数值计算方法精彩试题集和问题详解1_62

1、word计算方法期中复习试题、填空题:f(1) 1.0, f(2) 1.2, f(3) 1.3,如此用辛普生辛卜生公式计算求得31 f(x)dx,用三点式求得f (1)2、f1，f(2) ，f(3) 1 ,如此过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多项式为答案：-1 ,L2(x)11” 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) -(x 1)(x 2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 ) 位有效数字;4、设f (x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()xn f(xn)xn 1 xn答案1 f(xn)5、对 f(x) x改写为 正001 J礴。1 / 16

2、 x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),f0,1,2,3,4 ( o );6、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差；7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a, b)的根时，二分 n次后的误差限为8、f(1) =2, f(2) =3, f(4)= 5.9,如此二次Newton插值多项式中x2系数为()11、两点式高斯型求积公式10 f(x)dx-(-31f ()2" 3)，代数精度为(5 );346y 10 2312、为了使计算x 1 (x 1) (x 1)的乘除法次数尽量地少，应将该表达1y 10 (3 (4 6t)t)t,t式改写为x 1,为了减少舍入误差，

3、应将表达式，2001 V1999word13、用二分法求方程f(x)x3 x 1 0在区间0,1的根，进展一步后根的所在区间 为0.5 , 1,进展两步后根的所在区间为。14、计算积分o.54XdX,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生 公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为315、设 f(0)0, f(1)16, f (2) 46,如此 l1(x) l1(x)x(x 2), f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x) 16x 7x(x 1)16、bf求积公式an(x)dxAkf(xk)k 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n 1)次代

4、数精度。17、f (1)=1, f5(3)=5, f (5)=-3,用辛普生求积公式求1f (x)dx = (12 )。18、设 f (1)=119、如果用二分法求方程x3 x 次。(3)=0 ,用三点式求f (1)()。4 0在区间1,2的根准确到三位小数，需对分10S(x)20、a=(21、n3x2(xb =1°(x),1i(x),lk(x)k 0n(x4k 022、数。23、321) a(x 1)3， c=b(x 1)1。n(x)是以整数点x0,x1,x2 3)lk(x)x 3是三次样条函数，如此,xn为节点的Lagrange插值基函数，如此nxklj(xk)丫k 0( xj

5、),区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2 阶的连续导改变函数f(x) Vx 11. x 1 x 0心 (x 1 )的形式，使计算结果较准确24、假设用二分法求方程f x0在区间1,2的根，要求准确到第3位小数，如此需要对分10S x25、设一次。2x3, 0 x 132x ax bx c,1 x 2是3次样条函数，如此a= 3 , b= -3 , c= 12 / 16word 1exdx 626、假设用复化梯形公式计算 0,要求误差不超过10 ,利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。4f2,4,8,16,32 3。8f (0) f (1)的代数精度为2。27、假设

6、f(x) 3x 2x 1 ,如此差商i2f (x)dx f( 1)28、数值积分公式19选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(A . 2B. 5 C . 3 D . 42、舍入误差是(A )产生的误差A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、3.141580是冗的有(B )位有效数字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D . 74、用1 + x近似表示ex所产生的误差是(C ) 误差。A.模型 B .观测C.截断 D .舍入 x5、用1+3近似表示盟厂x所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B .观测 C .模型D.截断6、-3

7、24. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A . 5 B . 6C. 7 D . 87、设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,如此抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A - 0. 5 B .0.5 C . 2 D . -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C ) oA . 3 B . 4C. 5 D . 29、( D )的3位有效数字是X 102。X103 X10-2 (C) 235.418(D) X 10-110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x),如此f(x)=0的根是(B)。(A) y= (x)与x轴交点的

8、横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )3 / 16(A) f(x,x0,x1,x2,Rn(x)f(x)(B)word,xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),f (n 1)() Pn(x)-( )(n 1)!(C) f (x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(D)Rn(x) f(x) Pn(x)f (n 1) ()(n 1)!n 1(x)12、用牛顿切线法解方程

9、f(x)=0 ,选初始值 x0满足(A ),如此它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f(x) 0(B)f(x0)f (x) 0(C)f(x0)f(x) 0(D) f (xj f (x) 013、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6的一个根，把方程改写成如下形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)(A)1，一，,，迭代公式:xk1x 1(B)13,迭代公式:xk1 x1xk(C)x2 ,迭代公式：xk(12、1/3 xk)x2,迭代公式：xk(D)2xkxk14、在牛顿-柯特斯求积公式:f(x)dx(ba)i 0nCi(n)f (xi)

10、(n)中，当系数Ci是负值时,-柯特斯求积公式不使用。公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当时的牛顿15、取向1.732计算x忠1)4,(A) 28 166；(B)(4 2后；x30S(x)326、2( x 1) a(x 2) b 2(A)6, 6;(B)6, 8;(C)816、由如下数表进展Newton插值，f如下方法中哪种最好？_16_16_(C) / 2厨；(D)电 1)x 2x 4是三次样条函数，如此a,b的值为(,6;(D)8, 8。4 / 161n 8,2n 7, n 10,4n 6,23、有如下数表x012f(x)-2-12所确定的插值多项式的次数是1二次；2三次；3四次；4五

11、次wordxi123f(xi)-1(A) 5；(B)4；(C)3；( D) 2b疗人 f (x)dx A1f (x1) A2 f (x2) A3 f (x3L17、形如a的图斯Gauss型求积公式的代数精度为(A) 9；(B)7；( C)18、计算卡的Newton迭代格式为(xk (A)xk23xk ； (B)xkxk25；)3(D)3。2xkxk 1xk2；(C)xk ； (D)xk33xk 。19、用二分法求方程 此对分次数至少为( (A)10;(B)124x210(C)80在区间1,2的实根，要求误差限为(D)9。20、9设li(x)是以k(k 0,1， 为节点的Lagrange插值基函

12、数10 3,如kli(k)k 0()D1 。(A) x；Bk ；c33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有() 次代数精度(A)5;S(x)21、 (A)6, 6;35、方程x(B)43x2(x1)3(B)62x 5(C)6a(x 2) ,8;0在x0b 2(C)8(D)3。24是三次样条函数，如此,6;(D)8, 8。2附近有根，如下迭代格式中在x0xk(B)a,b的值为(2不收敛的是()253xk ； ( C) xk 1xkxk 5 ； (D)xk2x： 53xk 2。x01234f(x)1243-51确定的唯一插值多项式的次数为()(A) xk1V2xk 5 ；22、由如下数据(A

13、) 4;(B)2;(C)1;(D)3。23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题认为正确的在后面的括弧中打，否如此打1、观察值(“，yi)(i 0，1，2，, m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，Pn(x)的次数n可以任意取。2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差word(X X0)(X X2)3、（x1 x0）（x1 x2）表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。（4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A=35具有严格对角占优。四、计算题:1、求A、B使

14、求积公式11f (x)dx Af(.1. 11) f(1) Bf( -) f()22的代数精度尽量高，并求其代数精度;I利用此公式求21.17dx（保存四位小数）。2答案：f（x） 1,x,x是准确成立，即2A 2B2A 1B222 得9,b1f（x）dx求积公式为11 8.19f(1)f(1) 9f( 2)2134当f（x） x时，公式显然准确成立；当f（x） x时，左=5 ,右=3。所以代数精度为3。2 1 t 2x 3dx1 x971/2 31 2-31971400.692862、xi1345f(xi)26546 / 16word分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式

15、 巳(x),并求f(2)的近似值保存四位小数。2(x 3)(x 4)(x 5) 6(x 1)(x 4)(x 5) L3 ( X) 26答案： 一 (1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)5 4 (41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiV一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101/41P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)( x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.55、xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f (0)

16、的近似值答案：解：ixiV2 xi3xi4 Xxi V2X V0-244-816-8161-121-11-22201100r 0P 0013131113342548161020015100343415ao 10a21510a13正规方程组为10ao 34a2 417 / 16311,a21014word10ao 亍，a1,、10 311 2,、311P2(x)x x P2(x)x71014107f (0)P2(0)3106、sin x区间0.4 , 0.8的函数表x0.40.50.60.70.8Yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin 0.

17、63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2(x)|-| 3(x)|3 !尽量小，即应使1 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0.6，0.7最好，实际计算结果sin0.63891 0.596274 ,且Sin 0.63891 0.5962741 .(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7) 3!40.55032 107、构造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn 1(xn)，n 02,讨论其收敛性，并将根求出来，区 1 xn 1 10 。答案：解：令 f

18、 (x) ex 10x 2, f(0)2 0, f(1) 10 e 0.且f (x) ex 10 0对x (，)，故f(x) 0在(0,1)有唯一实根.将方程f (x) 0变形为8 / 16word110(2如此当x (011)时Xee e(x)行(2 ex)I (x)l 正而xn 1收敛。取xo 0.5,计算结果列表如下:故迭代格式n0123xn0. 127 8720.096 424 7850. 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008(2 exn)10且满足 Ix7 %I 0.000 00095 1

19、0 6.所以 x* 0.09052500810、如下实验数据解：当 0<x<1 时，f (x)ex,如此 f (x)exdxe,且后dx有一位整数.xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据R1(n) (f)1 10 4要求近似值有5位有效数字，只须误差2R1(n)(f)b-a-T-lf ( )1由12n,只要R(n)(ex)e_ 12n2e12n22 104即可，解得n 6l2102 67.308779 / 16word所以n 68,因此至少需将0,1 68 等份。12、取节点x0 0，xi 0.5，x2 1

20、,求函数f(x) e x在区间0,1上的二次插值多项式B(x),并估计误差。0 (x 0.5)(x 1) 00.5 (x 0)(x 1)p2(x) e e 解：(0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)( x 0.5)e (1 0)(1 0.5)2(x 0.5)(x 1) 4e 0.5x(x 1) 2e 1x(x 0.5)f (x) e x, f (x) e x, M3 max | f (x) | 1x 0,1|R2(x)| |e x P2(x)| -|x(x 0.5)(x 1) |故截断误差3!Ox14、给定方程 f(x) (x 1)e1 01)分析该方程存在几个根；

21、2)用迭代法求出这些根，准确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。x解：1将方程(x 1)e1 01改写为x 1 e x2x*作函数f1(x)x 1, f2(x) e的图形略知2有唯一根x (1,2)。2)将方程2改写为x 1 exxk 11 e xk构造迭代格式x0" (k 0,1,2,)计算结果列表如下：k123456789xk3)(x) 1 e x,(x) e x当 x 1,2时，(x) (2), (1)1,2,且10 / 16word1| (x)| e1 1所以迭彳t格式4 1（xk） （k 02 ）对任意x0 / 16Z均收敛。15、用牛顿（切线）法求的近似值。取

22、x0=1.7,计算三次，保存五位小数。2x,牛顿迭代公式为5）的近似解：J3是 f(x) x2 3 0 的正根，f (x)值,取五位小数。解:L2（X）2 (x 1)(x 2)(1 1)( 12)(x 1)(x 2) (x 1)(x 1) 34(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)取X0=1.7,列表如下:xn 31(n 0,1,2,)22xnxn 1 xnxn2xn ,即n123xn16、f (-1)=2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式 L2(x)与 f (1 ,2-(x 1)(x32)17、n=3,用复合梯形公式求1 x e dx0的近似值取四位小数，并

23、求误差估计。解:Jdx T3 Ue。032 31 32(ee23) e1 1.7342f (x) ex, f (x) ex 1 时，1f(x) | e-(x 1)(x 2) -(x 1)(x 1) 231f(1.5) L2(1.5)0.0416724|R| |exe0.0250.05108解:至少有两位有效数字。x19253038V20、8分用最小二乘法求形如yspan1, x2a bx2的经验公式拟合以下数据:wordAT 1：2111252 312 382 yT19.032.3 49.0 73.3TT解方程组 A AC A y其中T 43391AtA3391 3529603ATy173.6

24、179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以a 0.9255577,b 0.050102521、15 分用 n 项估计其误差。用 值。1e xdx , 人8的复化梯形公式或复化Simpson公式计算 胆dx时，试用余n 8的复化梯形公式或复化Simpson公式计算出该积分的近似|RTf|解：T(8) hf(a)2b :1272k 1a 2-h f (f (Xk)11 2 (0.88249690.53526140.632943422、15分方程x31121 0.001302 768f(b)0.77880080.472366550.606530660.41686207) 0.

25、367879470在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式 1x 3Vx 1对应迭代格式Xnx x3 1对应迭代格式xn 131 xn3 xn1九寸应迭代格式xn1 ( l判断迭代格式在x0卜5的收敛性，选一种收敛格式计算x 1.5附近的根，准确到小数点后第三位。解：1(x)21、3(x) -(x 1) 33,12x223(x)3x(1.5)0.18 1 ,故收敛;选择1:x021.5x ,(1.5)(1.5)3 1.52x1 1.3572x5 1.32476 x61.324720.17 1,故收敛;1 ,故发散。1.3309 x3 1.3259 x4 1.3249 ? ? ?25、

26、数值积分公式形如10xf(x)dx S(x) Af(0) Bf(1) CfDf(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度1尽量高；2设f(x) c40，1,推导余项公式R(x)0xf(x)dx S(x),并估计误差。12 / 16word23A * , B )解：将f (x) 1,x,x ,x分布代入公式得：2020也(为)f(x)120构造Herm让e插值多项式H3(x)满足H3(Xi) f(xi)i01其中x00,Xi1如此有:1o xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)f(4)()4!22x (x 1)R(x)10xf (x) S(x)dx1 f(4)()f(4)()4! f(

27、4)()x3 (x 1)2dx - S4! 604!f (4)32 ,x (x 1) dx144027、10分数值积分公式为:h .r2 .f(X)dX/0)f(h)hf(0) f (h)、一"一,试确定积分公式中的参数准确度尽量高，并指出其代数准确度的次数。解：f(x) 1显然准确成立；f(x)x时,hxdx0f(x)2x时,hx2dx0f(x)3 x时,hx3dx0f(x)所以,4x时,hx4dx0其代数准确度为h22 h33h44 h553。h-0 hh21 12 ；20h 202022h3h2h20 2h2 h2312_ 2h ”3h412 _3h ” 4hh56 ；28、8

28、分求出'(a 0)的迭代公式为:a、)Xo Xk0 k 0,1,2112 ；证明：对一切k 1,2, 从而迭代过程收敛。xk7a ,且序列凡是单调递减的,Xk 12(xk证明：故对一切k1(1又Xk 21,2,a2 xkxkXkxk a k 0,1,2,xk1)Xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代13 / 16过程收敛word29、9分数值求积公式30 f (x)dx3f （1） f（2）2是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少?解：是。因为f（x）在基点1、2处的插值多项式为P(x)x 1Flf(2)p(x)dxlf(1)f(2)其代数精度为1。30、（6分）写出求方程

29、4x 敛性。x-x 11 xn 1 xn（6 分）4cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收cos xn，n=0,1,2,1人x -sin x41 14对任意的初值x0 0,1 ,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算。诉 的近似值，并利用余项估计误差用Newton插值方法：差分表:.115f''' x100101211114412f'''R 115 100 115 121 115 1443!1 35100 2 15 6 29 0.0016368I32、（10分）用复化Simpson公式计算积分1 sin x0 xdx的近似值，要求误差限为_ 50.5 10 。c 1 .1S1 f 0 4f f 10.946145886214 /