概率论与数理统计知识点总结材料

1、实用文案第1章 随机事件及其概率(1)排列组合公式Pm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n)!一 nm!, Cm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m n)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来元成，则这件事可由 m+n 种方法来元成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：m xn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m xn种方法来完成。(3) 一些常见排列重复排列和非重复排列(后序)对立事件(至少有一个)顺序问题(

2、4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本 空间和事件在一个试验下，不管事件宿多少个， 总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。标准文档实用文案基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，匕

3、们是的子集。为必然事件，？ 为不可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率为 1 ,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必启事件B发生)：A B如果同时有 A B, B A,则称事件 A与事件B等价，或称 A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件， 称为A与B的差，记为A-B ,也可 表小为A-AB或者AB ,匕表小A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B,或者AB。A B=?，则表示 A与B

4、不可能同时发 生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互小相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 Ao它表示A不发 生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A UC)A(BUC) (A U B) AC=(AC) U (BC)AiAi _ _ _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A),若满 足卜列三个条件：标准文档实用文案的公理化定义1 ° 0WP(A)W1,2 P(Q) =13°

5、对于两两互不才目容的事件A, A2,有P AiP(Ai)i 1i 1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1 1，2n ，12 P( 1) P( 2)P( n) 一。n设任一事件A,它是由1, 2m组成的，则有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P(A) 上”。其中L为几何度量(长度、面积、体积) 。 L()(10 )加法

6、公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 AB 不相容 P(AB) =0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(11 )减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时,P( B )=1- P(B)(12 )条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0 ,则称P(AB)为事件A发生条件下，P(A) P(AB)事件B发生的条件概率，记为 P(B/A) ()。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。标准文档实

7、用文案例如 P( Q/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)(13 )乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一> 地，对事件 A1 , A2,An,若P(A1A2An-1 )>0 ,则有P(A1A2 An)P(A1)P(A21 A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2 .An 1)o(14 )独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) °,则有P(AB) P(A)P(B)P(B|A) 4-；人/P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到 其与B、A

8、与B、区与后也都相互独 立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15 )全概公式设事件B1，B2，Bn满足B1，B2， iBn相容，P(Bi) 0(i 12 ,n), n ABi2i 1,则有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A | Bn)。全概率公式解决的是多个原因造成的结

9、果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；(16 )贝叶设事件B1, B2,，Bn及A满足标准文档实用文案斯公式1 ° Bi, B2,，Bn 两两互不相容，P(Bi)>0, i 1,2,，n, nABi2 i i P(A) 0则P(B"A)P(Bi)P(A/Bi)nP(Bj)P(A/Bj)j i此公式即为贝叶斯公式。P(BJ,(i 1 , 2,，n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i 1,2, n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果

10、求在第二步某事件发生 条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。我们作了门次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；门次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与(17)禾IJ概型否是互不影响的。伯努这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验a发生的概率，则又发生的概率为1 p q,用“卜)表示n重伯努利试验中 A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) C：pkqnk, k 0,1,2, ,no标准文档实用文案第二章随机变量及其分布(1)离设离散型随机变量 X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取

11、各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为散型随机P(X=x k)=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形变量的分式给出：布律X| X1,X2, xk,P(X Xk) 1 P1, P2, , pk, O显然分布律应满足下列条件：pk 1(1) pk 0 , k1，2，,(2) k 1。(2)连设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数x,有XF(x)f (x)dx续型随机则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概变量的分率密度。密度函数具有卜面 4个性质：年密度1、f(x) 0。f(x)dx

12、 12、。x23、P(x1 X x2) F (x2) F(x)f (x)dxx14、P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0标准文档实用文案(3)离散与连续P(X x) P(x X x dx) f(x)dx型随机变型随机变量理论中所起的作用相类似。量的关系积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散设X为随机变量，x是任意实数，则函数布函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8, x内的概率。分布函数

13、具有如下性质:0 F(x) 1,F(x)是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F (x1) F (x2)；F() xlim F(x) 0,F( ) xim F(x) 1；F(x 0)F(x),即F(x)是右连续的;P(X x)F(x)F(x 0)。对于离散型随机变量,F(x)Pk ；4 x对于连续型随机变量,F(x)xf(x)dx 。(5)八0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q标准文档实用文案大分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为 p。事件A发生的次 数是随机变量，设为 X ,则X可能取值为0,1,2, , n。P(X k)Pn(k) C：pkqnk,其中q 1 p

14、,0 p 1, k 0,1,2, ,n,则称随机变量 X服从参数为n , p的二项分布。记为X B(n, p)。 k 1 k当 n 1 时，P(X k) pkq , k 0.1,这就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量 X服从参数为的泊松分布，记为 X - ()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布( np=入，n-8)。几何分布k 1.P(X k) q p,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p 。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。标准文档实用文案均匀分

15、布设随机变量 X的值只落在a, b内，其密度函数 f(x)在a, b上，一 1 为常数，即b a1.1a< x< bf(x)ba'0其他，则称随机变量 X在a, b上服从均匀分布，记为 XU(a , b)。 分布函数为0,x<a,x ab b aa< x< bxF(x)f(x)dx1)x>b。当aWxi<x2Wb时，X落在区间(x1 ,x2)内的概率为_x2 x1P(x1X x2)1 ob a指数分布xe e ,x 0,f(x) nI 0,x 0,其中0,则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为xJ 1 e，x 0,F(x) 1 0

16、工 0，x<0。记住积分公式：xne xdx n!0标准文档实用文案正态分布设随机变量X的密度函数为1(;7f (x) -,- e,X,万其中、0为常数，则称随机变量 X服从参数为、 的2正态分布或高斯(Gauss )分布，记为 X N(，)。f (x)具有如下性质：1 ° f(x)的图形是关于x 对称的；1一 一2 当x 时，f( )为最大值；V -2/2、”'2若X N (，)，则X的分布函数为1 x (t )2F(x) L e 2 2 dt参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0)1，其密度函数记为(x)星 ,x,分布函数为1 x -(x)e 2 d

17、t。<2(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 C1(-x) = 1-(x)且(0)=一。力田2 I如果 X N(,)，则N(0,1)。x2x1P(x1X x2)。(6)分位数下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。(7)函数的分布函数离散型已知X的分X布列为x1, x2, xn,P(X xi)Y g(X)白Yp1, p2, pn,勺分布列(yi g(K)互不相等)如下： g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yi) 若后某些g (Xi)p>1,等，喻应将对,应由孰pi相加作为g(xi)的概率。标准文档实用文案连续型，；6人匕 £ y = &q

18、uot;W(x)，y= f A<a)c<v利用 >'=岸(*)的分布函数与寄度函数之间的 关系求Y需僚函教先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) =P(g(X) <y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。(2)定理法：当Y=g(X)严格单调并且可导时：八气。，其七.其中h ' (y)是g(x)的反函数标准文档实用文案第三章二维随机变量及其分布(1)联合离散型如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为至多用列分布个启序对(x,y),则称为离散型随机量。设 =(X, Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i,j 1,2,),且事件=

19、3，yj)的概率为pj,称P(X,Y) (Xi,yj) pj(i, j 1,2,)为 =(X, Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjX1pnp12p1jX2p21p22p2jXipi1pu这里pij具有下面两个性质:(1) pij>0 (i,j=1,2,);pj1.标准文档实用文案连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f (x, y)(x,y),使对任个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D , 即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D则称为连续型随机向量；

20、并称 f(x,y)为=(X, Y)的分布密度或称为X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：(1) f(x,y) R;(2) f(x,y)dxdy 1.(2)二维随机变量的本质(X x,Y y) (X x Y y)标准文档实用文案(3)联合分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) P(X x,Y y)称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y)的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)

21、0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分别对x和y是非减的，即当 x2>x 1 时，有 F (x2,y) >F(x1,y);当 y2>y 1 时，有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,)F(, y) F(x, ) 0, F( ,) 1.(5)对于 xx2, y1 、2>P(x 1<xWx2,y1<y Wy2)=F(x2,'讣F(x2,y1)F(x1，丫2)F(x1，y1)0(4)离散型与连续型的关系

22、P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为Pi?P(Xx)Pij(i,j1,2,);Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。标准文档实用文案连续型X的边缘分布密度为fx(x)f(x,y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y)f (x, y)dx.(6)条件分布离散型在已知X=x i的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj|X 为)j Pi?在已知Y=yj的条件下，x取值的条件分布为PijP(Xxi|Y yj),P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)乎空 fY(y)在已知

23、X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)色尸 fX(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=F X(x)FY(y)离散型Pij Pi?P?j后零不独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形标准文档实用文案二维止态分布221x 12 (x 1 )(y 2) y 212(12 )11 22f (x, y) .e,21 2 J12=0随机变量的函数若X1,X2，Xm,Xm+1，Xn相互独立,h,g为连续函数，则：h (X1, X2,Xm)和 g (Xm+1，Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若 X与丫独

24、立，则：3X+1和5Y-2独立。标准文档标准文档实用文案(8)二维均匀分布记为(X, Y)实用文案(9)二维正态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为2 八，、，、21x i2 (x i)(y2) y 212(12)i1 22f(x，y),2e,21 2 q11其中1, 2, 1 Q 20,1 | 1是5个参数，则称(X, Y)服从二维止态分布，22、记为(X, Y) N ( 1, 2, 1 , 2 ,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，一2- -一2即 XN ( 1, 1),Y N( 2, 2). 2. . .2但是若XN ( 1, 1),YN( 2

25、, 2), (X, Y)未必是二维止态分布。(10 )函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fZ(z) = f (x, z x)dx.- 一一22两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12, 12)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。222Ci i,2Ci2 i2Z=max,min(X 1,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x), Fx2 (x)F% (x),则 Z=max,min(X1,X2，Xn)的分布函数为：Fmax(x)FxJX)?Fx2(X) F%(x)Fmin(x) 1 1 Fxi(X)?

26、1 Fx2 (X)1 F/X)标准文档实用文案第四章随机变量的数字特征一维 随机 变量 的数 字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为 P( X Xk )= pk,k=1,2,n ,n E(X)Xk Pkk 1(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),E(X) xf (x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X) nE(Y)g(Xk)Pkk 1Y=g(X)E(Y) g(x)f (x)dx力差D(X)=EX-E(X)2,标准差(X)<Dcxy_2D(X)Xk E(X) Pkk2D(X) x E(X)2 f(x)dx标准文档实用文案(2)(1)

27、 E(C)=C期望的性质(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(GXj)GE(Xj)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X 和 Y独立；充要条件：X和丫不相关。(3)方差的性质(1) D(C)=0 ; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X 2)-E2(X)(5) D(X 分尸D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和丫不相关。D(X ±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。期望方差标准文档实用文案0-1分布B(1, p)pp(1 p)二项分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()(4)几何