中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案.doc

1、中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案一、相似1 .如图所示， ABC 中，AB=AC, Z BAC=90° , AD± BC, DE± AC, CDE 沿直线 BC 翻折到 CDF,连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.(1 )求证：AF± BE；(2)求证：AD=3DL【答案】(1)证明：在ABC中，AB=AC, Z BAC=90° , D是BC的中点, AAD=BD=CD, Z ACB=45 , 0在 ADC 中，AD=DC, DE± AC,AAE=CE,VA CDE沿直线BC翻折到 CDF,1CDE丝 ACDF,

2、ACF=CE, Z DCF=ZACB=45 , 0ACF=AE, Z ACF=ZDCF+ZACB=90 , °AB +AC/BAE = ZACP在ABE 与4ACF 中，.If CF , ABE刍 ACF (SAS),AZ ABE=Z FAC,VZ BAG+Z CAF=90 , 0AZ BAG+Z ABE=90 , 0Z AGB=90 , 0AF_LBE(2)证明：作 IC 的中点 M,连接 EM,由(1) Z DEC=ZECF=Z CFD=90°四边形DECF是正方形,/.EC/ DF, EC=DF, Z EAH= Z HFD, AE=DF,NAME = /DH/ ZEA

3、M = ZUFb 在 AEH 与 4FDH 中 AE DF , AEHg AFDH （ AAS ）,AEH=DH,VZ BAG+Z CAF=90 , 0AZ BAG+Z ABE=90 , 0Z AGB=90 , 0AAF±BE,M是IC的中点，E是AC的中点，AEM/7AI,J）I DH二二 1 Tif HE ， DI=IM ,.CD=DI+IM+MC=3DLAAD=3DI【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明AABEg aACF,利用全等三角形的性质得出Z ABE=Z FAC,再证明Z AGB=90° ,可证得结论。（2）作IC的中点 M ,结合正方形的性质，可

4、证得 Z EAH=ZHFD, AE=DF,利用AAS证明 AEH与 FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2.已知：如图，在ABC中，AB=BC=10,以AB为直径作。O分别交AC, BC于点D, E,连 接DE和DB,过点E作EFLAB,垂足为F,交BD于点P.(1)求证：AD=DE；(2)若CE=2,求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求 DPE的面积.【答案】(1)解：AB是。O的直径，A Z ADB=90 , 0 即 BD_L ACAB=BC, ABDCBDAZ ABD=Z CBD在。O中，AD与DE分别是ZABD与NCBD所对的弦/. AD=DE ；(2)解：

5、: 四边形 ABED 内接于。0, J ZCED=Z CAB,CE Ct二jVZ C=Z C, A CEDA CAB, C'A Cb ,V AB=BC=10, CE=2, D 是 AC 的中点，.cd=N(3)解：延长EF交。O于M,在 RtZABD 中，AD= , AB=10,ABD=3 ,VEM1AB, AB是。0的直径，瓦士屈 ， /.Z BEP=Z EDB, BPEA BED,BD BE.应一万，ABP= 15 , 1JV五ADP=BD-BP= 15 ,/.Sadpe： Sabpe=DP： BP=13： 32,2VSABCD=£ K xs"=15, Sabd

6、e： Sabcd=BE： BC=4： 5,丁 S ABDE= 1 2 ,【解析】【分析】(1)根据已知条件 AB是。的直径得出ZADB=90° ,再根据等腰三角 形的三线合一的性质即可得出结论。(2 )根据圆内接四边形的性质证得ZCED=Z CAB,再根据相似三角形的判定证出CEDs CAB,得出对应边成比例，建立关于 CD的方程，即可求出 CD的长。(3)延长 EF交。O于 M,在 为 ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明BPEs ABED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。3.如图，矩形

7、OABC的两边在坐标轴上，点 A的坐标为(10, 0),抛物线y=ax?+bx+4过 点B, C两点，且与x轴的一个交点为 D ( - 2, 0),点P是线段CB上的动点，设 CP=t(0< t < 10).(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;(2)过点P作PELBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，Z PBE=Z OCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ,交CQ于点M,作PN CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.【答案】(1)解：在y= ax2 +bx+ 4中，令x= 0可得y= 4,AC (0,4),四边形OABC为矩形

8、，且A ( 10, 0),AB ( 10, 4),把B、D坐标代入抛物线解析式可得解得抛物线解析式为y=x2+x+ 4；t2 + - t + 4),(2)解：由题意可设 P (t , 4),贝lj E ( 3一+4-4 =PB= 10 - t , PE =VZ BPE=Z COD= 90 0 ,当 N PBE = N OCD 时，则 PBEA OCD,PE PB. 0!)",即 BP?OD= CO?PE,P- I：.2 ( 10 - t ) = 4 (f,t2+ Jt ),解得.当 t= 3 时，NPBE= ZOCD；当N PBE = N CDO 时，则 PBEA ODC,PE PA

9、二 0C OL,即 BP?OC= DO?PE,t=3或t=10 (不合题意，舍去)，解得t= 12或t = 10 (均不合题意，舍去)综上所述,当t = 3时，NPBE= ZOCD(3)解：当四边形 PMQN 为正方形时，则 N PMC= N PNB= N CQB= 90° , PM= PN,AZ CQO+ Z AQB= 90 ° ,VZ CQO+ Z OCQ= 90 ° ,AZ OCQ= Z AQB,ARtA COQs RtAQAB,CO 型 Ab,即 OQ?AQ= CO?AB,设 OQ = m,则 AQ = 10 - m,Am ( 10 - m) = 4 X4

10、,解得 m= 2 或 m= 8,当 m=2 时，CQ= 牙 + 邮=",BQ= / / 加=RI ,竺的 目画1sinN BCQ="= J , sinNCBQ=/" = 5 , k/ ) 一PM= PC?sinN PCQ= 5 t, PN=PB?sinN CBQ= 5 ( 10 - t),M：.5 t(10 - t ),解得A当m = 8时，同理可求得 t= 316 26当四边形PMQN为正方形时，t的值为 J或了【解析】【分析】(1)先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABCO及点A的 坐标为(10, 0),求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点 B、

11、D的坐标分别代入函 数解析式求出二次函数解析式。(2)设P (t, 4),利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PB、PE的长，再分情况讨论：当 NPBE=NOCD时，可证APBEs OCD,利用相似三角形的性质，的长BP?OD= CO7PE,建立关于t的方程，求出符合题意的 t的值；当NPBE=NCDO时，可得 PBEs AODC,利用相似三角形的性质得出 BP?OC= DO?PE,建立关于t的方程，求出t 的值，综上所述就可得出符合题意的 t的值。(3 )当四边形 PMQN为正方形时，则 ZPMC= /PNB= Z CQB= 90° , PM= PN,再证明 RtA COQ

12、RtA QAB,利用相似三角形的性质得出 OQ?AQ= CO?AB,设OQ=m,则AQ= 10 -m,建立关于 m的方程，求出 m的值，再分别根据 m的值求出CQ、BQ的长，再利用 解直角三角形用含 t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM二PN可得出关于t的方程，再解方程，就可求出符合题意的t的值。4.如图，在平面直角坐标系中，点 A(5, 0),以OA为半径作半圆，点 c是第一象限 内圆周上一动点，连结 AC、BC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线，分别 交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结 OF.(1 )当N BAC= 30o时，求 ABC的面积;(2)当DE=

13、8时，求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与 ABC相似，若存在，请 求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1 )解：,AB是。O的直径,Z ACB=90 , 0在 RtzABC 中，AB=10, Z BAC=30" ,7J BC=1AB=5,.AC=k/"一靖=莉， 1ASaabc=2AC?BC= W(2)解：连接AD,J*VZ ACB=90 , ° CD=BC,:.AD=AB=1(L VDE±/B,AE二x/5一底=6,I. BE=AB-AE=4,. DE=2BE,VZ AFE+Z FAE=90, &

14、#176; Z DBE+Z FAE=90, 0AZ AFE=Z DBE,VZ AEF=Z DEB=90 , ° AEFs DEB,AE：.EF /if: =2,i 1AEF=iAE=6=3(3)解：连接 EC,设 E(x, 0),团当反的度数为60。时，点E恰好与原点O重合；国0。次的度数<60 °时，点E在O、B之间，Z EOF>Z BAC=Z D, 又丁 Z OEF=Z ACB=90° ，由相似知 ZEOF=ZEBD,此时有 EOFs EBD,OE OB：.BE 拉、VEC是RtA BDE斜边的中线,ACE=CB,AZ CEB=ZCBE,AZ EO

15、F=Z CEB,A OF/ CE,AOFs AAECAO OF OFAO 20E5_.AE ，即 6 / jf 5 -X,- 15 ± S4T?解得x= 4 ，因为x>0,团60°施勺度数90 °时，点E在O点的左侧， 若NEOF二NB,贝lJOFBD,1 1（mmMaariAOF=BC=甘 D,竺比I - x 1 勺BD BE 7即|5 - x 7解得x=l W ,若N EOF=Z BAC,则 x=-二, is +负，e综上点E的坐标为（/, 0） ； （、 0） ； （.二0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得ZACB=90° ,根据3

16、0°的直角三角形的性质求得BC,进而根据勾股定理求得AC,然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD,由垂直平分线的性质得AD=AB=10,又DE=8,在ODE中，由勾股定理求 AE,依题意证明AAEFs ADEB,利用相似比求 EF； （ 3）当以点E、O、F为顶点的三角形与 ABC相似 时，分为两种情况：当交点E在O, B之间时；当点E在O点的左侧时；分别求E点 坐标.5.已知在 ABC中，AB=AC, AD± BC,垂足为点D,以AD为对角线作正方形AEDF, DE交 AB于点M, DF交AC于点N,连结EF, EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H.(1)

17、求证：EG=HF；pH（2）当NBAC=60°时，航的值；HFk二 lr（3）设HE, AEH和四边形EDNH的面积分别为Si和S2【答案】（1）解：在正方形 AEDF中，OE=OF, EF± AD,VAD± BC,EF BC,AZ AGH=ZB, Z AHG=Z C, 而 AB=AC,AZ B=ZC,AZ AGH=ZAHG, / AG=AH»AOG=OH,/.OE-OG=OF-OH, AEG=FH(2)解：当NBAC=60°时，醺：为正三角形,V AD± EF,I. Z OAH=30 ，设 OH=a,则 OA=OE=OF= ai,

18、.EH=（W" /） a, HF=<3 i ） a,.AE FN,AEHs anfh, EH /I. NH - FH - v'l, .EF BC, AOHs ADC,OH OA / DC " AD " 7/. CD=2a,易证 HNFs CND,(3)解：设 EH=2m,贝ijFH=2km, OA= EF= ( k+1) m, ASi= ( k+1) m2 ,由(2)得， AEHs NFH,S AHNF=kS i=k ( k+1) m2,而 Saedf=OA= ( k+1) 2 m2, AS2=Saedf - Sahnf = (k+1) 2m2 -k

19、2 ( k+1) m2= ( -k2+k+l) ( k+1) m2 s =-k2+k+l,0冏 E i r-11 当1<= 2时，、最大=?.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质，正方形的性质易证4AGH为等腰三角形，通过“三线合一 ”可得OG=OH,即可得证；（2） OH=a,由等边三角形的翳可设4/则 OA=OE=OF= a,则 EH= （） a, HF= （） a,根据相似三角形判定易证AEHs/iNFH, AOH- ADC, AHNF-A CD,然后通过相似FH=2km, OA= EF= ( k+1) m, S2=S EDF - S HNF得到S2的表达三角形的对应边

20、成比整理即可得解；（3）设EH=2m,则分别得到S 1、HNF和S EDF关于k, m的表达式，再根据式，进而得到关于k的表达式，通过配方法即可得解6.如图，在 ABC中，AB=AC ,以AB为直径的。O分别交BC , AC于点D , E ,连结 EB , 交OEC千点F.(1 )求证：OI>_L BE .(2)若 DE=，AB=6,求 AE 的长.(3)若 CDE的面积是AOBF面积的j ,求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由.【答案】(1)证明：连接AD,VAB是直径，AZ AEB=Z ADB=90 , 0V AB=AC,I. Z CAD=Z BAD, BD=CD,E 团

21、,加以， OD_LBE；(2)解：Z AEB=90° , Z BEC=90 , °VBD=CD, BC=2DE=2M,四边形ABDE内接于。O,AZ BAC+Z BDE=180 , 0VZ CDE+Z BDE=180 , 0AZ CDE=Z BAC,VZ C=Z C,CDEs ACAB,CE 加 CE 、花ACE=2, AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：. BD=CD,丁 S ACDE=S BDE ，VBD=CD, AO=BO,AOD/AC,VA OBFs ABE,S d 醉 OB , ,Ir1?一.1$ 旌4abe=4Saobf ,ASS 型 2八 二T .s d

22、好 3 , S aabe=4S aobf=6S cde ,A S ACAB=S ACDE+S BDE+S ABE=8SACDE ,CDEs ACAB,VBD=CD, AB=AC,ffC 1r- =r f 沼 ；,即 AC= V- BC【解析】【分析】（1）连接 AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及CE DE二 1HHH：平行线的性质即可证明；（2）先证4CDES CAB得不 如，据此求得 CE的长，依据AE二ACCE二AB-CE 可得答案；(3)由BD=CD 知SzkCDE=SaBDE , 证 OBFs ABE 得AB d,据此知Sacab=8Sacde ,S as由 CDE

23、s CAB5 悭Sa abe=4Saobf , 结合、- -，知 Saabe=6Sa cde,I %，”,据此得出CA 7,结合BC 1BD=CD, AB二AC如必 7二，从而得出答案.7.如图，抛物线与工轴交于点与/轴交于点方.在线段况上有一动点E版。）（不与24重合），过点 工作工轴的垂线交仍于点交抛物线于点 出，过点,作期上加于点I.（1）求直线N5的函数解析式;_ w(2)求证：Zl m s zi A£A ；并求出当 龙为何值时，山必和I臼的相似比为,5 .I _3. +9/【答案】(1)解：令：y 6 ,则 ?7'"，解得：山 ? , M - /(舍)/.

24、 A (t, 0)令* = 4 ,得 f = J B(0, 3)-3k =沙=3 J(4M+b。解之得：b 33y = 一 ,丫 ' 3A 141(2)证明：: 上丽= N的 = 90°又/ NPNM /仙子AP的s aaEM卜金I 5! I31/ AAF -(4 - m) PN = - -pr AE = 4 m44 ， ，r 3/ 一iir * 3m 4tPN 65t二一(4 Ri)L4V J/.M， 二,侬 f (舍)A【解析】【分析】(1)设直线-必：y hi, 利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式, 据相似比列式计算即可.8.如图1,图形ABCD是由两个二

25、次函数 1“部分图像围成的封闭图形，已知 A(l, 0)、B(0, 1r- 3;A拆-+ 3)4 ：jffi求出A B点坐标，代入求出 k,b即可.(2) 分别表示出AN、PN的长，再根V ) 全与力=屋* b(a)0的 )、D(0, - 3).设直线AB： v h正力，把(hO) , 3J分别代入上式得：(1)直接写出这两个二次函数的表达式;ABCD上)，并说明(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形 理由;(3)如图2,连接BC、CD、AD,在坐标平面内，求使得 BDC与ADE相似(其中点C 与点E是对应顶点)的点 E的坐标.【答案】(1)解：H-/ + 5=3.3

26、(2)解：存在，理由：当该内接正方形的中心是原点O,且一组邻边分别平行于 x轴、y轴时，设 M(X,-x2+l)为第一象限内的图形 ABCD上一点，M1 ( x,3x2-3 )为第四象限内的图形上一点，MM'= ( 1-x2) -3 (3x2-3) =4-4x2 , 由抛物线的对称性知，若有内接正方形，则 2x=4-4x2 , BP 2x2+x-2=0, x= J 或 J (舍)，| -/ 71 - /十、/ / ；dvo< /,存在内接正方形，此时其边长为2(3)解：解：在 RtAOD 中，OA=1, 0D=3, /. AD= <OA' +浦 7" 同理

27、 CD=v'I -在 RtA BOC 中，OB=OC=1, BCK“d d 语二 V- .如图(1)Dlf DC点E,由ZH 而得EE咬DA于F点，作'DE DF 煦 2.5欣一。0 一月G ,有近16即:J .15S 音-J)E E M - EF DF -因/8 ,EM -DE 二加二：又2在 RtA DE M 中,DM=当 DBCa DAE时，因N CDB=Z ADO ,在y 轴上 存在一!13 jj p0 - TyjfO DE ,得 DE上，因 D （ 0,3）, E （ '' 二二）；由对称性知在直线DA右侧还存在一点E，使得 DBC-A DAE1,连接

28、E'M± OD,垂足为M,连接ED,YE、E，关于DA对称，DF垂直平分EE： A ADEF-ADAO,/.OM=1 ,得J,使得ADBCADAE的点E的坐标为（0,如图（2）用Dff DC当乙 DBCaADE 时，有 Z BDC二NDAE, Jj? d上,H _亚即4E ,得 AE= 当E在直线DA左侧时，设 AE交y轴于P点，作EQ, AC,垂足为Q.由N BDC=NDAE=N ODA, A PD=PA,设 PD=x,贝lj PO=3-x, PA=x,I-g - -,= oJLU在RtAAOP中，由力？，请，必得* = - N? + if ,解得广 W ,则有PA=J ,

29、4PO= J,同$T因AE= J PE=,在4AEQ 中，OP/ EQ,AP A( i i OP AP W一二 8= T - - - = -II. PE 也，得 、又 QE AE J ,I -L - JAQE=2, I. E (-),当E，在直线DA右侧时，因NDAEXNBDC,又 NBDC=N BDA, AZ BDA=Z DAE1, I3则 AE'/ OD, A E1 ( 1,-),/ -，- 2) (lr -则使得 DBCA ADE的点E的坐标为 或 综上，使得 BDC与aADE相似(其中点 C与点E是对应顶点)的点E的坐标有4个,4 g - " /J _少 门，-刍即(

30、0, 二)或 或 厘 或 /【解析】【解答】(1 ) ;二次函数yi -* ii/(k < 0)经过点A ( 1,0) , B (0,1)代入p m = Q Jr - - 1,期1 解得；加.二次函数打-N 7 ；二次函数 匕 a/ * b(a 勿经过点A (1,0) , D ( 0,-3)代入得a b = 6 ： a = 3.'b = - 3解得二一 1,二次函数,E = 3- 3 .【分析】(1)由A (1,0) , B (0 , 1)代入二次函数 J7 +困代 解出k, m的)，D ( 0 , -3 )代入二次函数yi的表达式；(2)判断是否存在，可O,且一组邻边分别平行于

31、x轴、y值可得二次函数yi的表达式；由A ( 1,0¥"'b(a /解出k, m的值可得二次函数 以列举出一种特殊情况：当该内接正方形的中心是原点轴时，则可设点 M ( x,x2+l)在yi图象上，则该正方形存在另一点M，( x,3x2-3)在y2图象上，由邻边相等构造方程解答即可；(3)对于 BDC与 ADE相似，且C于D对应，那么就存在两种情况：当点B对应点 A,即aDBCDAE,此时点E的位置有两处，一处在y轴上，另一处在线段 AD的右侧；当点B对应点DA时，即DBCZADE,些时点E 有两处，分别处于线段AD的左右两侧；结果两种情况所有的条件解出答案即可二、

32、圆的综合9.如图，在平面直角坐标系xoy中，E (8,0) , F(0,6).(1)当 G(4, 8)时，则 N FGE=0(2)在图中的网格区域内找一点P,使NFPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割 成两部分后，可以拼成一个正方形.要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画法).【答案】(1)90； (2)作图见解析，P ( 7, 7) , PH是分割线.【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求出 FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定 FEG是直角三角形，且 Z FGE="90” ° .(2) 一方面，由于 ZFP

33、E=90° ,从而根据直径所对圆周角直角的性质，点 P在以EF为直径 的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而 0P是正方形的对角线，即点 P在NFOE的角平分线上，因此可得 P( 7, 7) , PH是分割线.试题解析：(1)连接FE,VE ( 8,0) , F(0,6), G(4, 8),根据勾股定理，得 FGy5, eg=4v5 fe=10.+ (4/产=101 Bp FG2 + EG2- F 明 FEG是直角三角形，且 Z FGE=90 . °NG(2)作图如下:P(7 , 7) , PH是分割线.考点：1.网格

34、问题；2.勾股定理和逆定理；3.作图(设计)；4.圆周角定理.? , P是10.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB,点A的运动轨迹为AB半径OB上一动点，Q是？上的一动点，连接PQ.AB发现：NPOQ=时，PQ有最大值，最大值为 ；思考,： ( 1 )如图2,若P是OB中点，且 QP± OB于点P,求BQ?的长；(2)如图3,将扇形 AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧 QB'恰好与半径OA相切，切点为 C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.【答

35、案】发现：90°, 1歹2；思考：(1) 0 .(2) 25 Ji -100/2 +100； ( 3)点。到折痕PQ的距离为而一【解析】分析：发现：先判断出当 PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；思考：(1)先判断出ZPOQ=60° ,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；(2)先在 RtZi BOP 中，OP2+(10T 10)2=(10-OP) 2,解得 0=10在10,最后用面积的 和差即可得出结论.探究：先找点O关于PQ的对称点 o',连接OO'、O' B、O' C、O' P,证明四边形 OCCT B是矩1

36、形，由勾股定理求 O' B,从而求出OO'的长，则一OM=t00' =30.2详解，发现，v P是半径OB上一动点,Q是上的一动点，AB当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此 时，ZPOQ=90° , PQ=<f)A2 OB2 =10 3/r思考一： (1)如图，连接OQ,点P是OB的中点,.OP= OB=-OQ.22VQP± OB,Z OPQ=90 0OP在 RtAiOPQ 中，cos Z QOP= OQAZ QOP=60 , °1 BQ 610 -U)；1803(2)由折叠的性质可得，BP=B' P, AB&#

37、39; =AB=wG"2，在 RtaB'OP 中，Op2+(10 石 10)2= (10-OP) 2解得 OP=10 J-2 - 10,901fS 阴影二S 崩形 aob-2saaop二 1()221010)3602=25 Ji-1002 +100；探究：如图2,找点O关于PQ的对称点 0连接00 0, B、0, C、0, P, ?则 OM=O' M, OO' ± PQ, O' P=OP=3,点 O'是 B' Q 所在圆的圆心,图1S2：.Or C=OB=10,折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点,：.Or C&#

38、177; AO,O' C/ OB, 四边形OCO' B是矩形, 在 RtZk O' BP 中，O' 62 42 24"在OB(y K, O(y 41()2 q£)211OM二一 OO'y XO =730， 22即O到折痕PQ的距离为 730 .点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n R1=（ n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.11.（1）问题背景如图，BC是。O的直径，点A在。O上，AB=AC, P为BmC上一动点

39、（不与B, C重 合），求证：sfpA=PB+PC.小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB, AP, AC,且AB二AC,这就为旋转作了铺 垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将aPAC绕着点A顺时针旋转90°至QAB （如图）；第二步：证明Q, B, P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.（2）类比迁移 如图，。的半径为3,点A, B在。O上，C为。O内一点，AB=AC, AB± AC,垂足 为A,求OC的最小值.（3）拓展延伸4如图，。的半径为3,点A, B在。O上，C为。O内一点，AB= -AC, AB, AC,垂足3为A,则OC

40、的最小值为【答案】（1）证明见解析:【解析】试题分析：（1）将aPAC绕着点A顺时针旋转90。至QAB （如图），只要证明aATQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图中，连接OA,将 OAC绕点O顺时针旋转90°至QAB,连接OB, OQ,在BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；4（3）如图构造相似三角形即可解决问题.作AQ,OA，使得AQ=_oa,连接OQ,34BQ, OB.由 QABsOAC,推出 BQ=Y）C,当 BQ 最小时，OC 最小；3试题解析：（1）将4PAC绕着点A顺时针旋转90°至QAB （如图）；VBC是直径，Z BAC=90 , 0V AB=A

41、C, /. Z ACB=Z ABC=45 , 0由旋转可得 N QBA=N PCA, Z ACB=Z APB=45° , PC=QB,VZ PCA+Z PBA=180 , 0 A Z QBA+ZPBA=180 , 0 A Q, B, P 三点共线,2222B+BP=PC+PB,AP=PC+PB.（2）如图中，连接 OA,将 OAC绕点A顺时针旋转90°至 QAB,连接OB, OQ,VAB± AC,. Z BAC=90 ,°由旋转可得QB=OC, AQ=OA, Z QAB=Z OAC, /. Z QAB+Z BAO=Z BAO+ZOAC=90a ,在 Rt

42、OAQ 中，OQ=3 /，AO=3 , 即OC最小值是3 " - 3；在 OQB 中，BQ20Q- OB=3 丁- 3 ,使得AQ=OA,连接 OQ, BQ, OB.VZ QAO=Z BAC=90 , 0 Z QAB=Z OAC,QA7- -AB 一 ,OA AC 34 QABsOAC, A BQ= oc,3当 BQ 最小时，OC 最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BQ2OQ - OB, AOQ2, BQ的最小值为2,33*OC的最小值为一X 2l ,423故答案为1.2【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的 关键.12.如图，已

43、知在 ABC中，Z A=90° ,（1）请用圆规和直尺作出O P,使圆心P在AC边上，且与AB, BC两边都相切（保留作图痕 迹，不写作法和证明）.（2）若 N B=60° , AB=3,求。P 的面积.【答案】（1）作图见解析；（2） 3元【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作Z ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置.（2）根据角平分线的性质和30。角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面 积.【详解】解：（1）如图所示，则O P为所求作的圆.(2):Z ABC=60° , BP 平分 NABC, AZ ABP

44、=30 , °ZA=90 , °.e.BP=2APRtA ABP 中,AB=3,«由勾股定理可得：AP= 3，二So p=3 n13.如图，口 ABCD的边AD是 ABC外接圆。的切线，切 A,连接AO并延长交BC 点为于点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于P,且NBCP=NACD.点PC, PF与弧CF所围成【答案】（1）见解析；（2） 14【解析】【分析】（1）过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得N M+ N BCM=90° ,再 根据AB DC可得Z ACD=N BAC,由圆周角定理可得Z BAC= Z M, Z BCP

45、= ZACD,从 而可推导得出NPCM=90。，根据切线的判定即可得；（2）连接OB,由AD是OO的切线，可得Z PAD= 90° ,再由BC AD,可得AP± BC,从而得BE=CE= BC=1 ,野癖解到iJBC/ACB= 67.5 , °从而得到Z BAC= 45° ,由圆周 角定理可得N BOC=90° ,从而可得NBOE = NCOE=NOCE=45 ° ,根据已知条件可推导得出OE=CE=1, PC=OC= OE2 CE2 2，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影 部分的面积.【详解】（1）过C点作直径 CM,连接MB,

46、CM为直径, Z MBC=90 ° ,即 Z M+Z BCM= 90 ° , 四边形ABCD是平行四边形， AB DC, AD/ BC,AZ ACD= Z BAC,VZ BAC= ZM , NBCP = N ACD, N M = N BCP,AZ BCP+Z BCM= 90 ° ,即 Z PCM=90 ° ,ACM± PC,A PC与。O相切；(2)连接OB,TAD是。O的切线，切点为A,AOA±AD,即 Z PAD= 90 0 ,1 BCAD, ZAEB=ZPAD= 90 ° ,.AP_L BC. A BE= CE= BC

47、= 1,2，AB=AC, I. N ABC = N ACB= 67.5 , °AZ BAC= 180 ZABC-Z ACB= 45 ° , N BOC= 2N BAC=90 ° ,VOB= OC, AP±BC, Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 , °Z PCM= 90 ° , N CPO= Z COE= Z OCE= 45 ,45 / 22360【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较 强，准确添加辅助线是解题的关键.14.已知：如图，在四边形 ABCD中，AD BC.点E为CD边

48、上一点，AE与BE分别为 ZDAB和N CBA的平分线.(1)请你添加一个适当的条件 ，使得四边形 ABCD是平行四边形，并证明你的结 论；(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作。O (要求：尺规作图，保留 作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，。交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,4sinNAGF=_，求。O 的半径.5【答案】（1）当AD=BC时，四边形 ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5.【解析】分析：（1）添加条件 AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相

49、应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由 AE与BE为角平分线，可得出 AE BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF与FB垂直，可 与得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到Z AGF=Z AEB,根据sinN AGF的值，确定出sinN AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.详解：（1）当AD=BC时，四边形 ABCD是平行四边形，理由为：证明：V AD/ BC, AD=BC,四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；DC(3) V AD/7BC,AZ DAB+Z CBA=180

50、 , 0VAE与BE分别为ZD AB与N CBA的平分线,AZ EAB+Z EBA=90 , 0Z AEB=90 , 0VAB为圆O的直径，点 F在圆O上，I. Z AFB=90 , 0AZ FAG+Z FGA=90 , 0VAE 平分 Z DAB,AZ FAG=Z EAB,AZ AGF=Z ABE,4 AEs in Z ABE=sinZAGF=- ,5 AB'：AE=4. AAB=5.则圆O的半径为2.5.点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平 分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.15 .如图，。是 ABC的外接圆，AB是直径，过点O作ODLCB,垂足为点D,延长DO交。于点E,过点E作PELAB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF,（