1、第3章综合素质检测

1、第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知二次函数yax2(a21)x在x1处的导数值为1，则该函数的最大值是()A. B. C. D.答案B解析y2axa21，y|x12aa211，a22a0，a0或a2，又a0，a2，y22，函数的最大值为，故选B.2曲线yx3的切线中斜率等于1的直线()A不存在B存在，有且仅有一条C存在，有且恰有两条D存在，但条数不确定答案C解析y(x3)3x2，令3x21，得x，切点为或，故选C.3若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方

2、程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析考查斜率与导数及直线方程基本知识因为y4x3，由y4得x1.而x1时y1，故l方程为4xy30.4已知函数yf(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2，则该函数的单调减区间为()A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)答案B解析由导数几何意义知，在(，2上f(x)0，故单调递减5函数f(x)x33x23x的单调区间为()A(，) B(，1)C(0，) D(1，)答案A解析f(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20对xR恒成立，所以f(x)x33x23x在R上为增函数，故选

3、A.6若对于任意x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数为()Af(x)x4 Bf(x)x42Cf(x)x41 Df(x)x42答案B解析把答案代入验证，排除A、C、D，故选B.7已知抛物线y2x2bxc在点(2，1)处与直线yx3相切，则bc的值为()A20 B9 C2 D2答案C解析由题意得y|x21，又y4xb，42b1，b9，又点(2，1)在抛物线上，c11，bc2，故选C.8已知f(x1)2x2x，则f(x)等于()A4x3 B4x1C4x5 D4x3答案A解析f(x1)2x2x，令x1t，则xt1，f(t)2(t1)2(t1)2t23t1，f(x)2x23x1，f(x)4x3，故

4、选A.9已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在x(，)是增函数，则m的取值范围是()Am4 B4m2C2m0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，令f(x)0得xa或xa，令f(x)0得ax0，2a3a0，当xa时，f(x)取极小值f(a)a2a3，由题意得a2a30，12a2.14若函数f(x)的单调增区间为(0，)，则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)a，由题意得，a0，对x(0，)恒成立，a，x(0，)恒成立，a0.15曲线yx32在点处的切线的倾斜角为_答案135解析y|x11，所以k1，即倾斜角

5、为135.16函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_答案2,1)解析由于f(x)x21.易知(，1)上递减，在1,1上递增，1，)上递减故若函数在(a,10a2)上存在最大值条件为所以2a0时，列表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)增极大值b减由上表知，f(x)在1,0上是增函数，f(x)在0,2上是减函数且当x0时，f(x)有最大值，从而b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，a0，f(1)f(2)，从而f(2)16a329，a2.(2)当a0时，用类似的方法可判断当x0时，f(x)有最小值，当x2时，f(x)有最大值，从而f(0)b29，f(2)

6、16a293，得a2.综上，a2、b3或a2、b29.19(本题满分12分)已知函数f(x)x3(a1)x2bx(a，b为常数)在x1和x4处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x2,2时，yf(x)的图象在直线5x2yc0的下方，求c的取值范围解析(1)f(x)x2(a1)xb.由题设知解得所以f(x)x3x24x.(2)由题设知f(x)x35x213x.设Q(x)x35x213x，x2,2，所以c只要大于Q(x)的最大值即可Q(x)2x210x13，当x(2,2)时Q(x)0.所以Q(x)maxQ(2)，所以c.20(本题满分12分)(2010陕西文，21)已知函数f(x)，g(

7、x)alnx，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程解析本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2)21(本题满分12分)已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m、nR，m0.(1)求m与n的关系表达式(2)求f(x)的单调区间解析(1)f(x)3mx26(m1)xn，x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一

8、个极值点，f(1)0，3m6(m1)n0，n3m6.(2)函数f(x)的定义域为R，f(x)3mx26(m1)xn3mx26(m1)x3m63(x1)mx(m2)3m(x1)3m(x1).m0，10，得3m(x1)0，(x1)0，1x1，故函数f(x)的单调增区间为，令f(x)0，得3m(x1)0，x1或x1，故函数f(x)的单调减区间为和(1，)22(本题满分14分)若t为大于2的常数，求函数f(x)x33x在区间2，t上的最值解析对f(x)求导，得f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在区间2，1，(1，)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减当t(2，1)时，f(x)在区间2，t上单调递增所以f(x)minf(2)2，f(x)maxf(t)t33t.当t1,1时，f(x)在(2，1)上单调递增，在(1，t)上单调递减由f(t)f(1)2f(2)知f(x)minf(2)2，f(x)maxf(1)2.当t(1，)时，f(x)在区间(2，1)上递增，在区间(1,1)上递减，在(1，t)上递增，所以f(x)的最小值为f(2)，f(1)中较小者因为f(2)f(1)2，所以f(x)min2.令f(t)2，即t33t20，据f(1)2知t1是式的一个根所以t33t2(t1)(t2t2)(t1)2(t2)，所以t2也为式的根，即f(2)2.由f(x)的单调性知，当t