《等差数列》教学设计

1、等差数列教学设计教学内容分析本节课是第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前起后的作用，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓展。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想” “类比” 的思想方法。学生学习情况分析经过前边几个模块的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣不是太浓，所以在授课时注重从具体实例出

2、发，注重引导，启发，研究和探讨以符号这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。设计思想1教法（1） 诱导思维法；这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。（2） 分组讨论法；有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。（3） 讲练结合法；可以及时巩固所学知识，抓住重点，突破难点。2 学法 引导学生首先从现实问题（数数问题，女子举重奖项设置问题，水库水位问题，储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念，接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的学生引导认识多元的推导思维

3、方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想，探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题搞清。教学目标通过本节课的学习使学生能够理解并掌握等差数列的概念，能用定义判定一个数列是否是等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，并在此过程中培养学生观察，分析，归纳，推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识，方法迁移能力；通过阶梯性学习，提高学生分析问题和解决问题的能力，在解决问题的过程中培养学生主动探索，勇于发现的求

4、知精神；使学生认识事物变化的形态，养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维习惯，并通过一定的实列激发同学们的民族自豪感和爱国热情。S教学重点和难点重点（1） 等差数列的概念。（2） 等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点（1） 理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。（2） 理解等差数列是一种函数模型教学过程情景设计和学习任务1上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长，教育贷款，存款利息等等这些大家以后会接触的比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。由学生观测分析并得出答案在现实生活中我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到

5、数列0 5 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位;m）48, 53, 58, 63 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，要定期放水清理水库的杂鱼，如果一个水库的水位定位18厘米，自然放水每天水位降低2.5厘米，最低降到5厘米，那么从开始放水开始算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位；米）18 5.5 13 10.5 8. 5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单位，即不把利息加入本金计算下一期的利息，按照单利计算本利和的公式是；本利和=本金·（1

6、+利率·存期）时间年初本金（元）年末本利和（元）第一年10 00010072第二年10 00010144第三年10 00010216第四年10 00010288第五年10 00010360个年末的本息和（单位；元）组成了数列；10072 10144 10216 10288 10360。学生活动；通过上述事例，学生观测，分析，发表各自的意见设计意图；引向课题。情景设计和学习任务2思考；同学们观察一下上面的这四个数列0 5 10 15 20 .48 53 58 6318 15.5 13 10.5 8 5.510072 10144 10216 10288 10360观察分析并得出答案引导学

7、生观察项邻两项的关系，得到；对于数列（1），从第二项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列（2），从第二项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列（3），从第二项起，每一项与前一项的差都等于2.5；对于数列（4），从第二项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第二起，每一项与前一项的差都等于同一个常数；既每个都具有相邻两项的差为同一个常数的特点。设计意图通过分析，激发学生学习探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们分析等差数列的特点，尝试着给等差数列下个定义。等差数列；一般的，如果一个数列从第2

8、项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做这个数列的公差，公差常用字母d来表示，那么对于上面四个数列，他们的公差分别三5 ，5 2.5， 72。思考1；下列数列有什么什么特点？（1） 2 ， 4 ，6 （2） 3 ， 5， 7思考2 如果在a和b中间插入一个数A，使a ,A, b成等差数列，那么A应满足什么条件？设计意图 思考（1）的目的引导学生进一步认识等差数列的概念，观察发现中间一项是前后两项的算术平均数这一特点，为引出等差中项的感念作好了铺垫。 思考（2）目的是；由学生根据等差数列的定义，推出Aa=bA从而得A=通过两个思考，让学生参与到知识的形成过程

9、中，获得数学学习的成就感，从而引出等差中项的概念；由三个数a A b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这是，我们把A叫做a和b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第二项起，每一项都是它的前一项和后一项的等差中项。如 1 3 5 7 9 11 13 其中5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项。由此得到a+a= a+a 从而得到；在一个等差数列a, a, a a中，如果m+n=p+q，那么，a+a=a+a. 通过以上设计，引领学习更深入的探究，提高学生学习的水平，也培养学生在认识问题时，由特殊到一般，由具体到抽象的思维习惯。情景设计和学习任务3思考；对于以上的等差数列，我们能不能用

10、通项公式将它们表示出来呢？看上面的实例，它们的通项公式为（1） a=0+5(n1) （2） a=48+5(n1) （3） a=182.5(n1) （4） a=10072+72(n1) 发现；它们的首项为0， 48，18，10072，公差为5，5，2.5，72。所以可以猜测，等差数列的通项公式为a=a+ (n1)d上面的通项公式是否对任意等差数列都成立呢？设计意图；通过对实例的分析，找出等差数列通项公式的特征，进而引导学生探索公式的证明。 证明；对于等差数列 a a a a,依据等差数列的定义知 a a = d a a = da a = da a = d 相加得 a=a+ (n1)d等差数列通项

11、公式的说明（1）；四个量，其中a，d为基本量，根据等式，知三求一。（2）a随n的变化而变化，是一次函数的关系，它的图象是由点构成的。例1 （1）求等差数列8，5，2 的第20项。（2）401是不是等差数列5，9，13 的项？如果是，是第几项？分析；（1）要求出第20项，可以利用通项公式求出来，首项知道了，还需要知道该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差。（2）这个问题可以看成是上面那个问题的逆问题，要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项是否有成立。由学生完成例题的解答过程（1） 由a=8, d=58=3,n=20,得a=8+(201)

12、5;(3)=49;（2） 由a=5, d=9(5)=4,得这个数列的通项公式，a=a+ (n1)d=4n1，由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得401=4n1成立。解得n=100。例题评述；从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。情景设计和学习任务4随堂练习；课本练习第一题设计意图；讲练结合，有利于提高学生的知识应用水平。例2；某市出租车的计价标准为1.2元/千米，既最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人乘座该市

13、的出租车前往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少费用？解；根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1千米，乘客需要支付1.2元，所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费。令 a=11.2，表示4千米处的车费，公差d=1.2，那么当车行至14千米时，n=11，此时需要支付车费为23.2（元）。答；需要支付车费为23.2（元）意图；将所学知识应用到实际生活中去，加深对概念的理解。课堂练习；练习；第二题设计意图；讲练结合，有利于提高学生知识的应用水平。例3；已知数列a的通项公式为a=pn+q,其中p，q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？设计意图；培养学

14、生分析问题的能力，给出判断数列是不是等差数列的方法。实施时，可以分小组讨论，给出解决的方法，也是培养学生合作学习的习惯。解；利用定义给出判定a=pn+qa=p(n1)+qaa=( pn+q)p(n1)+q =p这是一个与n无关的数所以，数列an是等差数列反思例题；这个数列的首项a=p+q,公差d=p.由此我们可以知道对于通项公式是形如a=pn+q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.同时，如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。情景设计和学习任务5思考；通过上面的反思，你认为等差数列的通项公式与一次函数有这怎样的关系呢？具

15、体为1在直角坐标系中，画出通项公式为a=5n+2的数列图象，这个图象有什么特点？2在同一坐标系中，画出函数y=5x+2的图象，你发现了什么？设计意图；通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。分析；1为正整数，当取1，2，3，4时，对应的a可以利用通项公式求出，经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立的点；2画出函数y=5x+2的图象是一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是该一次函数当在正整数范围内取值时相应点的集合.知识点小结1 等差数列的定义；一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做这个数列的公差。数学表达式；aa= d2 等差数列的通项公式；a=a+ (n1)d。作业设计；