数列通项公式与求和讲解与习题含问题详解

1、一.求数列通项公式1.1.定义法(等差数列通项公式；等比数列通项公式.Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=a；.求数列匕0的通项公式.,、3答案：an=n5答案：an=2n-1答案：笆164.4.累加法：假设an由an=f(n)求an:an=(anan)十(anan/)+IH+(a?a)+a(n至2).实用文档数列通项与求和例.等差数列an是递增数列,前n项和为2.2.公式法：Sn(即ai+a2+HI+HI+an=f(n)求an,d,(n=1)用作差法：a an二&-S,(n_2)例.设正整数数列an前 n 项和为Sn,满足求an3 3.作商法：a1a2lllan=f(n)求an

2、,用作商法：anf(1),(n=1)=f(n).E),(n-2)如数列an中,a=1,对所有的n2都有2aa2a3ann,贝Ua3+a例.数列,且 a1=2,an+i=an+n,求 an答案：ann2-n45 5. .累乘法:包1an=f(n)求an,用累乘法：an=-an-a川冬8522)anan现例.数列2bn两足ai=一n*,an由=an,求an.n1-2答案：an=3n6 6. .递推关系求为,用构造法(构造等差.等比数列)(1)形如an+=pan+f(n)只需构造数列?bn?,消去f(n)带来的差异.其中f(n)有多种不同形式f(n)为常数,即递推公式为2口书=pa.+q(其中 p,

3、q 均为常数,(pq(p-1)第0).文案大全解法：转化为：an+t=p(ant),其中t=一,再利用换元法转化为等比数列求解.1-p实用文档例.数列&中,a=1,an中=2an+3,求an.答案：an=2n1-3fn为一次多项式,即递推公式为an4=pan+rn+s例.设数列Q：a1=4,an=3an1+2n-1,(n之2),求an.答案：an=63n1-n-1fn为n的二次式,那么可设bn=an+An2+Bn+C；(2)递推公式为an.=pan+qn(其中p,q均为常数,(pq(p-1)(q-1)/0).(或an中=pan+rqn,其中 p,q,r 均为常数解法：该类型复杂一些.一

4、般地,要先在原递推公式两边同除以引入辅助数列bn其中bn=.,得：bn5=Bbn+1再应用类型1的方法解决.qqq例.数列除中,a5,an书an+工严,求a.6321c1c答案:an=3-2-233递推公式为an七=pan4+qan其中p,q均为常数.,、.s+t=p解法：先把原递推公式转化为an虫-san书=tan书-san其中s,t满足,再应用前面类型2&=-q的方法求解.例.数列中,a1=1,a2=2,an七=2an*+1an,求an.33答案：an=7-3-；n44437,7,形如an=-n或%-ban=kanan的递推数列都可以用倒数法求通项.kanb例.an=an,a1二1

5、3an4,1一1答案：an=3n-28 8.利用平方法、开平方法构造等差数列文案大全实用文档例 1.数列an的各项均为正数,且满足an书=an+2j+1,4=2,求20.答案:an=(n2-1)21-例2.f(x)=(x0)(2)%=.X.2n-1r9.an.=Pan上该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项.两边取对数得rlgan1=lg(pan)lgan1=lgprlgan设bn=lgan,原等式变为bn+=rbn+lgp即变为根本型.2a_例.a1=2,an+=,求其通项公式.3答案：an=3(2)3练习：nH110a1=1且an+=2an+

6、2,求an答案：an=(n-1)2n211a=3J!an由=3an+2,求an答案：an=53nl-2n112 数列中,a=一,刖n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n1)an,试求通项公式an.3解：当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1)=a1=1;当 n=2 时,有：S2=a+a2=2a2+(-1)2=a2=0;当 n=3 时,有：S3=a+a2+a3=2a3+(-1)3口 a3=2;文案大全实用文档综上可知 a=i,a2=0,a3=2;由得：an=Sn-Snl=2an(-1)n-2anJ-(-1)nJ化简彳导:an=2anj2(-1)n-上式可化为：an2(-1)n=2anj2

7、(-1)nJ33故数列an+2(1)n是以a1+2(1)1为首项,公比为 2 的等比数列.33故an+2(-1)n=；2Uan4U2n-|(-1)n=|2n-力333332数列an的通项公式为：an=22nN-(-1)n.313 设数列an满足a+3a2+32a3+3n,an=n,nWN,求数列an的通项；3解：由an由=an+2n+1得an+-an=2n+1那么an-(an-anJ.(anan_2).(a31a2)(a21a1)a1=2(n-1)12(n2)1,(221)(211)1=2(n-1)(n-2)-21(n-1)1=2(n-1(n-1)12所以数列an的通项公式为an=n2一-.一

8、一一一_-一一一一一一14 二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f(x)=6x2,数列an的前 n 项和为Sn,点(n,Sn)(nwN*)均在函数y=f(x)的图像上.求数列an的通项公式；解：由于an=a+2a2+3a3+(n1)an(n之2)所以an由=a1+2a2+3a3+(n1)an二十nan所以式式得an1-an=nan那么an1=(n1)an(n-2)那么=n1(n-2)an文案大全实用文档n!公二n(n1)=43a2=,a22由an=a+2a2+3a3+(n-1)anJL(n之2),取 n=2 得a2=a1+2a2,贝Ua2=a1,又知a1=1,那么a2=1,代入得

9、an=1345:n=26,数列an满足an卡=2an+32n,a1=2,求数列an的通项公式.a=3,an4=3an,求通项 an.答案：an=(3n-1)2n,7,数列an满足an+=an+23n+1,答案：an=3nn-1一一1一8,a1=一一且3Sn+Sn=an由,求an31答案：an二n(3n-3)9,数列an满足an书=3an+23n十1,答案：an=(2n3)3n21(733广an_13333a11 .数列an的首项 a1=-,%+1=,n=1,2,求an的通项公式;52an+111.、12 .设数列an满足a1=0且-=n,求an1-an11-an所以ananan1.a3aman

10、2a2a2a1=3,求数列an的通项公式.a1=3,求数列an的通项公式.410.数列an满足an书=3an,a1=7,求数列an的通项公式.答案:答案：an3n3n2文案大全答案:an2n2n2实用文档13 .等比数列bn,b1=1,等差数列an(d#0)中,a2,a5,a14为bn中连续的三项,求bnn1答案：bn=32221314 .各项为正数的数列an满足a1+a2+an=-(4n-n),求an3答案：an=2n-115 .a=1,J1anfr=3SSn书,求an,一2an_16 .a1=2且an斗=,求anan+22答案：an=n17 .a1=3,an书=3“an,求通项 an-n2

11、,o2答案：an=3218 .bn是首项为 1,公差为 9 的等差数列,且bn=a1+2a2+nan31-2JITn(1)求证：Qn也是等差数列；(2)右G=a1.C2a2+a3,C3=a4+a5*a6,C4=a7+a8*a9*a10,如此构成数列cn,求数列cn的通项公式.答案：cn=n3(nN)二.数列求和1 1 . .公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式,特别声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1 1的关系,必要时需分类讨论.；常用公式：n(n12n(n+1),1+2+111+n=6n(n+1)(2n+1),1+2+3+|+n=,21-1例.log3x=,求x+x+x+,+

12、x+的刖n项和.log23-1答案：an1,n=12/n_2答案Sn=1文案大全实用文档2 2 . .分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将和式中同类项先合并在一起,再运用公式法求和.111一一例2.2.求数列的刖 n 项和：1+1,一+4,二+7,；FJ+3n-2,aaa3 3.倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,那么常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法)例3.3.求sin21+sin22+sin23一+sin288+sin289-的值答案：Sn=44.54 4 . .错位相减法：如果数列的通项是

13、由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法).例4.4.求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1例5.5.求数列2 2,冬,与,母,前 n 项的和.222232nn一2答案：&=4-广5 5 . .裂项相消法：如果数列的通项可分裂成两项差的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：=1-,；=1(1-);n(n1)nn1n(nk)knnk,1111n11=一二-n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(n1)!n!(n1)!2(/n+1-Vn)-227=2=2(Vn-VnT)

14、.n.n1n.n、n-1111例6.6.求数歹 U-三j一的刖 n 项和.1.2.23,nn1,12n一2例7.7.在数列an中,an=+,又bn=,求数列bn的前 n 项的和.n1n1n1anan1答案:Sn=a-1111,12:二=一(k2k2-12k-1),1(k1)k1(k-1)k11k-1k文案大全6.通项转换法：先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.例8.求1+11+111+1111之和.n个1水平综合1 .数列an的通项公式为 an=,前 m 项和 Sm=9,那么 m 为().n+1+.nA.99B.98C.10D.92,数列 1,1+2,1+2+22,1+2+

15、22+2n-1前 n 项和等于()A.2n+1-nB.2nC.2n-nD.2n+1-n-23.数列an的首项为 3,bn为等差数列且bn=an书an(nwN+),假设b3=2,b10=12,那么a8=A.0B.3C.8D.114.设数列4满足a=0且一1=1.1an11an.,1-.an.(1)求QJ的通项公式；(2)设bn=廿上,记Sn=bk,证实：Sn1,nkT【解析】(l)(l)由思设l+I+I1 1kA*kA*即J J- -是公堂,为i i的停差数列,又一=1,=1,叱上一=用u u, ,jIjI一/1 1一%所以=1 1n(2)(2)证实：由(1(1】将)工1一什工事/n/n+i+i

16、G6G6*钻噌材-号卜看“答案：-502实用文档答案:Sn=8n答案:S10n1Sn一-10-9n815.如果 f(x+y)=f(x)f(y),且 f(1)=-2,那么X(n+i(3)+i(5)+|H+f(2022)f(2)f(4)f(6)f(2022)26 .设数列an的前 n 项和为 Sn=2n,bn为等比数列,且 a=b,b2(a2-a1)=b文案大全(l)求数列an和bn的通项公式；a(2)设 Cn=一,求数列Cn的前 n 项和 Tnbn一,.、21n答案：(1)an=4n2,bn=F(2)Tn=-(6n-5)4n+5497 .求满足以下条件的数列匕口的通项公式.11(1)Gn满足an

17、书=an+2,a1=一,求an;4n-12(2) an满足an书=3nan,且a1=3,求an.,4n-3答案：(1)an=竺一(2)4n-28 .求下面各数列的前 n 项和.9 .设函数f(n)的定义域为 N+,且满足f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,f(1)=1,求f(n).【解析】注意到义I I：可*=：3 3大I IWF)WF)之间的关系,阳数列内4)4)的遇总三事叁由占1/1/T T有/(肛+ +1 1； =n=i5i5工：二二二一-q-,孑：/U)/U)-*1)-*1)工工.3)3): :工上了-士,将这4 4-I-I个将式相加,W/*二 T7.-J J* *实用文档an=3

18、n2_n-2-2-(1)111113,35,57,79,111；(2)1111123,234,345,456JH)=1+2)=1+2.3.3*9*9 -1二1 1 a1210 .设正值数列an的前 n 项和为sn,满足sn=(-)(1)求a1,a2,a3文案大全实用文档(2)求出数列an的通项公式(写出推导过程)1(3)设bn=求数列bn的前 n 项和Tnanan1答案：(1)ai=1,a2=3,a3=5(2)an=2n1；(3)Tn=2n111.数列an：ana2,a3,an,构造一个新数列：a1,他 a),(a3-a2),(an-an-1),此数一、,一,1一,列是首项为1,公比为1的等比数列3(2)求数到an的前 n 项和 Sn(l)求数列an的通项;邦-(扪S.工叫+/4%*4$=1(*D+T-+II1-(T)l+fl,-(T)l22a一12.数列an的首项 ai=-,an=-,n=1,2,3an11证实：数列?一-1是等比数列；(2)求数列an+,+(T)I)i-丁+-)+十付)-的前 n 项和 Sn【解析】(),aI=%.也.十1上段的T-是以 W为前项为心比的等比数处由期rrr文案大全实用文档13.各项均为正数的数列an满足a1=1,an书+an,an4一an=0.2n(1)求证：数列一匕是等差数列,并求数列an的通项公式；(2)求数列?一?前n项和Sn