2020学年四川省绵阳市高考二诊数学理

1、2020年四川省绵阳市高考二诊数学理一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.已知集合A=xZ|x2，B=x|(x-1)(x-3)0，则AB=( )A.B.2C.2，3D.x|2x3解析：集合A=xZ|x2，B=x|(x-1)(x-3)0=x|1x3，则AB=2.答案：B.2.若复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位)，则z的虚部为( )A.B.C.D.解析：由(1+i)z=i，得，则z的虚部为：.答案：A.3.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A.25B

2、.20C.12D.5解析：初级教师80人，抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为80200n50，解得n=20，即初级教师人数应为20人，答案：B.4.“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直，则：a(a-1)+(a-1)(2a+3)=0，解得：a=1或-1，故“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(

3、2a+3)y-3=0垂直”的充分不必要条件.答案：A.5.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A.30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元解析：设该公司投资成功的各数为X，则XB(3，).该公司三个投资项目获利的期望= (20-5)=22.5万元.答案：B6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于( )A.

4、2B.3C.4D.5解析：当n=1时，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4.答案：C.7.若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是( )A.19B.27C.28D.37解析：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，

5、119，191，有18个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28.答案：C.8.过点P(2，1)的直线l与函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=( )A.B.C.5D.10解析：，函数的图象关于点P(2，1)对称，过点P(2，1)的直线l与函数的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P(2，1)对称，则，则.答案：D.9.已知cos，sin是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点，则sin2=( )A.B.C.D.解析：cos，sin是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两

6、个零点，sin+cos=t，sincos=t，由sin2+cos2=1，得(sin+cos)2-2sincos=1，即t2-2t=1，解得t=，或t=(舍).sin2=2sincos=2t=.答案：A.10.设F1，F2分别为双曲线C：(a0，b0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2C.D.解析：设M(x，)，由题意，|MO|=c，则x=a，M(a，b)，AMN的面积为，4a2(c2-a2)=c4，e4-4e2+4=0，e=.答案：D.11.已知点P(-2，)在椭圆C：(ab

7、0)上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是( ) A.13B.14C.15D.16解析：由题意，以OP为直径的圆的方程为.与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为，令y=0，可得x=-1，c=1，a2=8，b2=7，a2+b2=8+7=15，答案：C.12.已知f(x)=ex，g(x)=lnx，若f(t)=g(s)，则当s-t取得最小值时，f(t)所在区间是( )A.(ln2，1)B.(，ln2)C.()D.解析：令f(t)=g(s)=a，即et=lns=a0，t=lna，s=ea，s-t=ea-lna，(a0)，令h

8、(a)=ea-lna，y=ea递增，递减，故存在唯一a=a0使得h(a)=0，0aa0时，h(a)0，aa0时，h(a)0，h(a)min=h(a0)，即s-t取最小值是时，f(t)=a=a0，由零点存在定理验证的根的范围：时，a0=ln2时，故a0(，ln2)，答案：B.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. 的展开式的常数项为_.解析：由于，故展开式的常数项为-10-1=-11.答案：-11.14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为_.解析：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，

9、至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，至少有1人能译出密码的概率：.答案：.15.已知直线mx-y+m+2=0与圆C1：(x+1)2+(y-2)2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：(x-3)2+y2=5上的动点，则PAB面积的最大值是_.解析：由题意，直线恒过定点(-1，2)，即C1圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mx-y+m+2=0的最大距离为，P到直线mx-y+m+2=0的最大距离为，PAB面积的最大值是.答案：.16.已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P(-1，0)作斜率为k(k0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若，

10、则k=_.解析：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得.由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，|BF|=x2+1=|MF|，(y1+y2)2=20y1y2，由，可得ky2-4y+4k=0，y1y2=4，k0，.答案：.三、解答题(共5小题，满分60分)17.数列an中，an+2-2an+1+an=1(nN*)，a1=1，a2=3.(1)求证：an+1-an是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.解析：(1)令cn=an+1-an，通过cn+1-cn=1，说明an+1-an是以2为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知cn=n+1，求出an，化简.利用裂项求和求解即可.答案：

11、(1)证明：令cn=an+1-an，则cn+1-cn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=1(常数)，c1=a2-a1=2，故an+1-an是以2为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知cn=n+1，即an+1-an=n+1，于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1= ，故.=.18.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc，C=2A.(1)若，求角A；(2)是否存在ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求ABC的周长；若不存在，请说明理由. 解析：(1)由正弦定

12、理有，又C=2A，利用倍角公式可求，结合sinA0，可得，即可得解A的值.(2)设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*.由已知利用二倍角公式可求，由余弦定理得，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求ABC的周长.答案：(1)，由正弦定理有.又C=2A，即，于是，在ABC中，sinA0，于是，.(2)根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*.由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，.由余弦定理得，代入a，b，c可得：，解得n=4，a=4，b=5，c=6，从而ABC的周长为15，即存在满足条件的ABC，其周长为15.19. 2020年下半年，锦阳市教体局举行了市教

13、育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A5平均身高x(单位：cm)170174176181179平均得分y6264667068(1)根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；(系数精确到0.01)(2)若M队平均身高为185cm，根据(1)中所求得的回归方程，预测M队的平均得分(精确到0.01)注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.解析：(1)求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；(2)当x=185代

14、入回归直线方程，即可预测M队的平均得分.答案：(1)由已知有=176，=66，y=0.73x-62.48.(2)x=185，代入回归方程得y=0.73185-62.48=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57.20.已知椭圆C： (ab0)的右焦点F(，0)，过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1，0)的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=-1上，若NPQ是等边三角形，求直线l的方程.解析：() 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2-b2=6.把x=c代入椭圆的标准方程可得：，即，联立解出即可得出. ()设直线PQ：x=ty+1，P

15、(x1，y1)，Q(x2，y2).联立直线与椭圆方程可得：(t2+4)y2+2ty-7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出.答案：()设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2-b2=6.把x=c代入椭圆的标准方程可得：，整理得，解得，即a2=2b4，2b4-b2-6=0，解得b2=2，或(舍去)，进而a2=8，椭圆C的标准方程为.()设直线PQ：x=ty+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).联立直线与椭圆方程：，消去x得：(t2+4)y2+2ty-7=0，.于是，故线段PQ的中点.设N(-1，y0)，由|NP|=|NQ|，则kNDkPQ=-1，即，整

16、理得，得N(-1，).又NPQ是等边三角形，即，即，整理得，解得t2=10，t=，直线l的方程是xy-1=0.21.已知函数(mR)的两个零点为x1，x2(x1x2).(1)求实数m的取值范围；(2)求证：.解析：(1)求导数，分类讨论，利用函数(mR)的两个零点，得出，即可求实数m的取值范围；(2)由题意方程有两个根为t1，t2，不妨设，要证明，即证明，即证明h(t1)h(-t2).令(x)=h(x)-h(-x)，证明(x)0对任意x(0，)恒成立即可.答案：(1).m0，f(x)0，f(x)在(0，+)上单调递增，不可能有两个零点；m0，f(x)0可解得x2m，f(x)0可解得0x2m，f

17、(x)在(0，2m)上单调递减，在(2m，+)上单调递增，由题意，0m；(2)证明：令t=，由题意方程有两个根为t1，t2，不妨设，.令h(t)=，则h(t)=，令h(t)0，可得0t，函数单调递增；h(t)0，可得t，函数单调递减.由题意，t1t20，要证明，即证明，即证明h(t1)h(-t2).令(x)=h(x)-h(-x)，下面证明(x)0对任意x(0，)恒成立，x(0，)，-lnx-10，(x)在(0，)上是增函数，(x)()=0，原不等式成立.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C的参数方程是(为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P(0，2)，

18、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.解析：(1)消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2)将直线l 的方程化为普通方程为.设Q(cos，sin)，则M，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.答案：(1)消去参数得，曲线C的普通方程得.(2)将直线l 的方程化为普通方程为.设Q(cos，sin)，则M，最小值是.选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|x-1|+|x-t|(tR)(1)t=2时，求不等式f(x)2的解集；(2)若对于任意的t1，2，x-1，3，f(x)a+x恒成立，求实数a的取值范围.解析：(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题等价于af(x)-x，令g(x)=f(x)-x，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可.答案：(1)当t=2时，f(x)=|x-1|+|x-2|，若x1，则f(x