拉格朗日方程的应用与举例08讲

1、拉格朗日方程的应用及举例拉格朗日方程有以下几个特点：1拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含 n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。2拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取 而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。3 所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。4拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用 的广义力，避开了力、速度、加速度

2、等矢量的复杂运算。5拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对 运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，那么取决于所选的广义坐 标。纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的根底上，提出严密的分析方法，从描 述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论 上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和 规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所开展。我们 将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有

3、时过 于繁琐，并有较多的耦合项。应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标 q和广义速度q表示的动能函数和广义力 Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此根底上，再讨论拉 格朗日方程的应用。一、动能的计算对于系统的动能，可以写出关于广义速度 q的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用 理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。例1-1 质量为m,半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。 曲杆以匀角速度 1绕通过 O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。解：取广义坐标x和，x为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A点的

4、距离， 为曲杆OAB的转角， =1t。C的速度和相对于质心平动坐标应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心系的角速度。假设以曲杆 OAB为动参考系，C为动点,r x,ex 1，c. x2X2再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法,圆盘的角速度为于是圆盘的动能为1 m(x2x212)1 2mr4假设将动能表达式展开，得到T -mx41 mr21X1 mr4可以看出，圆盘的动能包含广义速度x的二次项，广义速度 x的一次项和它的零次项。二、广义力的计算概括地说，广义力有三种计算方法：1根据广义力的定义，有NXyiZiQjFiz - Fiy - Fiz -j 1,2, ,Ni 1qjqiqi我们可以

5、按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。2我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相 应的广义坐标的虚位移元功之和，即NnF i &ii 1对于完整系统，广义坐标的变分q1,q2,变分为qj,而令其它坐标变分均为零，即qjM 0,q1 = q2 =那么上式为NF i旳Qj旳ji 1,qn是彼此独立的。假设给出某一广义坐标的qj-1 = qj +1 = = qn = 0Fisri于是Qji 1sqjj 1, 2, ,n由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和Fii 1si的计算是我们熟悉的，那么广义力Qj对应于和的广义力以Q和Q_表示。于是，ycacos

6、Sca sin SyD2 a cosbcosS D2as in Sbsi nXb2a si n2bsi nS<B2 a cos S2bsin当获得变分，而保持不变，即=0时，AFsN(Xi SXiYi SiZi SZi)i 1解：系统具有两个自由度。依题意，取和并在o点用点的水平力,为广义坐标,当获得变分，而(2Fi acos RasinS1C2F1acos=0时,2P2asin )SPsin2 P2 sin2F1b cos SP2bsin SQj可较易地计算出。依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，那么可依 次计算出与广义坐标对应的广义力。这种方法是我们经常应用的。3假

7、设作用于系统上的主动力有势，那么通过势能函数即可求出广义力。设势能函数为 V,那么可应用式Vqj进行广义力的计算。例1-3 均质杆OA和AB在A点铰链连接， 铰链支承。杆重分别为 P1和P2, F1为作用于B 试求对应于和的广义力。2F1b cosP2bsinST - mvO2 Jo三、拉格朗日方程的应用应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：1分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是 保守的还是非保守的。2假设系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。3 计算出以广义速度表达的动能Tq, q，t、势能V q, t或广义力Q q,

8、 t，假设主动力有势，计算出拉格朗日函数Lq， q，t。4列出拉格朗日方程。例1-4 半径为R、质量为m的圆环挂在一半径为r的固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的 运动微分方程，并求微幅摆动的周期。解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取为广义坐标，圆环的动能为其中V。 R r o，瞬心为A，那么VoR于是T 2m(R r)2 2 2余昭 2 m(R r)2 2主动力有势，系统的势能为V = mg (R r) cos2m(R r)2ddtV2m(R r)2mg(R r) sin代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程:22m(R r) mg(R r) si n02(

9、 R r) g sin 0考虑到微幅，有2(R)周期为2n2(R r)由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数:2 2LTV m(R r) mg(R r)cos代入式1-25 中同样可以得到系统的动力学方程。2.摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方 程选为广义坐标，选解这是单自由度保守系统， 零势能位置，那么1 2T -m(l R )2 2V mg( I Rsin)(I R )cos 将T、V代入保守系统的拉格朗日方程dt或将拉格朗日函数L = TV代入如下形式的拉格朗日方程d T T V2gsin 0r，质量都是m，此机构位于水平(Id _l dt皆可得运动微分方程3.三均质齿轮，半

10、径皆为面，假设无重系杆受矩为 M的力偶作用；求系杆的角加速度解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角为广义坐标，那么有关的角速度和速度为VO22r, V034r该系统的广义力为动能为1 2 mvo221 mr22 1 22mvo322 211mr代入拉格朗日方程M222mrt = 0 时，x = 10cm， x= 0，求当例1-9 试求例1-1中圆盘的运动微分方程。又，假设x=20cm时，x为多少?例1-1 质量为m,半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。曲杆以匀角速度1绕通过0点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。解：由例1-1已求得动能T为

11、21 . 222、12XT m(x x 1 ) mr 1-2 4r水平台为零势面，那么圆盘的势能为V = 0系统的拉格朗日函数 L为LT莎*x212) 1mr42x1 _ rL1xmxmr1x2rdL13L2mxmxmx,-m 1 xdtx22x代入拉格朗日方程，有32x1 x 02由于系统是非定常的，虽然作用于圆盘上的主动力有势，但并不存在能量积分，由于拉格 朗日函数L不显含时间t，系统有广义能量积分。由动能表达式得到圆盘的广义能量积分为于是得到整理后，有3 2mx43 2mx4当 t = 0 时，xo = 10cm， Xo = 0，mr 1x,T0 -m2 2T2-T0 + V=常数.1

12、2mr42 21X12 h1 2 2 mr 143 mx42 21 xh1hl50 m于是有当 x = 20cm 时，x2200 114.1 1 cm/s例9质量为m,半径为r的圆环O竖立在一粗糙平面上。圆环 的边缘上刚连一质量为 m的质点A。试写出系统的运动微分方程。解：由圆环O和质点A组成的系统只能在地面上作纯滚动，自由度为1,取OA与铅垂线的夹角 为广义坐标，以系统为研究对象,O点处水平面为零势能面，那么系统的动能和势能分别为iJo 2fmvO1mvA1 2 2mr21m(r )2£m(r )22 2(r )2(r ) cosmr2(2cos )V mgr cos于是有mgr

13、sin代入拉格朗日方程，导出22(2 cos )( g r)sin 0x和圆柱体相对于楔块的位移为广义坐例1-7 三角楔块A可沿水平光滑面作直线 运动，楔块 A的质量为 mi,其上受有简谐力 F = H sin t的作用(H和 均为常量)。楔块斜边 BD 上有一质量为 m2、半径为r的圆柱体，沿 BD滚 动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为ki和k2o试建立系统的运动微分方程。解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移 标，二者均以其静平衡位置为原点。楔块A作平动，VAX ,圆柱体作平面运动，质心速度vc为Vc2 2x2x cos角速度为系统的动能T为rT2-m1 x21m2222212(x2x cos )m?r 4r1(m122m2)x3m2m2 x cos4系统的势能V为Vm2g sin 1 ki (x io)21 k2(20)22 2在平衡位置有关系式k1 ( 10 x) 0,m2g sink? 200于