2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷

1、2020 年上海市黄浦区中考数学一模试卷、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1（ 4分）已知线段 a 2，b 4，如果线段 b是线段 a和 c的比例中项，那么线段 c 的长度 是（ ）A 8B6CD 22（ 4分）在 RtABC 中， C90°，如果 AB m， A，那么 AC的长为（ ）A m?sin B m?cosC m?tanD m?cot3（ 4 分）已知一个单位向量，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（C）4（4 分）已知二次函数yx2，如果将它的图象

2、向左平移1 个单位，再向下平移 2 个单位，那么所得图象的表达式是（ ）52A y（ x+1 ） 2+22B y（ x+1）2 222Cy（ x1）2+2 Dy（ x1）224 分）在 ABC 与 DEF 中， A D60°，如果 B 50°，那么 E的度数是（ ）A 50 °B60°C 70°D 80 BC 的是（）CAD?ABDE?BCB、填空题：（本大题共 12题，每题 4 分，满分 48分）2（ 3 2 ）+（ 2 ）7（4 分）计算：6（ 4分）如图，点 D、E分别在 ABC的两边 BA、CA的延长线上，下列条件能判定EDDAD?AC

3、AB?AE8（ 4分）如图，在 ABC中，点 D、 E分别在 ABC的两边 AB、AC上，且 DE BC，如 果 AE5， EC3， DE 4，那么线段 BC 的长是 第1页（共 28页）9（4分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F如4 分）11AP> BP），那么的值是12如图，在 Rt ABC 中， ABC90°，BDAC，垂足为点 D，如果 BC4，sin4 分）AB 的长是13（4分）如果等腰 ABC 中，ABAC3， cosB，那么 cos A14（ 4分）如图，在 ABC 中，BC12， BC上的高 AH 8，矩形

4、 DEFG的边 EF在边BC上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上设 DEx，矩形 DEFG 的面积为 y，那么 y 关于 x（不需写出 x 的取值范围） 的函数关系式是写出一个对称轴是直线 x 1，且经过原点的抛物线的表达式15（ 4 分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC6厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上，且 ADE 与ABC 相似，如果 AE 6，那么线段 AD 的长是 17（4 分）如图，在 ABC 中，中线 BF、CE 交于点 G，且

5、CE BF，如果 AG5，BF 6，那么线段 CE 的长是18（4分）如图，在ABC中，ABAC，点D、E在边 BC上，DAEB30°，且，那么 的值是 cot45 °三、解答题：（本大题共 7题，满分 78 分）19（ 10 分）计算：20（10分）已知，如图，点E在平行四边形 ABCD的边 CD上，且 ，设 ， 1）用 、 表示 ；（直接写出答案）2）设 ，在答题卷中所给的图上画出 的结果21（ 10 分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验如图，两台测角仪分别放在 A、B 位置，且离地面高均为 1米（即 ADBE1 米），两台测角仪相距 50 米（即AB5

6、0 米）在某一时刻无人机位于点 C（点 C 与点 A、B 在同一平面内） ， A 处测得其 仰角为 30°，B 处测得其仰角为 45°（参考数据：1.41， 1.73，sin40° 0.64，cos40° 0.77， tan40° 0.84）（ 1）求该时刻无人机的离地高度； （单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行 2秒后到达点 F（点 F与点 A、B、C在同一平面内）， 此时于 A 处测得无人机的仰角为 40°，求无人机水平飞行的平均速度 （单位：米 /秒， 结果保留整数）22（ 10 分）在平面直角坐标系 xO

7、y 中，已知抛物线 y x+2，其顶点为 A（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线 BC平行于 x轴，交这条抛物线于 B、C两点（点 B在点 C左侧），且 cotABC 2 ，求点 B 坐标23（12 分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点 C 分别作 AD 、AB 的垂线，交边AD、AB 延长线于点 E、 F1）求证： AD ?DE AB?BF；2）联结 AC，如果，求证： 24（ 12分）在平面直角坐标系 xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛 物线顶点，且新抛物线的对称轴是 y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”

8、 （ 1）已知原抛物线表达式是 y x22x+5，求它的“影子抛物线”的表达式； （2）已知原抛物线经过点（ 1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y x2+5，求原抛物线的表达式；（ 3）小明研究后提出： “如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点， 且它们有相同的 “影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y 轴对称”你认为这个结论成立吗？请 说明理由25（14分）如图，ABC是边长为 2的等边三角形， 点D与点 B分别位于直线 AC的两侧， 且 AD AC，联结 BD 、CD，BD 交直线 AC 于点 E（ 1）当 CAD 90°时，求线段 AE 的长（2）过点 A作AH

9、CD，垂足为点 H，直线 AH交 BD于点F，SAEF 当CAD <120°时，设 AEx，y（其中 SBCE 表示 BCE 的面积，表示 AEF 的面积），求 y 关于 x的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 7时，请直接写出线段 AE 的长2020 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1（ 4分）已知线段 a 2，b 4，如果线段 b是线段 a和 c的比例中项，那么线段 c 的长度是（ ）A 8B6CD 2

10、【分析】 根据比例中项的定义，若 b 是 a， c的比例中项，即 b2ac即可求解【解答】 解：若 b 是 a、c 的比例中项，即 b2 ac422c，解得 c8，故选： A 【点评】 本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负D m?cot2（ 4分）在 RtABC 中， C90°，如果 AB m， A，那么 AC的长为（ ）A m?sinB m?cosC m?tan【分析】 根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案解答】 解：由题意，得ACAB?cosAm?cos， 故选： B 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键3（4 分）已知一个单位向量，

11、设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）A BCD【分析】 根据平面向量的性质一一判断即可【解答】 解： A、? 与 的模相等，方向不一定相同故错误C、 |与的模相等，方向不一定相同，故错误D 、?与 ? 的模相等，方向不一定相同，故错误D、?与 ? 的模相等，方向不一定相同，故错误故选： B 【点评】 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（ 4分）已知二次函数 yx2，如果将它的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 那么所得图象的表达式是（ ）2 2 2 2Ay（ x+1）2+2 By（ x+1）22 Cy（ x1）2+2 Dy（x1）22

12、【分析】 根据平移的规律即可求得答案【解答】 解：二次函数 yx2，将它的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后得 到的解析式为 y（ x+1）22故选： B 点评】 本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即左加右减，上加下减”54 分）在 ABC 与 DEF 中， A D60°，如果 B 50°，那么 E的度数是（ ）A 50°B60°C 70°D 80°【分析】 根据相似三角形的判定和性质解答即可【解答】 解： A D60°， ABC DEF ，B F50°， C E 1

13、80° 60° 50°70°故选： C 【点评】 考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似 三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角 平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方6（ 4分）如图，点 D、E分别在 ABC的两边 BA、CA的延长线上，下列条件能判定 ED BC 的是（）CAD?ABDE?BCDAD?ACAB?AE分析】 根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可【解答】 解： EAD CAB，当，当，即 AD ?ACAB?AE，ED

14、BC，故选： D 【点评】 本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定 定理是解题的关键二、填空题：（本大题共 12题，每题 4 分，满分 48分）7（4 分）计算： 2（3 2 ）+（ 2 ） 3 +4 【分析】 根据平面向量的加法法则计算即可【解答】 解： 2（3 2 ）+（ 2 ） 6 4 + 2 3 +4 ，故答案为 3 +4 【点评】 本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8（ 4分）如图，在 ABC中，点 D、E分别在 ABC的两边AB、AC上，且 DE BC，如 果 AE5， EC3， DE 4，那么线段 BC 的长是

15、 【分析】 证明 ADE ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题【解答】 解： DE BC， ADE ABC ， BC ，故答案为 【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题9（4分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F如 果，DF 15，那么线段 DE 的长是 6 【分析】 根据平行线分线段成比例解答即可【解答】 解： AD BE CF，DF 15，解得： DE 6，故答案为： 6【点评】 本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键10（4分）如果点 P是线段 AB

16、的黄金分割点（ AP>BP），那么 的值是 【分析】 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比【解答】 解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点（ AP>BP ），故答案为 【点评】 本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键11（4 分）写出一个对称轴是直线 x 1，且经过原点的抛物线的表达式答案不唯一 x2 2x） 【分析】 此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可【解答】 解：符合的表达式是 y x2 2x， 故答案为 y x2 2x【点评】 本题考查了二次函数的性质，能熟

17、记二次函数的性质的内容是解此题的关键AB的长是 2 如y4，sin12（4 分）如图，在 Rt ABC 中，ABC90°，BDAC，垂足为点 D，如果 BCBD，【分析】 在 RtBDC 中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出在在 Rt ABD 中，再求出 AB 即可解答】 解：在 Rt BDC 中， CD BC× sin DBC 4×，BC 4，sinDBC ，BD ABC90°， BD AC， A DBC ， 在 Rt ABD 中，AB×故答案为： 2 2 ，点评】 考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三

18、角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键，那么 cos A13（4 分）如果等腰 ABC 中， ABAC3，cosB分析】 过点 A作ADBC，垂足为 D，过点 C作 CEAB，垂足为 E，根据余弦的定义求得 BD ，即可求得 BC，根据勾股定理求得 AD ，然后根据三角形面积公式求得 CE，进步求得 AE，根据余弦的定义求得 cosA 的值解答】 解：过点 A作ADBC，垂足为 D，过点 C作 CEAB，垂足为 E， ADB 90°在 ADC 中， cos B BDAB1ABAC，ADBCBD DC，BC 2，AD AB?CEAD， CE AE cos A定理，三角形面积公式14（

19、 4分）如图，在 ABC中， BC12， BC上的高 AH 8，矩形 DEFG的边 EF在边BC 上，顶点 D、G分别在边 AB、AC上设DEx，矩形DEFG的面积为 y，那么 y关于x的函数关系式是y+12x（不需写出 x 的取值范围）【分析】 根据题意和三角形相似， 可以用含 x 的代数式表示出 DG，然后根据矩形面积公 式，即可得到 y与 x 的函数关系式【解答】 解：四边形 DEFG 是矩形， BC12，BC 上的高 AH 8，DE x，矩形 DEFG 的面积为 y，DGEF， ADG ABC，得 DG ，+12x， y x故答案为： y+12x点评】 本题考查根据实际问题列二次函数关

20、系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15（ 4 分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC6厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，【分析】 直接利用勾股定理得出 BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【解答】 解：如图所示：作 BE AE 于点 E，由题意可得， BC6cm，CF DC 8cm，故 BF 10（cm），可得： CFB BAE， C AEB，故 BFC BAE ，解得： BE 9.6点评】 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相

21、关性质是解题关键16（4分）在 ABC中，AB12，AC9，点 D、E分别在边 AB、AC上，且 ADE 与ABC 相似，如果 AE 6，那么线段 AD 的长是 8 或 【分析】 分类讨论：当 ADE ABC 和当 AED ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可解答】 解：如图 DAE BAC ， 当 ADE ABC，即，解得： AD 8，当 AED ABC，解得： AD ，故答案为： 8 或【点评】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等17（4 分）如图，在 ABC 中，中线 BF、CE 交于点 G，且 CE BF，如果 AG5，BF 6， 那么线段

22、CE 的长是 点 G是 ABC 的重心， AG2GK，BG 2GF，CG2EG， AG 5，BF 6，GK ，BG 4，CE BF， BGC 90°，BC 2GK 5， CG3， EG CG ， EC 3+故答案为 点评】 本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型18（4分）如图，在ABC中，ABAC，点D、E在边 BC上，DAEB30°，且那么 的值是122分析】 证明 ADE BAE，得出 AE2DE×BE，同理 ADE CDA ，得出 AD2DE× CD ，得出，设 CD 9x，则 BE4x，求出

23、AB×BE6x，作AM BC 于 M ，由等腰三角形的性质得出BMCM BC，由直角三角形的性质得出AM AB3x，BM AM3 x，得出 BC2BM 6 x，求出 DEBE+CDBC 13x 6 x，即可得出答案解答】 解： ABAC ， C B 30°， DAE B 30°， DAE B C， AED BEA， ADE BAE，AE2DE× BE，同理： ADE CDA ，AD2DE×CD，设 CD 9x，则 BE4x， AB × BE × 4x6x，作 AM BC 于 M，如图所示：ABAC，BM CM BC， B 3

24、0°，AM AB3x， BM AM3 x，BC 2BM6 x，DE BE+CDBC13x6 x，故答案为：1点评】 本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质三、解答题：（本大题共 7题，满分 78 分）等知识；证明三角形相似是解题的关键19（ 10 分）计算： cot45 °分析】 代入特殊角的三角函数值求值解答】 解：原式0点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值20（10分）已知，如图，点E在平行四边形 ABCD的边 CD上，且 ，设 ， 1）用 、 表示 ；（直接写出答案）2）设 ，在答题卷中所给的图

25、上画出 的结果分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；2）根据向量定理即可画出解答】 解：（ 1），即 DE CE，DE DC，+2）如图所示：即为的结果点评】 本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图21（ 10 分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验如图，两台测角仪分别放在 A、B 位置，且离地面高均为 1米（即 ADBE1 米），两台测角仪相距 50 米（即AB50 米）在某一时刻无人机位于点 C（点 C 与点 A、B 在同一平面内） ， A 处测得其仰角为 30 °，B 处测得其仰角为45°（参考数据： 1.41， 1.73，

26、sin40° 0.64，cos40° 0.77， tan40° 0.84)1）求该时刻无人机的离地高度；单位：米，结果保留整数）2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点 F（点 F 与点 A、B、C在同一平面内） ，此时于 A 处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度 （单位：米 /秒， 第18页（共 28页）结果保留整数）角形即可得到结论；H，设 CH x，则 BHx解直角三2）过点 F 作 FG AB，垂足为点 G，解直角三角形即可得到结论 解答】 解：（1）如图，过点 C作 CH AB，垂足为点 H， CBA 45BH CH，设 CH

27、 x，则 BH x在 Rt ACH 中， CAB30°，解得：，18+119答：计算得到的无人机的高约为 19m；2）过点 F 作 FG AB，垂足为点 G，在 Rt AGF 中，又答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或 26 米/秒【点评】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题，属于中考常考题型22（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y x+2，其顶点为 A（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线 BC平行于 x轴，交这条抛物线于 B、C两点（点 B在点 C左侧），且 c

28、otABC 2 ，求点 B 坐标【分析】（1）由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线 BC与对称轴交于点 D，则ADBD，设线段 AD的长为 m，则 BD AD?cot ABC 2m，可求点 B坐标，代入解析式可求 m的值，即可求点 B 坐标【解答】 解：（ 1）抛物线 （ x+2）2+3 的开口方向向下，顶点 A 的坐标是（ 2， 3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x 2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（ 2）如图，设直线 BC 与对称轴交于点 D ，则 AD BD 点 B 的坐标可表示为（ 2m2，3 m），代入 ，得解得 m1 0（舍）， m2 1，利用参数点 B 的坐标为（

29、 4， 2）点评】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，求点 B 坐标是本题的关键23（ 12 分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点 C 分别作 AD 、AB 的垂线，交边AD、AB 延长线于点 E、 F1）求证： AD ?DE AB?BF；2）联结 AC ，如果，求证：分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题推出 ACF CBF ，可得2）由 ACF CDE ， CDE CBF，又 ACF 与 CBF 等高，推出，可得结论解答】 解：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，ADBC， CDE DAB， CBF DAB， CD

30、E CBF，CE AE，CFAF， CED CFB 90°， CDE CBF，四边形 ABCD 是平行四边形，BC AD，CDAB，AD?DEAB?BF（2），CED CFB90°， ACF CDE ， 又 CDE CBF ， ACF CBF ，【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型24（ 12分）在平面直角坐标系 xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛 物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”（ 1）已知原抛物线表达式是 y x

31、22x+5，求它的“影子抛物线”的表达式； 第22页（共 28页）（2）已知原抛物线经过点（ 1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交 y 轴于同一点， 且它们有相同的 “影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y 轴对称”你认为这个结论成立吗？请说明理由22 【分析】（ 1）设影子抛物线表达式是 y x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标， 代入 yx2+n， 可求解；（ 2）设原抛物线表达式是 y（ x+m）2+k，用待定系数法可求 m， k，即可求解；（ 3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解【解答】

32、 解：（ 1）原抛物线表达式是 yx2 2x+5 （ x1）2+4 原抛物线顶点是（ 1， 4）， 设影子抛物线表达式是 yx2+ n，2将（ 1， 4）代入 yx2+n，解得 n3， 所以“影子抛物线”的表达式是y x2+3；（ 2）设原抛物线表达式是 y（ x+m） 2+k， 则原抛物线顶点是（ m， k）， 将（ m，k）代入 y x2+5，得（ m）2+5k ，将（ 1， 0）代入 y（ x+m） 2+k，0（ 1+m）2+k ，由 、 解得所以，原抛物线表达式是 y（ x+1） 2+4 或 y（ x 2） 2+1；（ 3）结论成立设影子抛物线表达式是 y ax2+n原抛物线于 y 轴交点坐标为（ 0，c） 则两条原抛物线可表示为 与抛物线 （其中 a、b1、b2、c 是常数，且 a0， b1 b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是将 P1、P2 分别代入 y ax2+n，消去 n 得， b1 b2，b1 b2P1、P2关于 y 轴对称【点评】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数