2019版高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练

1、第八章立体几何初步第 1 课时 空间点、直线、平面之间的位置关系一、 填空题1.线段 AB 在平面a内，则直线 AB 与平面a的位置关系是 _ .（用符号表示）答案：AB?a解析：由公理 1 可知 AB?a.2已知a n 3= l , m?a, n?3, mAn=P,则点 P 与直线 I 的位置关系用相应的 符号表示为 .答案：P1解析：因为a n 3=I , m?a, n?3,mAn = P,所以 P m P n, Pa,P3,所以 P I.3.设 a, b, c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：1若 aIIb, bIIc,贝Ua / c;2若 a 丄 b, b 丄 c,贝Ua/ c;

2、3若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；4若 aIb, b 丄 c,贝Ua 丄 c.上述命题中正确的是 _ .（填序号）答案：解析：由公理 4 知正确；当 a 丄 b, b 丄 c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错 误；当 a与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错误；根据异面直 线所成角的定义知正确.4.若直线 Ii和 I2是异面直线，Ii在平面a内，丨2在平面3内，I 是平面a与平面3的交线，则下列命题正确的是 _ .（填序号）1I 与丨1,丨2都不相交；I 与 11, 12都相交；I 至多与 I1, I2中的一条相交；I

3、至少与丨1,丨2中的一条相交.答案：解析：若 I 与 I1, I2都不相交，则 I/I1, IIII2,所以 I1/ I2，这与 I1和 I2是异面直线 相矛盾，所以 I 至少与丨1,丨2中的一条相交.故正确.5.如图，在长方体 ABCD/BGD 中，点 E, F 分别为 B0 和 GO 的中点，长方体的各棱中，与 EF 平行的有_ 条.答案：4解析： EF 是厶 OBC 的中位线， EF / BQ. / BQ/ BC/ AD/ AD,.与 EF 平行的 棱共有 4 条.6.如图为正方体表面的一种展开图， 则图中的四条线段AB, CD EF, GH 在原正方体中互为异面的有_ 对.1ZJti答

4、案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB, CD EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD EF 与 GH AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交, CD2与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对.37._ 已知 ABCDAiCiD 是正方体，点 0 是 BiD 的中点，直线 AC 交平面 ABD于点 M 则下 列结论中错误的是 （填序号）1A , M, C 三点共线；2M, O, Ai, A 四点共面；3A , 0, C, M 四点共面；4B , Bi, 0, M 四点共面.答案：解析：作出图形，可知正确.8._

5、 如图，在正三棱柱 ABCABC 中，点 D 是 AC 的中点，AA: AB=、/2 :1 ,则异面直线 AB 与 BD 所成的角为 .60如图，取AQ 的中点E,连结 BiEED, AE,在Rt ABE中，/ ABE即为所求,设 AB= 1 ,9.如图，点 G, N, M H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 _ .（填序号）答案：解析：图中，直线 GH/ MN 图中，G H, N 三点共面，但 M?平面 GHN 因此直线 GH 与 MN异面；图中，连结 MG GM/ HN 因此 GH 与 MN 共面；图中， G M N 共面，但 H?平面 GMN 因此 GH

6、 与 MN 异面.所以图中 GH 与 MN 异面.10.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，点 M, N 分别是 BG, CD 的中点，则下列判断正确的是_ .（填序号）1MN 与 CG 垂直；MN 与 AC 垂直；答案:解析:GH MN贝 UAA =體 AB4MN 与 BD 平行； MN 与 A Bi平行.答案：解析：连结 BC, BD,贝UMN 是BiCD 的中位线， MN/ BiDi. / CCi丄 BiD, AC 丄 BiDi, BD/ BiDi,AMN 丄 CC, MNL AC, MN/ BD,故5正确./ AiBi与 BD 相交， MN 与 AiBi不平行，因此错误.二

7、、解答题11.如图，在正方体 ABCDAiGD 中，点 E, F 分别为 DC, BiC 的中点，ACABA P, ACnEF=Q.(1)求证：D, B, E, F 四点共面；(2)作出直线 AiC 与平面 BDEF 的交点 R 的位置.证明：由于 CC 和 BF 在同一个平面内且不平行，故必相交.设交点为0,则 0C=CC.同理直线 DE 与 CC 也相交，设交点为O，贝yOCi= CiC,故 0与 0 重合.由此可证 得 DEH BF= 0,故 D, B, F, E 四点共面(设为a).(2)解：由于 AA/ CG,所以 Ai, A, C, C 四点共面(设为3) . P BD 而 BD?

8、a,故 P a.又 P AC 而 AC?3,所以 P3,所以 pa n 3，同理可证得 Qa n 3，所以有a n 3= PQ.因为 AiC?3,所以 AiC 与平面a的交点就是 AiC 与 PQ 的交点，连结 AiC,贝yAiC 与 PQ 的交点 R 就是 所求的交点.i2.如图，在正方体 ABCD AiBiCiD 中，点 E, F 分别为AA, CC 的中点，求证：四边形 EBFD 是菱形.证明：如图，取 BB 的中点 G,/ GB/ CF,且 GB= GF,四边形 CiFBG 是平行四边形, FB / CG,且 FB= CiG./ DQ/ EG 且 DC = EG四边形 DCiGE 为平

9、行四边形， GCi/ DE,且 GC= DE, FB / DE,且 FB= DE,四边形 EBFD 为平行四边形.6 FB = FD,.四边形 EBFD 是菱形.7mn? m n 不共面；n/3其中假命题的个数是_.答案：4 解析：中 m 与 n 可能平行，也可能异面；相交；中不知道a与3的位置，无法判断?miln.中可能n?3:中可能 m/n或 m 与 nm 与 n 的位置关系.故四个命题都不正确.（填序号）a内不存在与 I 平行的直线；a内的直线3.若直线 I 与平面a不平行，则下列结论正确的是a内的所有直线都与直线 I 异面；与 I 都相交；直线 I 与平面a有公共点.答案：解析：直线

10、I 与平面a不平行，则直线 I 与平面a有如下关系：I?a或 IQ a= A,13.已知空间四面体 ABCD 点 E, F 分别是 AB, AD 的中点，G, H 分别是 BC, CD 上的点,11且 CG= 3BC CH= -DC.求证：33（2）易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面，设 FHQ AC= M, M 平面 EFHG M 平面 ABC./平面 EFHQ平面 ABC= EG M EG, 直线 FH, EQ AC 共点.第 2 课时 直线与平面的位置关系（1） 一、 填空题1._直线 a , b 为异面直线，关于过直线 a 且与直线 b 平行的平面的情况，下列说法正 确的是_ .

11、（填序号）1有且只有一个； 有无数多个； 至多一个； 不存在. 答案：解析：在直线 a 上任选一点 A,过点 A 作 b/ b,贝 U b是唯一的，又 aQ b= A,所 以 a 与 b确定一平面并且只有一个平面，故正确.对于不同直线 m, n和不同平面a,3,给出下列命题：n /m?2.m/nmil3? n/ 3 ；?miln;AC 共点.E , F, G, H 四点共面；（2）三条直线 FH, EG8故均不正确，正确.4._ 下列命题正确的是.（填序号）1若 a, b 是两条直线，且 a/ b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面;2若直线 a 和平面a满足 a/a，那么 a 与a内的任何

12、直线平行；3若直线 a, b 和平面a满足 a/a, b /a,那么 a / b;4若直线 a, b 和平面a满足 a/ b, a/a, b?a,则 b/a. 答案：解析：根据线面平行的判定与性质定理知，正确.5.已知三条直线 a, b, c 和平面3，则下列推论正确的是1若 a/ b, b?3,贝Ua/3；2若 a /3, b/ 3，贝Ua / b；3若 a?3, b/3, a, b 共面，则 a / b;4若 a 丄 c, b 丄 c,贝Ua / b.答案：解析：对于，可能有 a?3，故错；对于，a 与 b 可能平行、相交或异面，故6.如图，在正方体 ABCD 為 CD 中，AB= 2，点

13、 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上.平面 ABC,则线段 EF 的长度为 _ .答案：. 2解析：因为 EF/平面 ABC, EF?平面 ABCD 平面 ABCQ平面 ABCD= AC,所以 EF/ AC.1又点 E 是 AD 的中点，所以点 F 是 DC 的中点.所以 EF= ?AC=2.7.过三棱柱 ABCABC 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA 平行的直线共有_条.答案：6解析：四条棱 AC BC, AiC, BCi的中点中任意两点连线均与平面ABBA 平行，所以共有 6 条直线符合题意.8.如图，在下列四个正方体中，A, B 为正方体的两个顶点， M, N, Q

14、为所在棱的中点，（填序号）错; 对于，a 与 b 可能平行、相交或异面，故错；根据线面平行的性质定理知,D F C正确.若 EF/9则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQF 行的是_.（填序号）1 答案：解析：因为点 M N, Q 分别为对应棱的中点，所以在中AB 与平面 MN（相交，在中均有 AB/ MQ 在中，有 AB/ NQ 所以在中均有 AB 与平面 MNQF 行.9.如图，正四棱柱ABCDAB1C1D 中，点 E, F, G, H 分别是棱 GC, OD, DD, DC 的中 点，点 N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则点M 只需满足条件_时，就

15、有 MIN/平面 BiBDD.（填上正确的一个条件即可， 不必考虑全部的可 能情况）10答案：点 M 与点 H 重合（或点 M 在线段 FH 上）解析：当点 M 在线段 FH 上时，MN/平面 BiBDD.二、解答题10.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E, F 分别是棱 PC 和 PD的中点.求证：EF/平面 PAB.所以 EF/ CD.证明：如图，连结 AC 交 AQ 于点 0,连结 0E OF.因为点 E 为 BB 的中点，所以 BE/ CCi且 BE=扌 CG.所以 BE/ OF 且 BE= OF,所以四边形 BEOF 是平行四边形，所以 BF/ OE

16、.又 BF?平面 AiEC, OE?平面 AiEC,所以 BF/平面 A EC.证明：因为点E, F 分别是棱 PC 和 PD 的中点,在三棱柱 ABCABQ 中,四边形0A=0C.因为点 F 为 AC 的中点,又在平行四边形 ABCD 中, AB/ CD 所以 EF/ AB 又 AB?平面 PAB EF?平面 PAB 所以 EF/平面 PAB.11.如图，在三棱柱求证：BF/平面 AEC.所以ACCA1为平行四边形，所以21112.如图，已知 A, B , C, D 四点不共面，且 AB/a, CD/a, ASa= E , ADA a= F , BDA a=H, BCA a= G.求证：四边

17、形 EFHG 是平行四边形.12证明：TAB/a同理 FH/ AB EG / FH. 又 CD/a，平面 GIH/ CD.同理EF/ICD GH/ EF.四边形 EFHG 是平行四边形.13.如图，在斜三棱柱 ABCA3Q 中，点 D, D 分别为 AC, A1C1上的中点.求证:ADi/平面 BDC;(2) BD /平面 ABD.甘证明：(1)因为点 D, D 分别为 AQ 与 AC 的中点，四边形 ACCA1为平行四边形，所以CD/ DA OD= DA所以四边形 ADCD 为平行四边形， 所以 AD / CD.又 AD?平面 BDC, CD?平面 BDC, 所以 AD /平面 BDC.(2

18、)如图，连结 DD,因为 BB /平面 ACCA, BB?平面 BBDD,平面 ACCA1Q平面 BBDiD= DD, 所以 BB / DD.又 D, D 分别为 AC 与 AC 的中点，所以 BB = DD,故四边形 BDDB 为平行四边形，所以 BD/BiD.又 BD?平面 ABD , BD?平面 ABD ,所以 BD/平面 ABDi.第 3 课时直线与平面的位置关系(2)一、填空题1._ 设 I , m, n 均为直线，其中 m, n 在平面a内，则I 丄a”是“ I 丄 m 且 I 丄 n”的条件.答案：充分不必要解析：I 丄a? I 丄 m I 丄 n.反之，因为 m, n 不一定相

19、交，故 I 丄m且 I 丄n不一定推出I 丄a.BCDa= GH.，平面ABC甘132. 下列条件中，能判定直线I 丄平面a的是_.（填序号）1I 与平面a内的两条直线垂直；2I 与平面a内的无数条直线垂直；3I 与平面a内的某一条直线垂直；4I 与平面a内的任意一条直线垂直.答案：解析：由线面垂直的定义及判定定理可知正确.3. 下列说法正确的是 _.（填序号）1若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面；2若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；3若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面. 答案：解析：当这两点在

20、平面两侧时，直线与平面相交，错误；正确；中垂直于这条直 线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，错误.4. 已知平面a,3和直线 m 给出条件：m/ a；m 丄a:m?a；a/B.当满足条件 _ 时，有 0 丄3.（填序号）答案：解析：若mL a,a/3，则mL 3故填.5. 已知 m n 是两条不同的直线，a是一个平面，有下列四个命题：1若a,n/a,贝Un;2若ml a,n 丄a,贝Un;3若a, n 丄a,贝U mln;4若ml a ,mLn,贝Un/a.其中真命题是 _ .（填序号）答案：6. 如图，在直三棱柱 ABCABQ 中，侧棱长为 2, AC= BC= 1,

21、/ ACB= 90,点 D 是 AiB的中点，F 是 BB 上的动点，AB, DF 交于点 E.要使 AB 丄平面 CiDF,则线段 BF=_.答案：1解析：设 BiF= x，因为 AB 丄平面 CDF, DF?平面 CDF,所以 AB 丄 DF. 1由已知，得 AiB = /2.设 Rt AAB 斜边 AB 上的高为 h,贝UDE=尹.又 2X 2= h _22+（ .2）2,所以 h=竽，DE=f.33在 Rt DBE 中, BE=由面积相等，得予X2+22 2= 22x，解得 x = 2.即线段 B1F 的长为 1.7._ 如图，PA!平面 ABC 在厶 ABC 中 BCL AC 则图中

22、直角三角形的个数为 _14答案：4 PAC ABC PBC.8.在正方体 ABCDIBiCiD 中，ACi与平面 ABCD 所成角的正弦值为答案：2解析：如图，在平面 ADDA 中作 A EAD 于点 E,连结 C E,因为正方体 ABCDAQD 中,AB 丄平面 ADDAi，所以 AiE AB.因为 ADnAB= A, AD, AB?平面 ABCD，贝UAiE 丄平面 ABCD,所以/AiC E 就是 AiC 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt AAD 中，AA = AiD, AiE 丄 AD,所以点AEiE 为 AD 的中点，且 AiE= 2AD = 2A C,所以 sin /AiCE=

23、 AC =9设a,B是空间中两个不同的平面，m n 是平面a及B外的两条不同的直线.从m 丄 n；a LB:门丄B;m 丄a”中选取三个作为条件，余下一个作为结论， 写出你认为正确的一个命题： _.(填序号)答案：？或？解析：因为当 nLB, ml a时，平面a及B所成的二面角与直线 m n 所成的角相等 或互补，所以若mLn,则a丄B，从而由？正确；同理？也正确.i 0.如图，在直三棱柱 ABC AiBiC 中，底面是以/ ABC 为直角的等腰直角三角形，AC=2a , BB = 3a, D 是 AC 的中点，点 F 在线段 AAi上，当 AF=_时，CF 丄平面 B DF.答案：a 或 2

24、a解析： 由题意可得 BiD 丄平面 A ACC, . CF 丄 BD, 为了使 CF 丄平面 BiDF,只要使 CF 丄 DF(或PALBPA 丄平面 ABCPA 丄BC解析：十 K? BC 丄 平 面PAC? BC 丄BC?平面 ABCACL BCBC 丄平面 PAC? BC 丄 PC 直角三角形有PAB,15CFLBiF).设 AF= x,贝 U cD= DF2+ FC2, x2- 3ax + 2a2= 0,. x = a 或 x= 2a.解答题i i .如图，在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCC 为菱形，且 PAL 底面 ABCD PA= AC,点 E 是 PA 的中点，点 F

25、是 PC 的中点，求证：(i ) PC /平面 BDE(2) AF 丄平面 BDE.i0证明：连结 0E因为点 0 为菱形 ABCD 寸角线的交点，所以点 0 为 AC 的中点. 因为点 E 为 PA 的中点，所以 OE/PC.因为 OR 平面 BDE PC?平面 BDE 所以 PC/平面 BDE.因为 PA= AC PAC 是等腰三角形， 又点 F 是 PC 的中点，所以 AF 丄 PC.又 OE/ PC 所以 AF 丄 OE.因为 PAL 底面 ABCD BD ?平面 ABCD 所以 PA 丄 BD.因为 AC BD 是菱形 ABCD 勺对角线，所以 ACLBD.又 PAH AC= A,

26、AC?平面 PAC PA?平面 PAC所以 BDL平面 PAC.又 AF?平面 PAC所以 AFLBD .又 OQ BD= O, OE?平面 BDE BD?平面 BDE所以 AF 丄平面 BDE.12.如图，在正三棱柱 ABCABiG 中，点 D 在边 BC 上 , ADLCiD.求证：ADL 平面 BCCB;(2)如果点 E 是 BC 的中点，求证： AiE/平面 ADC凡_c.证明：(1)因为 ABCABiCi是正三棱柱，所以 CC 丄平面 ABC.又 AD?平面 ABC 所以 CC 丄 AD.又因为 ADLCiD, CC，CD?平面 BCCBi，CCHCD= Ci， 所以 ADL 平面

27、BCCBi.(2)因为在正三棱柱 ABCABC 中，AiB = AC，点 E 是 BG 的中点，所以 AiE 丄 BC.因为 CC 丄平面 AiBQ，且 AiE?平面 ABiCi，所以 CC 丄 AiE.又因为 BiC，CC?平面 BCCBi，BiCHCG= C，所以 AiE 丄平面 BCCB .由(i )知 ADL 平面 BCCB，所以 AiE/ AD.又 AiE?平面 ADC，AD?平面 ADC,所以 AiE/平面 ADC.13.在直三棱柱 ABC AiBiC 中，CA= CB AA = AB, D 是 AB 的中点.若点 1BB 上，且 BP-BB.求证：AP 丄平面 ACD.4n fy

28、lkMTP 在线段fiii证明： CA= CB D 是 AB 的中点， CD 丄 AB./ 在直三棱柱 ABCABG 中，底面 ABCL 侧面 A AiBB,交线为 AB,又 CD?平面 ABC CD 丄平面 AABiB./ AP?平面 AiBiBA： CD 丄 AP./ BBi2BA, BB = AA , BP= 4BB,BP 2 ADBA= T = AA，Rt ABP Rt A AD, / AAD=/BAP/AAD+/AiAP=/BAPZAiAP=90,APIAiD./ CDAAiD= D, CD?平面 ACD AiD?平面 AiCDAPI平面 AiCD.第 4 课时 平面与平面的位置关系

29、一、填空题a,B为互不重合的平面，m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：m/ n , n?a,贝V m/ a;m?a ,n?a , m/B ,n,贝U a / B; a/3 ,m?a ,n?B ,贝U m/n; a丄B , aA B=m n?a ,n 丄 m,贝Un 丄B.其中正确的命题是 _ .（填序号）答案：解析：中没有强调 m 在平面a夕卜；中没有强调 m, n 相交；中 m 与 n 有可能异面; 正确.2. 已知正方体 ABCD ABiGD ,下列结论中正确的是 _.（填序号）1ADi/ BC;2平面 ABD /平面 BDC;3ADi/ DC;4ADi/平面 BDC.答案：解析：

30、由四边形 ABCD 是平行四边形可知 AD/ BG ,故正确；根据线面平行与面面平 行的判定定理可知，正确；AD 与 DC 是异面直线，故错误.3. 已知a,B是两个不同的平面，m, n 是两条不重合的直线, 则下列说法中正确的序P.曰号是_ .1若 m/a , aAB =n,贝Um/ n;2若ml a, n 丄 m,贝Un /a;3若ml a ,n 丄B, a丄B,贝U mln；4若a丄B, a A B =n, mln,贝U ml B.答案：解析：对于，如图，m/a,a A B= n ,此时 m, n 异面，故错误；设若若若若118对于，若a L 3,a A 3= n, mLn,则 m 也可

31、能与3相交、平行或在3内，故错误.4._已知a和3是两个不重合的平面.在下列条件中，可判定a/3的是_（填序号）1a内有无数条直线平行于3；2a内不共线的三点到3的距离相等；3I , m 是平面a内的直线，且 I /3, m/3；4I , m 是异面直线且 I /a, m/a, I /3, m/3 答案：解析：由面面平行的判定定理可以推出.5. 设m, n 是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，下列命题中正确的是.（填序号） 若 ma ,n 丄3 ,mL n,贝 Ua丄3 ； 若 ma ,n 丄3 ,m/ n,贝 Ua丄3 ； 若 ma ,n 丄3 ,mL n,贝 Ua/3 ； 若 ma

32、,n 丄3 ,m/ n,贝 Ua/3.答案：解析：选项，由条件 nL 3, m/ n 推出 mL 3,又m/ a，易知a L 3.6.设a,3是两个不同的平面，a, b 是两条不同的直线，给出四个论断：a A 3=b :a ?3；a / b;a /a.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出 你认为正确的命题：_.答案：？或？解析：若aA 3=b,a?3 ,a/b,贝Ua/a，即？；若aA3=b,a?3 ,a/ a,则 a/b,即？.7.a,3为两个不同的平面，mn 为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是1若a/3, m?a,贝Um/3；2若 m/a, n?a,则 m/ n;3若a L

33、 3 , a A 3 =n,mLn,贝UmL 3 ；4若 nLa,n 丄3 ,mL a ,贝UmL 3.答案：解析：由a,3为两个不同的平面，m, n 为两条不同的直线，知：在中，若a/3, m?a,则由面面平行的性质定理得m/3，故正确；在中，若m/ a, n?a,贝Um/n或 m 与 n 异面，故错误；在中，若a L 3,a A 3= n, mLn,贝Um 与3相交、平行或 m?3，故错误; 在中，若 nLa,mL a,贝Umiln,又由 n 丄3得 mL 3,故正确.8.如图，已知 PAL矩形 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有答案：5解析： 由PAL平面ABCD知， 平面PAD

34、L平面ABCD平面FAB丄平面ABCD又 ADLPA 且 ADLAB对于，若对于，若m 丄 n,故正确;_对.n 丄B, a 3，贝Un Ila或 n?a,又mL a ,fD19PAAAB= A,. DAL平面 PAB /平面 DPAL 平面 PAB.又 BC/ AD 二 BCL平面PAB 平面PBCL平面 PAB 同理 DC1平面 PDA /平面 PDCL平面 PDA.9.已知a,3是两个不同的平面，I , m 是两条不同的直线,I 丄a, m?3,给出下列 命题： a/ 3? I 丄 m a丄3? I/mm/a? I 丄3;I 丄3?m/a.其中正确的命题是 _ .(填序号)答案：解析：是

35、面面平行的性质的应用，正确；a丄3, I 丄a, I , m 可平行，可相交， 可异面，命题错误；m/ a, I 丄a? I 丄 m? I 与3可平行，I 可在3内，I 可与3相 交，命题错误；I 丄3,I丄a?3 /a?m/a，命题正确.10. 在棱长均相等的正四棱锥 PABCD 中 O 为底面正方形的中心， M, N 分别为侧棱 PA PB 的中点，有下列结论： PC/平面 OMN平面 OMH平面 PAB OM! PA;平面 PCD/平面 OMN.其中正确结论的序号是_.答案：解析：如图所示，其中 E, F 分别为 AD, BC 的中点，连结 OE OF, G 为 OE 的中点，连 结 E

36、M MGAC, BD 平面 OMN!卩平面 MNOE.因为 M 为 PA 的中点，O 为 AC 的中点，所以 PC/ OM 所以 PC/平面 OMN 同理 PD/平 面 OMN所以平面 PCD/平面 OMN 故正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以PA2+ PC1 1=AB2+ BC= AC ,所以 PC!PA.又 PC/ OM 所以 OMLPA 故正确.因为 OM= qPO2 卩 ME 所以 MGLOE 又 MIN/ OE 所以 GML MN 假设平面 OMIN 平面 PAB 贝 U GML 平面 PAB 贝 U MGLPA 设四棱锥的棱长为 4 ,则 MA= 2 , AG= 5 , MG= -

37、3 ,三边长度不满足勾股定理， 所以 MG 不垂直 PA 与假设矛盾，故不正确.二、解答题11.如图，在直三棱柱 ABCA3Q 中，BCL AC, D, E 分别是 AB, AC 的中点.求证:B1C /平面 ADE;平面 ADE 丄平面 ACCA1.证明：(1)因为 D, E 分别是 AB, AC 的中点，所以 DE/ BC. 又因为在三棱柱 ABCAB1C1中，BG /BC,所以 BQ / DE.又 BQ?平面 ADE, DE?平面 ADE 所以 BG/平面 ADE.(2)在直三棱柱 ABCAB1C1中，CC 丄底面 ABC又 DE?底面 ABC 所以 CC 丄 DE.又 BCL AQ D

38、E/ BC,所以 DEL AC.又 CC , AC?平面 ACCA ,且 CCQAC= C,所以 DEL 平面 ACg 又 DE?平面 ADE,所以平面 ADE!平面 ACCA.20fi12.如图，在三棱锥 ABCD 中, AB 丄 AD, BC 丄 BD,平面 ABDL 平面 BCD,点 E, F(E 与A,D 不重合)分别在棱 AD BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF(2)AD证明：/平面 ABC丄 AC.(1) 在平面 ABD 内，因为 ABLAD EFLAD,所以 EF/ AB.又因为 EF?平面 ABC AB?平面 ABC 所以 EF/平面 ABC.(2) 因为平面 ABD

39、L 平面 BCD 平面 ABDT平面 BCD= BD,BC?平面 BCD BC 丄 BD,所以 BCL平面 ABD.因为 AD?平面 ABD所以 BCLAD.又 AB 丄 AD BCH AB= B , AB?平面 ABC BC?平面 ABC 所以 ADL 平面 ABC.又因为 AC?平面 ABC所以 ADLAC.13.如图，在四面体ABCD 中 ,平面 ABCL平面 ACD E ,F , G 分别为 AB,AD, AC 的中点，AC= BC / ACD= 90求证：AB 丄平面 EDC若 P 为 FG 上任一点，求证:证明：(1)因为平面 ABCL 平面 平面ABC 门平面 ACD= AC C

40、D?所以 CDL 平面 ABC.又 AB?平面 ABC 所以 CDLAB.因为 AC= BC, E 为 AB 的中点, 所以 CEL AB.又 CEH CD= C, CD?平面 EDC CE?平面 EDC 所以 AB 丄平面 EDC.(2)连结 EF , EG 因为 E, F 分别为 AB, AD 的中点，所以 EF/ BD.又 BD?平面 BCD EF?平面 BCD 所以 EF/平面 BCD.同理可证 EG/平面 BCD 且 EFAEG= E , EF?平面 BCD EG?平面 BCD所以平面 EFG/平面 BCD. 又 P 为 FG 上任一点，所以EP平面 EFG所以 EP/平面 BCD第

41、5课时 空间几何体的表面积和体积一、 填空题1.已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120,且面积为 3n的扇形，则该圆锥的体积为_ .答案：乙尹12解析：设圆锥的母线为I，底面半径为 r，因为 3n= 3nl，所以 I = 3,由 2nr =I)ACD / ACD= 90,即 CDLAC 平面 ACD21120X n XI、亠、122 2n180 ，得 r = 1，所以圆锥的咼是 2*2，所以圆锥的体积是-X n X1 X2 2= 32.如图，在正四棱柱 ABCD/BQ1D 中，AB= 3 cm , AA= 1 cm，则三棱锥 DABD 的体积为_cm3.Ati答案：3解析：三棱锥 DABD

42、的体积等于三棱锥 BADD 的体积，因为三棱锥 BADD 的高等于 AB,1 ADD 的面积为矩形 AA1DD 的面积的，所以三棱锥 BADD 的体积是正四棱柱 ABCDA1C1D113的体积的二，所以三棱锥 DABD 的体积为-X32X1=-.6623.若正四棱锥的底面边长为 2 cm,侧面积为 8 cm，则它的体积为 _ cm3.答案：守1解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为 8,所以底面周长 c = 8, qch = 8,所以斜高 h = 2,所以正四棱锥的高 h = 3,所以正四棱锥的体积为X22X3=334.底面边长为 2，侧棱长为的正四棱锥的体积为 _ .4答案：44解析：底

43、面边长为 2,侧棱长为 3 的正四棱锥的高为 1，底面积为 4，则体积为 3.5.设 M N 分别为三棱锥 P ABC 的棱 AB, PC 的中点，三棱锥 P ABC 的体积记为W,V2三棱锥 P AMN 的体积记为 V2,则 V=_.答案：141 1解析：设AAMN 的面积为 S,点 P 到平面 AMN 的距离为 h,贝 U V2= ?Sh，而 V = 2X3X2S小 V21Xh 则=一，则 Vi46.如图，在正三棱柱 ABCABQ 中，已知 AB= AA= 3,点 P 在棱 CC 上，则三棱锥 PABA的体积为_ .822答案：攀419SAABA= 2X3X3 = 2，点 P 到底面 AB

44、A 的距离 ABC 的高: -3，故三棱锥的体积 V= Sh= I 卫.*347._已知正方体 ABCD ABCD 的棱长为 1，点 E 是棱 BiB 的中点，则三棱锥 BADE 的体 积为_ .答案：12iii i解析：三棱锥 BADE 的体积=三棱锥 DBAE 的体积=3X1XqX1X空=乜.8.若一个正方体与底面边长为2 3，侧棱长为.10 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.答案：2解析：底面边长为 2 寸 3，侧棱长为 10 的正四棱锥的体积为 8，则该正方体的棱长为 2.9.已知正四棱锥 OABC 啲体积为 苓2,底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为

45、_.答案：24n解析：设正四棱锥的高为h,则1X(3)2h=3-2，解得高 h=32.则底面正方形的对10.将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB= 3, BC= 2,圆柱上底面圆心为 O, EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是_ .答案：4解析：因为将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱， AB= 3, BC= 2，圆柱上底面圆 心为O, EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形， 所以三棱锥 OEFG 勺高为圆柱的高，即高 为 AB,所以当三棱锥 OEFG 体积取最大值时， EFG 的面积最大，1当 EF 为直径，且点 G 在

46、 EF 的垂直平分线上时，(SEFt)max= ?X4X2 = 4,二、解答题11.如图，在三棱锥 DABC 中，已知 BCD 是正三角形， AB 丄平面 BCD AB= BC= a, E 为BC 的中点，F 在棱 AC 上，且 AF= 3FC.(1)求三棱锥 DABC 勺体积；解析：三棱锥的底4n( 6)2所以三棱锥 OEFG 体积的最大值Vmax=3X(SEFG)1maxXAB= 3X4X3=4.6,所以球的表面积为233(2)若 M 为 DB 中点，N 在棱 AC 上，且 CN=-CA 求证：MN/平面 DEF.24(1)解：因 BCD 是正三角形，且 AB= BC= a,所以SxBCD

47、= al4因为 AB 丄平面 BCD 所以VDAB=VABCD=1X &BCDXAB=XJa2xa=)a3.33412(2)证明：连结 CM 设 CMHDE= 0,连结 OF.2贝 U 0BCD 的重心,C0=TCM.332因为 CN CA AF= 3FC,所以 CF=-CN,所以 MIN/ OF.因为 OF?平面 DEF MN?平面 DEF,83DEF.在三棱锥 PABC 中 , PALAB, PALBC, AB 丄 BC, PA= AB= BC= 2,点 D 为线段 E 为线段 PC 上一点.PALBD证明：因为 PAL AB 因为 BD?平面 ABC 所以 (2)证明：因为 AB

48、= BC, 所以BDLAC.由(1)知，PALBD, PAH AC= A , PA AC?平面 PAC 所以 BDL平面 PAC 又 BD?平面 BDE 所以平面 BDEL 平面 PAC.解：因为 PA/平面 BDE 所以PA/ DE.DE=2PA=1 , BD= DC=2.由(1)知，PAL平面 ABC 所以 DEL 平面 ABC 1 1所以三棱锥 E BCD 的体积 V=;:BD- DC- DE=-.6313.如图,在菱形 ABCD 中,AB= 2,ZABO 60 BD 折起得到四面体 EBCD 使 EC= 2.求证：EOLCD.所以 MN/平面12.如图，AC 的中点，点求证：求证：平面

49、BDEL平面 PAC当 PA/平面 BDE 时,PA 丄 BC,所以 PAL 平面 ABC.PAL BD.点 D 为 AC 的中点，平面 PA6 平面 BDE= DE因为点 D 为 AC 的中点，所以BDAAC= 0,现将其沿菱形对角线求三棱锥 EBCD 的体积.25/ BDnAC= 0,.EO 丄 BD./ 在菱形 ABCD 中, AB= 2，/ ABC= 60,. AD= CD= BC= 2, AO= OC= 1./ EC=2, CO= EO= 1, EO2+OC=EC, EO 丄 OC 又 BDnOG= O, EO 丄平面 BCD - EO 丄 CD.解：设点 O 到平面 ECD 的距离

50、为 h，由(1)知 EOL 平面 OCD. 1 1V三棱锥 OCD= V三棱锥 EOCD艮卩& OCDEO= SECD h.2答案：2 或在 Rt OCD 中, OC= 1, OD= 3,ZDOC= 90,1SAOCD=OD=_2.在厶 CDE 中,26ED=DC=2,EC=. 2S CD= A2X22222= , h=SOS2ECDEO=弓，即点 O 到平面 EDC 的距离为亠 721第 6 课时 空间向量在立体几何中的应用一、填空题1.已知空间四边形 OABC 点 M N 分别为 OA BC 的中点，且 OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示MN,则MN=_. 1答案：2(

51、b+ca)解析：IW= 6N- 6M=2(b+c)2a=2(b+ca).2.若直线 I 丄a,且 I 的方向向量为(m, 2 , 4),平面a的法向量为 , 1 , 2 ,贝卩 m为_.答案：11入， 、2解析：T(m , 2 , 4)=入 3,1,2, - m= 1.72=入，4 = 2 入，83.若向量a= (1，入，2),b= (2 , 1,2),且a与b的夹角的余弦值为-,则入=_.4.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点.若 AB= (2 , 1, 4) ,AD= (4 , 2 ,0) ,AF= ( 1, 2, 1),则给出下列结论： APIABAPIAD；环是平面 A

52、BCD 的一个法向量； 环/BD.其中正确的是 _ .(填序号)答案：解析：AB-AP= 2X( 1) + ( 1)X2+ ( 4)X( 1) = 2 2 + 4 = 0，则AB AP,即 APIABAP-AD= ( 1)X4+ 2X2+ 0 = 0，则AP1AD,即 APIAD.又 ABA AD= A,. AP 丄平面 ABCD故 AP 是平面 ABCD 勺一个法向量.由于BD=ADAB= (2 , 3, 4) ,AP=( 1, 2, 1),解析：由 cosa,ba-b|a|b|8 29，解得入一2或 552721丰3 工土AP 与 BD 不平行.5.已知正四棱柱 ABCD - AiBCiD

53、i 中，AA= 2AB,贝 U CD 与平面 BDG 所成角的正弦值为2答案：3解析：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA= 2AB= 2,则 D(0, 0, 0),C(0, 1, 0) , B(1 , 1, 0) , G(0, 1 , 2)，则5C= (0, 1 , 0) ,DB=(1 , 1 , 0) , DC=(0 , 1 , 2).设平面 BDC 的法向量为n= (x , y, z)，贝 Un丄DBn丄 DC,所以有2,得平面 BDC 的一个法向量为n= (2 ,Tn DC2=|COS n, DO | = | | = 3.|n|DC|t6._如图，在平行六面体 ABCD

54、iBiCD 中，AB= 4,AD= 3, AA= 5，/ BAD= 90,/ BAA=ZDAA = 60,则对角线 AG 的长度等于.答案：.85解析：AG = (AB+ AD+ AA) =AB+AD+AA + 2AB- AD 2AB AA+ 2AD- AA= 16+ 9 + 25+ 2X4X3Xcos 90 + 2X4X5Xcos 60 + 2X3X5Xcos 60 = 50 + 20 + 15= 85,即|AC1|=, 85.7._ 如图， 在直三棱柱 ABG- ABC中， AB丄 AC, AB=AC= 2 , AA= 4,点 D 是 BC 的中点， 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余

55、弦值为.x+y=0,人 _ 令 y=y + 2z= 0.2, 1).设 CD 与平面 BDC 所成的角为0,则 sin0尽283 四答案：W解析：以 A 为坐标原点，以 AB, ACAA所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角 坐标系 A-xyz ,则 A(0, 0 , 0) , B(2 , 0 , 0) , C(0 , 2 , 0) , D(1 , 1 , 0) , A(0 , 0 , 4) , G(0 ,2 , 4),所以 AB= (2 , 0, 4), CD= (1 , 1, 4).因为C0S碓,% =朋=響,所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为下 0 .8.已知 0

56、点为空间直角坐标系的原点，向量 OA= （1 , 2 , 3） ,SB=（2 , 1 , 2） ,SP=（1 ,1 , 2）,且点 Q 在直线 OP 上运动.当QA- QB 取得最小值时，0Q 的坐标是_ .4 48 3，3，3答案:解析：点 Q 在直线 OP 上 , 设点 Q（入，入，2 入），则 QA= （1 入，2入，3 2入）,QB= （2 入，1 入，2 2 入），QA- QB= （1 入）（2 入）+ （2 入）（1 入）+ （3 2 入）（2 2=6 入2 16 入+ 10= 6 入一扌 |.当 入 諾时，QA- SB 取得最小值一2,此时 &=83 .在正方体 ABCD

57、ABQD 中，点 E 为 BB 的中点，则平面 AED 与平面 ABCD 所成的锐二4 43 , 3 ,9.面角的余弦值为_.2答案：3解析：如图，以 A 点为坐标原点，AB, 角坐标系，设棱长为 1 ,AD AA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直则 A(0,0,1),E；1,0,1i,D(0,1,0),所以 AK(0, 1, 1),ATE=1, 0,-2.y z= 0 ,设平面 AED 的一个法向量为 m= （1 , y , z）,贝 U1所以I1一子=0,二；,所以2, 2).因为平面 ABCD 的一个法向量为n2= （0 , 0, 1），所以 cos 厲,n22 23x1=3

58、,29二、解答题10.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD/BQD 中，点 P 为棱 GD 的中点，Q 为棱 BB 上的30因为AP= (1 , 2, 2) ,AQ= (2 , 0, 1),ITAP-AQ1x2+2x0+2X1!5所以 cosAP, AQ =.所以 AP 与 AQ 所成角的余弦|AP|AQ|出小15值为欝.15(2)由题意可知，AA= (0 , 0, 2) ,AQ= (2 , 0, 2 入).设平面 APQ 的一个法向量为n= (x , y, z),nAP=0,x+2y+2z=0,则即y，n AQ= 0,2x+1 2入z=0.令 z = 2,贝 U x= 2 入，y= 2 入

59、. 所以n= (2 入，2入，一 2).因为直线 AA 与平面 APQ 所成角为 45 ,11.如图，在平行六面体 ABCD/BCD 中，AA 丄平面 ABCD 且 AB= AD= 2, AA = Q3, / BAD=120 .解:Axyz.点，且 BQ= BB(入工 0).1若入=，求 AP 与 AQ 所成角的余弦值;所以|cos_4_2 , (2 入)2+( 2-入)2+( 2)2一 化简得5 入2 4 入=0.又入工 0,所以a31解：在平面 ABCD 内，过点 A 作AELAD 交 BC 于点 E. 因为AA丄平面 ABCD 所以 AALAE, AALAD.如图，以 A 点为原点，AE,AD,AA为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为 AB= A 2, AA=3，/ BAD= 120,所以 A(0, 0, 0) , B( 3, 1, 0) , D(0, 2, 0) , E( 3 , 0 , 0) , Ai(0 , 0 ,3) , C( 3 ,1 , .3) (1) A 芯(B , 1,羽)，(念,1 ,羽)，T TAB AC则 cos A1B, AG=T TIA1BIAC1|_ 羽+(-1)X1护_1,(.3)2+(1)2+(2x ( 3)