质点运动学物理学院与电子信息学院

1、第一章质点运动学doc物理学院与电子信息学院一、差不多要求1、把握描述质点运动的差不多物理量，位置矢量、位移、速度、加速度的概念，明确它们具有的矢量性、相对性、瞬时性；2、明确运动方程和轨道方程的物理意义，并能用求导方法由己知的运动方程求速度加速度：反之用积分方法由已知质点运动的速度或加速度求质点的运动方程：3、熟练把握直线运动，抛体运动和圆周运动的规律，及直线运动的位置一时刻曲线，速度一时刻曲线。二、差不多概念和规律1、参照系与坐标系参照系：在描述机械运动时被选作参考的物体称为参照系。由于运动的相对性，因此参照系的选择也具有注意性，而参照系的选择要紧问题的性质和研究的方便，但必须指出，同一物

2、体的运动，由于参照系的选择不同，而对它运动的描述亦不同。因此，当其描述物体的运动时，必须指出是对哪个参照系来说的。坐标系：参照系选定后，只能对物体的运动作定性描述。为了定量地描述物体的运动。就需要在参照系上选用一个固定的坐标系。因此，坐标系不仅在性质上起到了参照系的作用，而且使运动的描述精确化。常用的坐标系有直角坐标系，自然坐标系（本性坐标系）和平而极坐标系等。从运动学的观点看，所有参照系差不多上等价的，无优劣之分。2、质点质点确实是把物体视为只有质量而无形状大小的几何点。质点的概念突出了物质“具有质量”和在空时'占有位置”这两个全然性质。质点是理想模型，是对客观实际进行全面的科学的分

3、析之后，用简单、抽象的模型-质点来代替复杂的具体的物体，以抓住其中的要紧因素（质量）。忽略次要因素（形状和大小），把握其物体的差不多运动规律，从而为研究一样物体的运动打下基础。理想模型方法是一种重要科研究方法，它能使物理现象的研究达到定量化、精确化。3、位置矢量位置矢量：由参考系上某一参考点间质点所在的位置所作的有向线段称为质点在该时刻的位置矢量，简称矢径，记为0）。它是描写质点某时刻在空间的位置的物理量，也是描写质点运动状态的一个物理量，它具有矢量性、瞬时性、相对性。运动方程：质点的位置矢量E）（如在直角坐标系中八az）随时刻t变化的函数，即r=r（或mN，）、v=W）、z=z（O）称为运动

4、方程。它淬尽地描述了质点相关于参照系的运动情形。轨道：质点在空间运动的实际路径称为轨道或轨迹，由运动方程消去的时刻t可得到质点在空间运动的轨道方程。如在直角坐标系中沙（小y）=clx沙（）“z）=c2、cl、c2为常数。由上经可见，运动方程不仅给出了质点运动的轨道，而且还指出随着时刻的流逝质点如何在轨道上运行（由此可得出质点的速度加速度）。因此，确定质点的运动方程是质点运动学的最差不多的问题。4、位移和路径位移：质点在未时刻（什。的位置矢量n与初始时刻的位置矢量口之差，即赤乃F,称为质点在时刻L1+*内的位移。路程；质点由初始时刻到末时刻间质点运动所通过的路线的总长度。记为必须指出：1）位移和

5、路程是两个不同的概念，切不可混淆。位移是矢量，路程是标量且恒为正。2） 一样说来，位移的大小水等于相应的路程。只有在下列两种情形下位移的大小等于相应的路程：a、在不同一个方面运动的直线运动中：b、在时刻&T）时，klrl=AS,这也正是我人利用路程来运算位移大小的依据，c、位移具有相对性，即TT式中M机为以。为参照系质点A在/-/+/时刻的位移；%*怙为以8为参照系质点A在，一什时刻的位移；小对，为以C为参照系质点B在时刻的位移:5、速度平均速度：质点的位移;,与其所需时刻的布的比值称为质点在时刻，一什内的平均速度，即屋必>平均速度是矢量，它的方向一样不在轨道的切线方向，而是与&

6、amp;,方向相同。平均速率：质点通过的路程as与其所需时刻刀的比值，称为质点在时刻内的平均速率，即平均速率是标量，且恒为正，一样而言，"O速度,在某时刻/邻近，当时刻4-0时平均速度的极限值定义为质点在该时刻的瞬时速度，简称速度。即A”mQdrU=Af-0=fdt必须指出：1）速度是矢量，是描述质点运动快慢和运动方向的物理量。它的方向始终在轨道的切线方向并指向质点的运动方向。速度是描述质点运动状态的一个物理量。因此，描述一个质点的运动状态，需要位置矢量和速度这两个物理量。->2）瞬时速度的大小称为速率,由于4-0时|"门=大。因此:cltdt>>r.Jr

7、.IJ/IJI?'IdrUT1=0=但必须注意力力出dt3）速度具有瞬时性。4）速度具有相对性。即>>>u八对c=UA9+UB而CT5）速度的运算力在直角坐标系中，=X"）/+y（,）7+z”）kUx必5;也以二皿重量式：力大力在自然坐标系中S=S（f）（/=史dt6、加速度加速度：在某时刻，邻近，录时刻，一（）时平均加速度的极限值定义为该时刻质点的加速度。即TT2TTmAvdvdr2力Jr注意：1）加速度是矢量，是描述质点速度变化的物理量.速度的变化包括大小和方向。-样说来，在曲线运动中，加速度不是沿曲线的切线方向，而是指向曲线扔凹侧。如众所周知的抛物运动

8、确实是一个例子。2）加速度具有瞬时性。3）加速度具有相对性，即aa对c=aa/B+ab对c4）加速度的运算-2->.八dra=dtdr在直角坐标系中：dvxd2xdvyJ2ydvzcl2Zax=,ciy=-=.az=-ydtdrdt"dtJr在自然坐标系中dvd2sac=r切向加速度：力dr法向加速度：式中P为曲线在该点的曲半径是改变速度的大小，an只改变速度的方向。质点作圆周运动时：ac=-=PRatv2i册=云=卬-R式中B为质点作圆周运动的角加速；卬为质点作圆周运动的角加速，/?为圆周半径。而=卬乂U=WRIl=R三、解题方法1、问题的提法质点运动学研究的差不多问题是：物

9、体在空间的位置随时刻变化的规律。亦即研窕物体在空间中的位置、速度，加速度和轨道等。为此，依照问题的性质可将质点运动学分为三类：第类问题：已知质量的运动规律用函数形式表示。不是微分方程形式表示，求质点的速度，加速度轨道等。质点的运动规律或以确定的函数形式给出，或从位置,时刻曲线给出，或者以叙述具有某种特点的形式给出，那来，第写出活动方程，由运动方程消去时刻t得轨道方程，而求速度，加速度实为求导数问题。第类问题：已知质点的运动规律用微分方程的形式给出，即已知速度或加速度，求运动方程。第二类问题：实际上是积分问题，并由初始条件（依照是中的文字叙述或直截r当给出）确定积分常数。第三类问题：相对运动，实

10、为运动的合成问题。2、解题步骤解质点运动学问题的步骤是：1）弄清题意，明确问题，选用坐标，建立方程弄清题意，明确问题是第分析题中物体的运动性质、特点，是属于什么样的运动，是属于哪类问题，选用坐标建立方程，矢径、速度、加速度的定义为矢量式对任何坐标系均适用。但在解题中样依照问题的性质，选用相应的坐标系。才能使运算得以进行下去，依照题意并有所选用的坐标系建立方程。2）解运动方程若属第类问题，将运动议程对时刻求阶导数得速度的各个重量，自对时刻t求-次导数得加速度的各个重量，再对时刻t求次导数得加速度的各个重量，从运动主程消去时刻C得轨道方程。若属第二类问题，若已知速度实为阶常微分方程（二维直角坐标系

11、有二个、三维直角坐标有三个）依照初始条件，对微分方程积分次得运动方程。若已知加速度，实为二阶常微分方程，依照初始条对微分方程积分二次得运动方程。若属第三类问题，如求相对运动中的速度。关键在于找出三个相对运动的物体A、B、C及它们的相对速度Uac,Uab,Ubc然后依照>>TuA对c=UA对8+uB对c求其所求之速度3、解题注意之点3必须注最箕径、位移、速度，加速度是矢量，应按矢量的运算规则运算。2）列方程时，必须注意矢径、位移、速度、速度在各坐轴上重量的正负。四、解题示例例1,已知质点的运动方程为，=（2-。，+（5-产），米，r以秒计。求：1）质点的轨道方程：2）质点在01秒内的

12、位移和平均速度；3）质点的速度和加速度。解：本题属质点运动学的第类问题，题中的坐标系实际上差不多选定，运动方程差不多给出，其重量式为：.v=2-t,y=5-t51）由运动方程的重量式消去时刻t得质点的轨道方程y=5-（2-.v）52）质点在01秒内的位移为/I=1一2=（"4）-（2：-5；）=-，一.其平均速度为>>TAro-iAro-ii_|=一i一jmshiz1-03）质点的速度为V=（2-r）/+（2-/3）j=-/-3rdtdt.其速度为TT八N7.）a=-of/msdt本题说明如何由运动方程求质点的轨道方程，位移、平均速度、速度、加速度，位移、平均速度与选取的

13、时刻间隔有关，一定要把握速度加速度的瞬时性、矢量性、相对件例2、个正在行驶的摩托快艇于发动机关闭后，得到个与快艇速度方向相反，大小与其速度平方成正比的加速度，设比例系数为K,求：1）在发动机关闭后t时刻的速率；2）在t时刻内所行驶的距离：3）在行驶x距离后的速率。设发动机关闭时快艇的速率为V。解：依题意摩托快艇作减速直线运动，而运动方程是以文字叙述的形式给出，翻译成数学语言为：因此本题为运动学中的第二类问题现选取发动机关闭时为计时起点，且现在快艇所在位置作为直线坐标系的原点O点，坐标轴取向与发动机关闭时的速度）,方向同那未初始条件为，=0时，Ao=OtV=Vokdt(1)1）设f=f时,V=V

14、时，则由亚=-%和初始条件，=0,加=0,V=Mo得dt%广解得：U=-1+匕足2）设t=t时，快艇行驶的距离为m则由丫=9和初始条件U0,3得dtJoJoJoi+%K解得x=-（n.（Vkt+）（2）k3）由式（1）、（2）消去£得V=即摩托快艇行驶x距离后的速率为V=V亦可利用=-kV2来运算V与X之关系。出事实上，由丫=虫而虫=处也=9（-氏2）dtdtdvdtdv：.kV2=Udv即虫=-kdxV当*）=0时，V=Mo,而时，V=V,因此r=-rkv儿VJo解得V=行其结果相同。说明，本题第一应将文字叙述用运动微分方程表示出来，此后，依照题意得到初始条件，最后解运动微分方程。

15、例3、一架飞机从南A处向北飞到B处（如图），然后又向南飞回A处，飞机相关于空气的速度为V,而空气相关于地面的速度为，且的方向偏离南北方向某一角度Q,A、B之间的距离为L、飞机相关于空气的速率V保持不变。求飞机来回飞行所需时刻。解：本题的飞机、空气、地而的运动是一种相对运动，因此属于质点运动学的第三类问题。分析和确定A、B、C三个物体和da对cIanbEb对c乃是解题的关键。本题的A、B、C物体分别是飞机、空气、地而，因此丘4对8=j£飒。=日,依照运动解得的相对性得7AM? =7+；飞机由A飞到B时，飞机相关于地面的速度八（mcos6 + v（一生/6）飞机由B飞回A,如题例3图6,

16、同理可得7叫、-U80 =0V2 = Vcosi 一“cos。解得"eb- cos 6)飞机来回飞行所需时刻为讨论:7/a、当=0,即空气静止时，= ；,这是我熟知的结果。vB、当夕=£,即空气相关于地面的速度由东向西时 22/c、若>u,从数学结果看，这种情形下的时刻I的表达式为一页数或复数。尽管，负时刻或复时刻是没有意义的。实际情形是，飞机从A动身后也不能飞到B,因此也就>谈不上从B飞回A了。由此可见，飞机相关于空气的速度丫不仅有方向的要求，而且还有大小的要求。例4,如图所示，山岗的斜面上水平面成。角，在斜而上某点以初速度70把手榴弹向上投出，问与斜面成如何

17、样的角度投出时，才能投得最远，空气阻力忽略不计。解：本题是抛射体运动，依照运动的选加原理可将它分解为竖直方向的变速直线运动和水平方向的速直线运动，选取如题例5图a的直角坐标系。设)与斜面的夹角为6,手榴弹在斜而上的射程为乙则抛射体的运动方程为Leos=Vocos(x+d)tLsinO=V(>y加(6+)t消去f,整理得L=cos(8+d)sindgeos-6dl _ 2蜉 dd geos? 6得L随X而变，按求极值条件：cos(8+2x)=0不难证明，当e=1(£-e)时，匚<。22崂因此当8=(£-夕)时，L的值是取大值，即投得最远。22本题说明了在研究抛射体运动经常用的一种方法一一正交分解法，我们采纳的的直角坐标系分解，这是一种重要的方法°另又用到高等数学求极值的方法，求最大射程。例5,如图所示，用枪瞄准在高处的靶子A,当子弹离开枪口时，靶由自动机械开释自由下落。设靶的水平距离在枪的射程之内，问枪弹能否击中靶？空气的阻力忽略不i+©解：子弹欲击中靶必须满足：(1)子弹和靶的轨道相交：(2)子弹和靶同时到达交点。取枪口位置为坐标原点，选取如图所示的宜角坐标系，设子弹的初速为E，焦与X轴夹角为o,靶子在A点的坐标为(XO、和)，子弹刚离开枪口时刻计时，则子弹的运动方程为：Xl=votCOS0Q1，y=Voisin靶的运动方程