专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案分解

1、蚂蚁爬行的最短路径1. 一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-<09-8-7-6-5-4-3-2 1 0 T 2 3 4 5 6 7 8 9 10*回答下列问题：(1)蚂蚁最后是否回到出发点0;(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故没有回到 0;(2) (|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|) X2=114 粒2 .如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外

2、表面爬到顶点B的最短距离是第6题解：如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.3 . ( 2006?茂名)如图，点 A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是 cm第1页共19页解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4.4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? BB. A? Q? BC. A? R? BD . A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.5 .如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个

3、顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB= J（1+2f-12 =宙0.故选C.第2页共19页6 .正方体盒子的棱长为 2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（解：展开正方体的点 M所在的面,.BC的中点为M,所以 MC= 1BC=1 ,2在直角三角形中 AM = 扬+（1+2）'= vn.7 .如图，点 A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。解：将盒子展开，如图所示:AB=CD=DF + FC= 1 EF+ 1 GF =1 X20+1 X20=20

4、cm .2222故选C.第3页共19页8.正方体盒子的棱长为为.第7题2, BC的中点为 M, 一只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离解：将正方体展开，连接 M、D1,根据两点之间线段最短，MD = MC+CD=1+2=3 ,MDi= . MD2 DD12 = . 32 22 = . 139 .如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3q个小正方形.其边长都为1cm, 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用上5 秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得AB

5、= .=二cm;(2)展开底面右面由勾股定理得AB= 1 . + =5cm；第4页共19页所以最短路径长为 5cm,用时最少：5妥=2.5秒.10 . （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB= V152+202 =25 .11 .如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点Ci处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 A解：正面和上面沿 AiBi展开如图，连接 ACi, ABCi是直角三角

6、形, ACi= . AB2 BC12 =442 1 2 2 =，42 32 =5第5页共19页12 .如图所示：有一个长、宽都是 2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为解：由题意得，路径一 ：AB= V(3-F2)3+22=侬；路径二：AB= 雨+厂+'；路径三:AB=：=,二；V59 >5,5米为最短路径.13.如图，直四棱柱侧棱长为 4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A出发沿棱柱的表面爬到顶点B .求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就

7、为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为VC5+3)3-F42 = VB0 (cm)；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为d(4+3尸+52=#再(cm),或(4+5>+3*二#53 (cm)所以蚂蚁经过的最短路程是VT5 cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是30cm.第6页共19页14.如图，在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？图I图2图3解：图 1 中，= /= 40vs a80.4 cm.图 2 中， = l/94+30” =

8、3QVI0m94.7 cm.图3中，AB=倔再万招=20小胃7Z5cm.采用图3的爬法路程最短，为 2OVH5cm15 .如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm, 8cm, 4cm. 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是V123+62=6 VScm;第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是'= '.也 cm;第7页共19页第三种情况：把我们所看到的前面和右面

9、组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是=2 - cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm. A和B是这B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着个台阶上两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm,宽为(2+3) X3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案为25

10、.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B17 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是 cm。因为 AC=3X3+1X3=12, BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.第8页共19页答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.18 . （2011湃眇卜）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为

11、cm.解:. PA=2X (4+2)4cm P=12, QA=5AB,8D .PQ=13.故答案为：13.19 .如图，一块长方体醇宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点B距地面的高 BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1,在砖的侧面展开图 2上，连接则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在RtAABD中,第9页共19页因为 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8, 所以 AB2=AD2+ BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm.20 . （2009?佛山）如图，一个长方

12、体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有 一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;（2）当AB=4, BC=4, CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;（3）求点Bi到最短路径的距离.备用图解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC'iDi和ACCiAi .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AiC'i和ACi . （2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci,爬过的路径的长是11 = d4?+（4+5），=也疗.（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BBi到Ci ,爬过的路径的长是上二也4+4

13、尸+5?=/.（4分）1i>12,故最短路径的长是 匕二磁.（5分）（3）作 BiEACi 于 E,则BiE = j?总4 =冼？ 5二患帼为所求,卜分）21.有一圆柱体如图，高 4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C处，求蚂 蚁爬行的最短距离.第10页共19页第2题解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的中点.AF=2 65=10 兀 AD=5 tt.AC= « AD2+CD2 = 16m.故答案为：16cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为解

14、：AB=、52 122 =13 m623.如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆枉底面半径为 一，n高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为 第11页共19页解：因为圆柱底面圆的周长为2 7tx =12,高为5,Ji所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理，对角线长为府五%=13.故蚂蚁爬行的最短距离为13.24.如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是由于圆柱体的底面周长为24cm,E5解：如图所示:1贝U AD=24X =12cm.2又因为 CD=AB=9cm

15、,所以AC= 收步9；=15cm.故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.25. （2006湃眇卜|）有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm, AAi , BB1为相对的两条母 线.在AAi上有一个蜘蛛 Q, QA=3cm；在BB上有一只苍蝇 P, PB=2cm,蜘蛛沿圆柱体 侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm.（结果用带兀和根号的式子表示）第12页共19页解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一个直角边是根据勾股定理得：QP=二仙2 2:.4兀和5的直角三角形中,26.同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬

16、行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则 A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图.第13页共19页如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接 AM,即是这条最短路线图.27.如图，圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬

17、行的最短路程第5题解：圆锥的底面周长是 4国则4声n 二 4180n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是180°,，在圆锥侧面展开图中 AP=2, AB=4,/ BAP=90° ,，在圆锥侧面展开图中 BP=这只蚂蚁爬行的最短距离是 故答案是：2无cm.28.如图，圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm, AB为底面直径，C为底面圆周上一点,第14页共19页/COB=150° , D为VB上一点，VD= V7dm .现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是（）设弧BC所对的圆心角的度数为 n,5tt：.=一二一解得n=90 , ./ CVD

18、=90°,.CD=J ：.第29 .已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOAi=120°, 一只蚂蚁欲 从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。30 .如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕侧面一周又 回到A点，它爬行的最短路线长是 .P第4题第15页共19页解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2n=也，180解得n=90° ,所以展开图中圆心角为 90。，根据勾股定理

19、求得到点 A的最短的路线长是：06+16 = 辰 =4J2 .31 . （2006?南充）如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径 =2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2声4处180解得n=90° ,所以展开图中的圆心角为90。，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4近.32 . （2009?乐山）如图，一圆车B的底面半径为2,母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬

20、行的最短路程为 第16页共19页解：由题意知，底面圆的直径AB=4,故底向周长等于 4 7t.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得 n=120° ,所以展开图中/ APD=120°妥=60° ,根据勾股定理求得 AD= 3< 3 ,所以蚂蚁爬行的最短距离为 3；3 .33.如图，圆锥底面半径为 r,母线长为A,226 43603r,底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发沿圆锥面爬彳L周后又回到原出发点，请你给它指出-解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为 AA'（线段）.01条爬行最短的路径， 并求出最矩路径.%第1