直线与椭圆综合应用(含答案)

1、1、（北京文科19）已知ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l：y=x+2上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得因为A，B在椭圆上，所以设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.则所以又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即所以所以当m=-1时，AC边最长

2、.（这时）此时AB所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中2010届高三12月考（文）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦且直线垂直平分弦，求点B的坐标和实数的值解：（）由24，得2离心率为，c2分13、椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，求的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。（1）由条件，所以，代入点可得（2）联立椭圆和直线方程可得直线，所以，结合相交弦的公式得到结论。解：（1）由条件，所以，代入点可得，椭圆的标准

3、方程为；（2）联立椭圆和直线方程可得直线，所以 由相交弦长公式可得4、离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为、，是坐标原点（1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于相异两点、，且，求(其中是坐标原点)【解析】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键（1）利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,c的值，进而求解得到。（2）由结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。解：（1）依题意得-3分解得，故椭圆的方程为-6分（）由-7分设，则 -8分 -10分，从而 -12分5、椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。（1）求的

4、周长；（2）若的倾斜角为，求的面积。【解析】本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用（1）由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a再由a2=4，能导出ABF2的周长（2）由F1（-1，0），AB的倾斜角为 ，知直线AB的方程为y=x+1由 消去x，得7y2-6y-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出ABF2的面积解：（1）由椭圆的定义，得， -2分又，所以的周长为。-

5、4分又因为，所以，故的周长为-5分（2）由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，故直线的方程为。-6分由消去，得， 8分设，解得， 10分所以12分6、直线与椭圆交于，两点，已知，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点（）求椭圆的方程；（）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】(I)由e和椭圆过点可得到关于a,b的两个方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程.(II) 设的方程为，由已知得：然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.(III)要讨论AB

6、斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时，由已知，得,又在椭圆上， 所以 ,从而证明出为定值.解：（） 2分 椭圆的方程为3分（）依题意，设的方程为由 显然 5分由已知得： 解得 6分（）当直线斜率不存在时，即，由已知，得又在椭圆上， 所以 ,三角形的面积为定值7分当直线斜率存在时：设的方程为必须 即得到， 9分，代入整理得： 10分 11分 所以三角形的面积为定值 12分7、已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值 【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运

7、用。（1）设，依题意得2分 解得，解得。（2）联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。解：（1）设，依题意得2分 解得 3分椭圆的方程为 4分（2）当AB 5分 当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，由已知得 6分代入椭圆方程，整理得 7分当且仅当时等号成立，此时 10分当11分 综上所述：，此时面积取最大值 12分8、已知直线与椭圆相交于两点。若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长。【答案】【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组，结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。7(本小题满分10分)求以椭圆的焦点为顶点，以

8、椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 【答案】则双曲线的方程为【解析】本试题主要是考查椭圆方程以及几何性质与双曲线方程的求解的综合运用。根据椭圆的方程为可知则。再结合两者的关系可知双曲线中则双曲线的方程为解：由椭圆的方程为可知,又因为双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以可知双曲线中则双曲线的方程为9、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为C。（1）求出C的轨迹方程；（2）设直线与C交于A、B两点，k为何值时？ 【答案】（1）（2）【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。（1）因为点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨

9、迹为C。符合椭圆的定义，因此可知a,c的值得到椭圆的方程。（2）设直线与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到k的值。解：（1）（5分）（2）设由得，恒成立当时（13分）10、已知椭圆的焦点是和，又过点(1)求椭圆的离心率；(2)又设点在这个椭圆上，且，求的余弦的大小.【答案】（1）方程为， ； （2）【解析】(1)由已知条件可知c,然后根据P,|PF1|+|PF2|=2a,求出a值，则离心率确定.(2)根据|PF1|+|PF2|=4, ,|F1F2|=2，根据余弦定理可求出的余弦值.11、已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B.（1）求椭圆的方程；（2）求的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值.【答案】（1） （2） （3）当|AB|最大时，的面积最大值 【解析】（1）依题意得，所以.椭圆方程为（2）直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得（3）由原点O到直线的距离为得.直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得利用不等式求出最值.注意的讨论.解：（1）设椭圆的半焦