时间序列分析 第五章-非平稳序列的随机分析

1、应 用 时 间 序 列 分 析 实 验 报 告实验名称 第五章 非平稳序列的随机分析 一、 上机练习5.8.1 拟合ARIMA模型data example5_1;input x;difx=dif(x);t=_n_;cards;1.05 -0.84 -1.42 0.20 2.81 6.72 5.40 4.385.52 4.46 2.89 -0.43 -4.86 -8.54 -11.54 -16.22-19.41 -21.61 -22.51 -23.51 -24.49 -25.54 -24.06 -23.44-23.41 -24.17 -21.58 -19.00 -14.14 -12.69 -9.

2、48 -10.29-9.88 -8.33 -4.67 -2.97 -2.91 -1.86 -1.91 -0.80;proc gplot;plot x*t;symbol v=star c=black i=join;run; 输出时序图显示这是一个典型的非平稳序列。如图（1）所示：图（1） 考虑对该序列进行1阶差分运算，同时考察差分序列的平稳性，在原程序基础上添加相关命令，程序修改如下：proc gplot;plot x*t difx*t;symbol v=star c=black i=join;proc arima;identify var=x(1);estimate p=1;estimate

3、p=1 noint;forecast lead=5 id=t;run;（1）我们在GPLOT过程中添加绘制了一个时序图“difx*t”，这是为了直观考察1阶差分后序列的平稳性。所得时序图如图（2）所示：图（2）时序图显示差分后序列difx没有明显的非平稳特征。（2）“identify var=x(1);”，使用该命令可以识别差分后序列的平稳性。纯随机性和适当的拟合模型阶数。其中x（1）表示识别变量x的1阶差分后序列。识别部分的输出结果显示1阶差分后序列difx为平稳非白噪声序列，而且具有显著的自相关系数不截尾、偏自相关系数1阶截尾的性质。（3）“estimate p=1;”对1阶差分后序列Xt

4、拟合AR（1）模型。输出拟合结果显示常数项不显著，添加或修改估计命令如下：estimate p=1 noint;这就是命令系统不要常数项拟合AR（1）模型，拟合结果显示模型显著且参数显著。如图（3）所示：输出结果显示，序列Xt的拟合模型为ARIMA（1,1,0）模型。（4）“forecast lead=5 id=t;”，利用拟合模型对序列Xt作5期预测。5.8.2 拟合Auto-Regressive模型在SAS系统中有一个AUTOREG程序，可以进行残差自回归模型拟合。下面以临时数据example5_2的数据为例，介绍相关命令的使用。一、建立数据集，绘制时序图data example5_2;i

5、nput x;t=_n_;lagx=lag(x);cards;3.03 8.46 10.22 9.80 11.96 2.838.43 13.77 16.18 16.84 19.57 13.2614.78 24.48 28.16 28.27 32.62 18.4425.25 38.36 43.70 44.46 50.66 33.0139.97 60.17 68.12 68.84 78.15 49.8462.23 91.49 103.20 104.53 118.18 77.8894.75 138.36 155.68 157.46 177.69 117.15;proc gplot data=exam

6、ple5_2;plot x*t =1;symbol1 c=black i=join v=start;run;输出时序图如图（4）所示：图（4）时序图显示，序列x有一个明显的随时间线性递增的趋势，同时又有一定规律性的波动，所以不妨考虑使用误差自回归模型拟合该序列的发展。二、因变量关于时间的回归模型proc autoreg data=example5_2;model x=t/dwprob;run;语句说明：（1）“proc autoreg data=example5_2;”指令SAS系统对临时数据集example5_2进行自回归程序分析。（2）“model x=t/dwprob;”指令SAS系统以

7、变量t作为自变量，变量x作为因变量，建立线性模型：Xt=a+bt+Ut并给出残差序列UtDW检验统计量的分位点。本例中，序列x关于变量t的线性回归模型最小二乘估计输出结果如图（5）所示。图（5） 序列关于变量t的线性回归模型最小二乘估计结果本例输出结果显示，DW统计量的值等于0.7628，输出概率显示残差序列显著正相关。所以考虑对残差序列拟合自相关模型，修改AUTOREG程序如下：proc autoreg data=example5_2;model x=t/ nlag=5 backstep method=ml ;run;model语句是指令系统对线性回归模型Xt=a+bt+Ut的残差序列Ut显

8、示延迟5阶的自相关图，并拟合延迟5阶自现关图。由于自相关延迟阶数的确定是由我们尝试选择的，所以nlag的阶数通常会指定得大一些。这就导致残差自回归模型中可能有部分参数不显著，因而添加逐步回归选项backstep，指令系统使用逐步回归的方法筛选出显著自相关因子，并使用极大似然的方法进行参数估计。输出结果如下四方面的结果：1. 因变量说明因变量说明2普通最小二乘估计结果该部分输出信息包括误差平方和（SSE）、自由度（DFE）、均方误差（MSE）、根号均方误差（Root MSE）、SBC信息量、AIC信息量、回归部分相关系数平方（Regress R-Square）、总的相关系数平方（Totel R-

9、Square），DW统计量（Durbin-Watson）及所有待估参数的自由度、估计值、标准差、t值和t统计量的P值。如图（6）所示： 图（6） 普通最小二乘估计结果3.回归误差分析该部分共输出四方面的信息：残差序列自相关图、逐步回归消除的不显著项报告、初步均方误差（MSE）、自回归参数估计。本例该部分输出结果如图（7）所示。 图（7） 自回归误差分析输出结果本例输出的残差序列自相关图显示残差序列有非常显著的1阶正相关性。逐步回归消除报告显示除了延迟1阶的序列值显著自相关外，延迟其他阶数的序列值均不具有显著地自相关性，因此延迟2阶5阶的自相关项被剔除。初步均方误差为234.5,1阶残差自回归模

10、型的参数为-0.602573。4.最终拟合模型该部分输出三方面的汇总信息：收敛状况、极大似然估计结果和回归系数估计。本例输出结果如图（8）所示.图（8） 最终拟合模型输出结果为了得到直观的拟合效果，还可以利用OUTPUT命令将拟合结果存入SAS数据集中，并对输出结果作图，相关命令如下：proc autoreg data=example5_2;model x=t/ nlag=5 backstep method=ml noint;output out=out p=xp pm=trend;proc gplot data=out;plot x*t=2 xp*t=3 trend*t=4 / overla

11、y;symbol2 v=star i=none c=black;symbol3 v=none i=join c=red w=2 l=3;symbol4 v=none i=join c=green w=2;run；语句说明：“output out=out p=xp pm=trend;”，该命令是指令系统将部分结果输入临时数据集OUT，选择输出的第一个信息为整体模型的拟合值（P选项），该拟合变量取名为XP；选择输出的第二个信息为线性趋势拟合值（PM选项），还可以选择R选项输出拟合残差项，本例不要求输出此项。输出图像如图（9）所示。图（9） 拟合效果图三、延迟因变量回归模型proc autoreg

12、data=example5_2;model x=lagx/lagdep=lagx;run;语句说明：（1） 首先在DATA步中添加命令“lagx=lag（x）；”，该语句指令系统使用延迟函数生成序列x的1阶延迟序列，并将该序列赋值给变量lagx。（2）“model x=lagx/lagdep=lagx;”指令系统建立带有延迟因变量的回归模型并通过LAGDEP选项指令被延迟的因变量名。本例输出结果如图（10）。图（10） 带延迟因变量回归分析结果由于带有延迟因变量，所以这种场合在回归模型估计结果输出的是Durbin h统计量。本例中Durbin h统计量的分布函数达到0.3853，这表示残差序列

13、不存在显著地相关性，不需要考虑对残差序列继续拟合自回归模型。再注意参数检验结果，如图（11）所示。图（11） 参数估计结果在显著性水平默认为0.05的条件下，截距项不显著（P值大于0.05），所以可以考虑在模型拟合命令中增加NOINT选项。最后输出拟合结果，并绘制拟合时序图，相关命令如下：proc autoreg data=example5_2;model x=lagx/lagdep=lagx noint;output out=out p=xp;proc gplot data=out;plot x*t=2 xp*t=3 / overlay;symbol2 v=star i=none c=bla

14、ck;symbol3 v=none i=join c=red w=2;run; 输出的拟合效果图如图（12）所示。图（12） 带有延迟因变量的回归模型拟合效果图5.8.3 拟合GARCH模型SAS系统中AUTOREG过程功能非常强大，不仅可以提供上述的分析功能，还可以提供异方差性检验乃至条件异方差模型建模。以临时数据集example5_3数据为例，介绍GARCH模型的拟合，相关命令如下：data example5_3;input x;t=_n_;cards;10.77 13.30 16.64 19.54 18.97 20.52 24.3623.51 27.16 30.80 31.84 31.6

15、3 32.68 34.9033.85 33.09 35.46 35.32 39.94 37.47 35.2433.03 32.67 35.20 32.36 32.34 38.45 38.1732.14 39.70 49.42 47.86 48.34 62.50 63.5667.61 64.59 66.17 67.50 76.12 79.31 78.8581.34 87.06 86.41 93.20 82.95 72.96 61.1061.27 71.58 88.34 98.70 97.31 97.17 91.1780.20 85.12 81.40 70.87 57.75 52.35 67.50

16、87.95 85.46 84.55 98.16 102.42 113.02 119.95122.37 126.96 122.79 127.96 139.20 141.05 140.87137.08 145.53 145.59 134.36 122.54 106.92 97.23110.39 132.40 152.30 154.91 152.69 162.67 160.31142.57 146.54 153.83 141.81 157.83 161.79 142.07139.43 140.92 154.61 172.33 191.78 199.27 197.57189.29 181.49 166

17、.84 154.28 150.12 165.17 170.32;proc gplot data=example5_3;plot x*t=1;symbol1 c=black i=join v=start;proc autoreg data=example5_3;model x=t/nlag=5 dwprob archtest;model x=t/nlag=2 noint garch=(p=1,q=1);output out=out p=p residual=residual lcl=lcl ucl=ucl cev=cev;data out;set out;l95=-1.96*sqrt(51.42

18、515);u95=1.96*sqrt(51.42515);Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);Ucl_GARCH=1.96*sqrt(cev);Lcl_p=p-1.96*sqrt(cev);Ucl_p=p+1.96*sqrt(cev);proc gplot data=out;plot residual*t=2 l95*t=3 Lcl_GARCH*t=4 u95*t=3 Ucl_GARCH*t=4/overlay;plot x*t=5 lcl*t=3 LCL_p*t=4 ucl*t=3 UCL_p*t=4/overlay;symbol2 c=green i=needle v=no

19、ne;symbol3 v=black i=join c=none w=2 l=2;symbol4 c=red i=join v=none;symbol5 c=green i=join v=none;run;该序列输出时序图如图（13）所示。图（13） 序列时序图时序图显示序列具有显著线性递增趋势，且波动幅度随时间递增，所以考虑使用AUTOREG过程建立序列Xt关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列的自相关性和异方差性，如果检验结果显示残差序列具有显著自相关性，建立残差自回归模型；如果残差序列具有显著异方差性，则要建立条件异方差模型。语句说明：（1）“model x=t/nlag=5 dwpr

20、ob archtest;”，该命令指令系统建立序列Xt关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的P值，同时对残差序列进行异方差检验。DW检验结果显示残差序列具有显著的正相关性，如图（14）所示。图（14） 普通最小二乘估计输出结果残差序列5阶延迟自相关图显示残差序列至少具有2阶显著自相关性，如图（15）所示。图（15） 残差序列自相关图参数估计结果显示回归模型常熟截距项不显著，如图（16）所示。图（16） 线性回归模型参数估计结果异方差检验结果显示，残差序列具有显著地异方差性，且具有显著地长期相关性，如图（17）所示。图（17） 异方差检验结果（2）“model

21、 x=t/nlag=2 noint garch=(p=1,q=1);”，综合考虑序列残差序列自现关性和异方差性检验结果，尝试拟合无回归常数项的AR（2）-GARCH（1,1）模型。模型最总拟合结果如图（18）所示。图（18） 普通最小二乘估计输出结果参数检验结果显示除GARCH（1,1）模型中的常数项不显著外，其他变量均显著，整个模型的R2高达0.9954，且正态性检验不显著（P值为0.3106），这与假定GARCH的残差函数t/（ht）(1/2)服从正态分布相吻合，所以可以认为该模型拟合成功。（3）“output out=out p=p residual=residual lcl=lcl u

22、cl=ucl cev=cev;”将估计值（p=），残差（residual=），序列置信下限（lcl=），序列置信上限（Ucl=），条件方差（cev）的结果存入临时数据集work.out。后面整个data步的工作都是对结果数据集work.out进行数据加工，已获得以下数据：残差序列方差齐性假定下95%的置信下限：l95=-1.96*sqrt(51.42515);残差序列方差齐性假定下95%的置信上限：u95=1.96*sqrt(51.42515);残差序列条件方差假定下95%的置信下限：Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);残差序列条件方差假定下95%的置信上限：Ucl_GARCH

23、=1.96*sqrt(cev);条件方差假定下，序列的95%的置信下限Lcl_p=p-1.96*sqrt(cev);条件方差假定下，序列的95%的置信上限Ucl_p=p+1.96*sqrt(cev);分别绘制两种拟合效果图，图（19）是针对残差序列的波动性拟合情况，及在方差齐性和非齐两种假定下的置信区间，绘制命令如下：plot residual*t=2 l95*t=3 Lcl_GARCH*t=4 u95*t=3 Ucl_GARCH*t=4/overlay; 图（19） 残差序列在两种方差假定下的置信区间效果图图（21）是原序列的拟合情况，及在方差齐性和非齐两种假定下的置信区间，绘图命令如下：

24、plot x*t=5 lcl*t=3 LCL_p*t=4 ucl*t=3 UCL_p*t=4/overlay;图（21） 序列在两种方差假定下的置信区间效果图图中，中间的波动曲线为残差序列或原序列，虚线为根据无条件方差得到的95%置信区间，而实线为根据条件方差得到的95%置信区间。习题1data example5_1;input x;difx=dif(x);t=_n_;cards;304 303 307 299 296 293 301 293 301 295 284 286 286 287 284282 278 281 278 277 279 278 270 268 272 273 279 2

25、79 280 275271 277 278 279 283 284 282 283 279 280 280 279 278 283 278270 275 273 273 272 275 273 273 272 273 272 273 271 272 271273 277 274 274 272 280 282 292 295 295 294 290 291 288 288290 293 288 289 291 293 293 290 288 287 289 292 288 288 285282 286 286 287 284 283 286 282 287 286 287 292 292 29

26、4 291288 289;proc gplot;plot x*t;symbol v=star c=black i=join;proc gplot;plot x*t difx*t;symbol v=star c=black i=join;proc arima;identify var=x(1);estimate p=1;forecast lead=5 id=t;run;实验结果： 图1.1 序列时序图由时序图可知，该序列不平稳，是一个非平稳序列。 图1.2 序列difx时序图差分运算的实质是使用自回归方式提取确定性信息，因此用1阶差分对序列的信息提取。该时序图没有明显的非平稳特征。 图1.3 序

27、列difx模型拟合结果根据检验结果显示，该序列延迟各阶的P值都大于显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。图1.4预测结果由上图可得，预测该股票下一天的收盘价为288.6812。习题5data example5_1;input x;difx=dif(x);t=_n_;cards;22032360225421652024207822142292220721192119213721321955178517471818190919581892191918531868199121112119199118591856192418921916196819281898185

28、0184118241823184318801968202919961933180517131726175217951717164815121338138313441384148415971686170716401611163217751850180916531648166516271791;proc gplot;plot x*t difx*t;symbol v=star c=black i=join;proc arima;identify var=x(1);estimate p=1;forecast lead=7 id=t;run;实验结果：图5.1序列时序图由时序图可知该序列不平稳，即该序列

29、为一个非平稳序列。1阶差分序列时序图：图5.2序列difx时序图而差分运算能使用自回归方式提取确定性信息，因此对序列进行1阶差分运算，考察其1阶差分序列的平稳性。1阶差分序列值始终在0周围上下波动，即1阶差分序列平稳。白噪声检验结果如下：图5.3序列difx模型拟合结果根据检验结果显示，该序列延迟各阶的P值都大于显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。预测图：图5.4预测结果由上图可得，预测19391945年英国绵羊的数量分别为1851,1872,1879,1880,1879,1877,1875。习题六data example5_3;input x;t=_n_

30、;lagx=lag(x);cards;4.9955.035.035.255.265.35.455.495.525.75.685.655.86.56.456.486.456.356.46.436.436.446.456.486.46.356.46.36.326.356.135.75.585.185.185.175.155.215.235.054.654.654.64.674.694.684.624.634.95.445.566.046.066.068.078.078.18.058.068.078.068.118.610.81111119.489.188.628.38.478.448.448.46

31、8.498.548.548.58.448.498.48.468.58.58.478.478.478.488.488.548.568.398.899.919.899.919.919.99.889.869.869.749.429.279.268.998.838.838.838.828.838.838.798.798.698.668.678.728.7799.619.79.949.949.949.959.949.969.9710.8310.7511.211.411.5411.511.3411.511.511.5812.4212.8513.113.1213.113.1513.113.214.214.7

32、514.614.614.4514.514.815.8516.216.516.416.416.3516.113.713.51412.31214.3514.612.512.7513.713.4513.5512.6121111.612.0512.3512.712.4512.5512.212.111.1511.8512.112.512.912.513.213.6513.6513.513.4513.3514.4514.315.0515.5515.6514.6514.1513.312.6512.712.814.515.115.1514.314.2514.0514.715.0514.0513.813.251

33、312.8512.611.81312.3511.4511.3511.5510.8510.912.311.712.0512.312.913.0513.313.8514.6515.0515.1514.8515.715.415.114.815.815.81514.413.814.314.1514.4514.114.0513.7513.31312.5512.2511.8511.511.111.1510.710.2510.5510.2510.39.68.48.27.258.358.258.37.47.156.355.657.47.27.057.16.856.56.255.955.655.855.455.

34、35.25.555.155.45.355.15.86.356.56.958.057.857.758.6;proc gplot;plot x*t;symbol v=star c=black i=join;proc autoreg data=example5_3;model x=lagx/lagdep=lagx archtest;model x=lagx/lagdep=lagx noint garch=(p=1,q=1);output out=out p=xp;proc gplot data=out;plot x*t=2 xp*t=3/ overlay;symbol2 v=star i=none

35、c=black;symbol3 v=none i=join c=red w=2;run;实验结果;得到序列时序图如下：图6.1序列时序图结果显示该序列不平稳。图6.2DW检验结果根据时序图用延迟因变量auto-regressive模型对该序列进行拟合，并进行异方差分析。Durbin h统计量的的P值小于显著性水平0.05，因此残差序列为非白噪声序列，存在着相关性，需要继续对残差序列进行自回归拟合。异方差检验结果如下：图6.3异方差检验结果Q统计量检验和LM检验结果显示，除延迟1阶不存在异方差外，其它延迟各阶都显示残差序列vt具有显著的异方差自相关性，而且具有长期自相关性，因此用GARCH模型进行序列的拟合。参数估计结果如下：图6.4参数估计结果结果显示常数项不显著，因此去除常数项进行拟合。GARCH(1,1)模型最终拟合结果：图6.5模型最终拟合结果结果显示，参数ARCH1,GARCH1不显著，所以最终拟合模型为：Zt=0.9995zt-1+vt;vt=h1/2et;ht=