的情况2下，由重力等于万有引力mg GMP ,可解得M 吟，其实这个公式就是黄金代换公式的变RG形。天体的密度重力等于万有引力mg GM?和M4 #3,联立可解得:R3例题精讲M 3g4 - 4 tRG °_ tiR3的质量和密度，而不能求卫星（或注意：利用以上方法求天体的质量和密度时，只能求出中央天体 环绕天体）的质量、密度。*教师版说明：例 8考察计算天体质量的基本公式，常见的几种都涉及到了；例9同样考察天体质量的计算，但有一定难度，需要对条件进行选择；例10利用重力加速度计算天体密度，考察基本公式，难

13、度不大；例11、例12利用万有引力提供向心力计算天体密度，其中例11考察基本公式，例12是比值问题。直通高考部分的两道题有一定难度和综合性，例13涉及“已知卫星环绕天体表面运动的周期，即可计算天体密度”的特殊情况；例14综合考察天体质量、密度等计算，设问方式对学生有一定挑战。*gr和周期Tr和线速度vv和周期T【例8】育利用下列数据，可以计算出地球的质量是A.已知地球的半径 R和地面的重力加速度B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径D .已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度【答案】A BCD【例9】岛已知万有引力常量G ,根据下列哪组数据可以计算出地球的质

14、量A .卫星距离地面的高度和其运行的周期B.月球自转的周期和月球的半径C.地球表面的重力加速度和地球半径D.地球公转的周期和日地之间的距离【答案】C【例10】看已知地球的半径 R 6400km，地面的重力加速度 g 9.8m/s2 ,试估算地球的平均密度为 3343A . 5.5 103kg/m3B, 1.1 104kg/m3C. 2.2 104kg/m3D, 1.1 103kg/m3【答案】A【例11岛隔年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆。某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为T ,则火星的平均密度的表达式为（k为某个常数）2

15、2A. kT B. k/T C. kT D. k/T【答案】D【例12岛已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的自转周期为12h,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，求该行星的平均密度与地球平均密度之比。【答案】1 2直通高考【例13】以| “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为 密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T,已知引力常数 G ,（半径为R的球体体积V 4成3）,则可估算月球的 3A.密度B.质量C.半径D.自转周期【答案】A【例14】K为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于 2011年10月发射第一

16、颗火星探测 器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为几和h2的圆轨道上运动时，周期分别为工和T2 ,火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出 A .火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C.火星的半径和“萤火一号”的质量 D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【答案】A*教师版说明：下面补充一道基础题（此题是东城模拟题），涉及第一宇宙速度，天体的环绕，天体密度的计算，是对这两讲知识的综合复习，老师如果想让学生练习巩固一下，可以选用。【补充3】已知地球半径为 R,地球表面重力加速度为

17、g ,万有引力常量为 G ,不考虑地球自转的影响。求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v；若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T ,求卫星运行半径r ; 由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式。R2T2【答案】v “'Rg r 3|T- 4兀4tGR我3卫星变轨问题知识点睛卫星绕中央天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力:GMm2- r2 mv ,即vrGM ；当卫星由于 r*某种原因速度突然改变时，万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行，卫星的发射和回收就是利 用了这一原理。2当卫星速度v增大时，所需的向心力 mv-增大，这时万有引力不足以提供向心力，

18、卫星将做离心运GMr动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。但卫星进入新的轨道稳定运行 （做圆周运动）后，由v可知其运行速度比原轨道要小。2 当卫星速度v减小时，所需的向心力 mv-减小，这时万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做向r心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。但卫星进入新的轨道稳定运行（做圆周运动）GM 一后，由v J可知其贬仃速度比原轨道要大。这里有两个问题需要简单说明一下： 当卫星的速度增大时，会做离心运动，轨道半径变大，为什么当卫星在新轨道上稳定运行时，速度反而比原轨道速度要小呢？要解释这个问题需要用到后续课程将学习的功和能的知识，简单的说就是卫星在做离心运动进入新轨道的

19、过程中，会有一部分动能转化成其他形式的能。这个问题大家可以暂时存疑，学习了后续课程后再进行思考。 卫星在变轨的过程中，并不是由一个圆轨道直接进入另一个圆轨道稳定运行，具体过程比较复杂， 不要求大家掌握。有些题目的中间过程可能涉及椭圆轨道，有时可以借助以前学习过的开普勒三定 律来解决。为5例题精讲 *例题说明：例15、例16考察速度变化引起卫星的变轨；直通高考部分的例17考察万有引力变化引起卫星的变轨问题；这三道题本质都是万有引力与向心力的供需关系；例18是一道综合性较强的问题，涉及变轨、开普勒定律等内容。*【例15】品同步卫星在同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体引力的作用，会产生

20、漂 移而偏离原来的位置。当偏离达到一定的程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正。图中 实线为同步轨道， B和C为两个已经偏离同步轨道但仍在赤道平面内运行的卫星，要使它们 回到同步轨道上，应 A.开动B的小发动机向前喷气，使 B适当减速 B.开动B的小发动机向后喷气，使 B适当加速 C.开动C的小发动机向前喷气，使 C适当减速 D.开动C的小发动机向后喷气，使 C适当加速【答案】AD【例16】岛如图所示，月球探测卫星绕地球做匀速圆周运动，在适当的位置 点火加速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的 椭圆轨道运行，若要此时卫星进入环月轨道，则必须【例17】A.在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气【例18】B.在近地点P启动火箭向运动方向喷气C.在近月点（远地