2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学解析版(新课标I)

1、2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I)题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（题型注释）1已知集合，则集合中的元素个数为( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2【答案】D【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故AB=8,14,故选D.考点：集合运算2已知点，向量，则向量( )（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】试题分析：=（3,1），=(-7,-4)，故选A.考点：向量运算3已知复数满足，则（ ） （A） （B） （

2、C） （D） 【答案】C【解析】试题分析：，z=，故选C.考点：复数运算4如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.考点：古典概型5已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：抛物线的

3、焦点为（2,0），准线方程为，椭圆E的右焦点为（2,0），椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，椭圆E方程为，将代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故选B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛【答案】B

4、【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：公差，解得=，故选B.考点：等差数列通项公式及前n项和公式8函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A） （B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.考点：三角函数图像与性质9执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【

5、解析】试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0

6、.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图10已知函数 ，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：，当时，则，此等式显然不成立，当时，解得，=，故选A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分

7、析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，解得，即，解得，故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（题型注释）13数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【解析】试题分析：，数列是首项为2，公比为2的等比数列，

8、n=6.考点：等比数列定义与前n项和公式14已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【解析】试题分析：，即切线斜率，又，切点为（1，），切线过（2,7），解得1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 【答案】4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值为4.考点：简单线性规划解法16已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为，由双

9、曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，=.考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题评卷人得分三、解答题（题型注释）17（本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.（）若，求 （）若，且 求的面积.【答案】（）（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将化为变得关系，结合条件，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（）由（）知，根据勾股定理和即可求出c，从而求出

10、的面积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得.又，可得,由余弦定理可得.（）由(1)知.因为90°，由勾股定理得.故，得.所以ABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（）证明：平面平面；（）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在E

11、BG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.考点：线面垂直的判定与性质；面面

12、垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（）的结果回

13、答下列问题：（）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（）（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（）()利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年

14、宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. （）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，=563-68×6.8=100.6.关于的线性回归方程为，关于的回归方程为.（）()由（）知，当=49时，年销售量的预报值=576.6，. （）根据（）的结果知，年利润z的预报值，当=，即时，取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20（本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（）求k的取值范围；（），其中O为坐标原点，求.【答案】

15、（）（）2【解析】试题分析：（）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；（）设，将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线l的方程为.因为l与C交于两点，所以.解得.所以的取值范围是.（）设.将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为.故圆心在直线l上，所以.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数的零点的个数；（）证明：当时.【答案】

16、（）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（）见解析【解析】试题分析：（）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（）由（），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用

17、导数证明不等式；运算求解能力.22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是直径，AC是切线，BC交与点E.（）若D为AC中点，求证：DE是切线；（）若 ，求的大小.【答案】（）见解析（）60°【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90°，即OED=90°，所以DE是圆O的切线；（）设CE=1,由得，AB=，设AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出关于的方程，解出，即可求出ACB的大小.试题解析：（）连结AE，由已知得，AEBC

18、，ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，连结OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90°，DEC+OEB=90°，OED=90°，DE是圆O的切线. （）设CE=1，AE=,由已知得AB=，由射影定理可得，解得=，ACB=60°.考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求的极坐标方程.（）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.【答案】（）,（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.5分（）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 .（）当 时求不等式 的解集；（）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的