惯性定理与正定性课件

1、惯性定理与正定性3-3 实二次型的定性分类实二次型的定性分类 惯性定理与规范形 定性分类惯性定理与正定性定理定理 3.10（惯性定理）（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.1. 惯性定理与规范形惯性定理与规范形定义 正的系数全为+1（先排），负的系数全为1 （后排） 的标准形称为规范形.根据惯性定理惯性定理，实二次型的规范形是唯一的。 .,0 ,0 ,1122222112222211中中正正数数的的个个数数相相等等中中正正数数的的个个数数与与则则及

2、及使使及及有有两两个个可可逆逆变变换换它它的的秩秩为为即即，设设有有实实二二次次型型 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 惯性定理与正定性.1, 223 . 313 . 3232221，规范形为中实二次型和例例qp. . 2, 1 ,33 . 3232221fqp规范形中例221221 rppTyyyyfprAxx，则其规范形为，正惯性指数为秩为：若推推论论.在在相相合合变变换换下下的的规规范范形形也也称称为为对对称称矩矩阵阵其其中中AOIIrnprp .001111yyT pr-pn-r惯性定理与正定性2. 定性分类定性分类. 0, 0,AxxxRxAAxx

3、TnT，是指：或实对称矩阵称实二次型正正定定. 0, 0, AxxxRxAAxxTnT，是指：或实对称矩阵称实二次型负负定定. 53 , 也正定都正定，证明：阶实对称矩阵设BABAn例例1 1.? 422),( 31232221321是否正定二次型xxxxxxxxf例2例2定理定理 3.11 合同与特征值全正正定 IAnpAxxT. 合同与特征值全负负定IAnqAxxT合同与特征值全半正定 0)(rnnTIArpAxx. 0)(合同与特征值全半负定rnnTIArqAxx. 0,AxxRxAAxxTnT，是指：或实对称矩阵称实二次型正定正定半半. 0,AxxRxAAxxTnT，是指：或实对称矩阵

4、称实二次型定定半负半负. 0)( ,AyyAxxRyxAAxxTTnT，是指：或实对称矩阵称实二次型定定不不惯性定理与正定性例例 3 正定？为何值时， 4225),(323121232221321xxxxxtxxxxxxxft解解5212111ttA,01110122tt.5400)54(51544523tttttA. 540 正定时， ft 的顺序主子式全正：正定的充要条件是则阶实对称矩阵为设AAnA., 011111aa. 0212222111211nnnnnnnaaaaaaaaa, 0222112112aaaa,定理定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）顺序主子式判别法）惯性定理与正定性正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,A, . 1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA., . 2 矩阵矩阵也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA (1)(1)定义法定义法；(3)(3)顺序主子式判别法顺序主子式判别法；(2)(2)正惯性指数正惯性指数（特征值）判别法特征值）判别法.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：四、小结四、小结惯性定理与正定性书面作业书面作业: 153页页 24(2)(3), 26(1）, 28, 30本节要求： 1.了解惯性