线性有限元法的稳定性和误差估计【开题报告】

1、开题报告信息与计算科学线性有限元法的稳定性和误差估计一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义每一项新技术的推出都是由于时代的迫切需要，而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验.在上个世纪40年代，由于航空事业的快速发展，对飞机内部结构设计提出了越来 越高的要求，即重量轻、强度高、刚度好 ，人们不得不进行精确的设计和计算.正是在这一背景下，有限元分析的方法逐渐的发展起来 .早期的一些成功的实验求解方法与专题论文，完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献,首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的,文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解

2、，由于当时计算机尚未出现，这篇论文并没有引起应有的注意.1956年，M.J.Turner （波音公司工程师）,R.W.Clough （土木工程教授），H.C.Martin （航空工程教授）及L.J.Topp （波音公司工程师）等四位共同在航空科技期刊上 发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文，文中把这种解法称为刚性法（Stiffness）, 一般认为这是工程学界上有限元法的开端.1960年，Ray Clough教授在美国土木工程学会（ASCE）会议上，发表一篇名为The Finite Element in Plane Stress Analysis 的论文， 将应用范围扩展到飞机以外之

3、土木工程上，同时有限元法（Finite Element Method）的名称也第一次被正式提出.由此之后，有限元法的理论迅速地发展起来，并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题，成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段.并且随着计算机的迅速发展，有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成.因此，可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展1,2 .我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分 原理），冯康（有限单元法理论）.遗憾的是由于当时环境所致，我

4、国有限元方法的研究工 作受到阻碍，有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离.20世纪60年代初期，我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域.当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法-应力设计法”；而在70年代初期，钱令希教授提出了 结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”.这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向.1964年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序，解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题.20世纪60年代到70年代，国内的有限元方法及有限元软件诞生之后，曾计算过数十个大型工程，应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多

5、个领域3,4.本文的主要工作首先是讨论两点边值问题2, d / du、Lu (p ) qu f (x), a x b, dx dx u(a) 0, u (b) 0,其中f(x) C(I),1p C (I ), p(x)Pmin 0,q C(1)，q(x) 0.使用有限元方法求解的稳定性.这一部分，可以参考文献5,6,将上述问题变成等价的变分问题相应的矩阵表达形式AU b,我们可以讨论对有限元方程AU b的系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响，特别地，当A对称时，取cond(A) Umax-,我们有结min2 .论7：存在正常数C,使得cond(A) Chmin , h为剖分单元的步长.我们

6、还可以对上述两点边值问题，讨论其有限元解法的收敛性，参考文献7,可得该问题的变分形式即为求线性有限元解uh(x) V-HE(I),使a(uh,Vh) (f, Vh),Vh Ve ,其中3 duh dVha(uh,Vh)(p quhVh)dx,a dx dxb(f ,Vh)f Vhdx.a我们可以得到正交投影性质a(u uh,Vh) 0, Vh Ve , 以及最佳逼近性质U Uh 1 inf u Vh ,Vh V0h其中2u(x) Uh(x) 12U(x) Uh(x) l,ek12U(x) Uh(x) i,eke(U (x)22Uh(x)(u(x) Uh(x) dx,参考文献7,我们还可以得到U

7、 Uh 1 c U Ui 1，Ui (x) VE ,为u(x)的分段线性插值多项式，即满足插值条件Ui(xk)u(xk), k 0(1)n,的范数于是，我们可以得到线性有限元解函数uh(x)与真解函数u(x)之间的误差在空间H意义下有如下误差估计式8,9U Uh1 C u UI 1 Chu 0,其中|u |0 (u (x)2dx,利用Nitsche技巧，可得误差估计式 aUUh0Ch2U 0.二、研究的基本内容，拟解决的主要问题研究的基本内容：线性有限元方法的稳定性、误差估计解决的主要问题：1 .极小值问题，线性方程组的求解问题以及线性有限元方法的稳定性讨论2 .广义函数与Sobolev空间的

8、有关知识的准备.3 .线性有限元方法的误差估计.三、研究步骤、方法及措施研究步骤：1 .查阅相关资料，做好笔记；2 .仔细阅读研究文献资料，学习函数凸性在不等式中的应用过程，整理文献综述3 .翻译英文资料，修改英文翻译，撰写文献综述；4 .在老师指导下，确定整个论文的思路，列出论文提纲，撰写文献综述；5 .开题报告通过后，撰写毕业论文；6 .上交论文初稿7 .反复修改论文；8 .论文定稿.方法、措施：通过指导教师的授课与课后指导 ，掌握论文撰写的基本材料，加强同组同 学的相互讨论和研究，并有效的利用图书馆以及网络文献等资源，反复推敲，积极思考，每周保持与指导教师的邮件交流 ，充分发挥自己的主动

9、性来解决问题 .四、参考文献1 R. A. Adams. Sobolev spaces M. Academic Press, New York, 1975.2李荣华.偏微分方程数值解法M.北京：高等教育出版社，2005.3冯康.基于变分原理的差分格式.应用数学与计算数学,1965, 2(4):237261.4夏道行，吴卓人，严绍宗等.实变函数论与泛函分析M.北京：高等教育出版社，1985.5 Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for generalsecond elliptic problems, NM for PDE, 2002, 693708.6舒适.偏微分方程典型离散化方法白基本理论与算法分析.内部讲义，2007, 568