圆幂定理讲义带问题详解

1、实用标准圆哥定理STEP 1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习。1. (2015?夏津县一模)一副量角器与一块含 30。锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MNk,顶点A, B恰好都落在量角器的圆弧上，且 AB/ MN若AB=8cm则量角器的直径 MN=cm【考点】【分析】OE的长,【解答】在直角.CD=BC sinB=4 xcm) ,.1.OE=CD=23,M3垂径定理的应用； KQ勾股定理；T7:解直角三角形.作CD! AB于点D,取圆心 O,连接 OA彳O已AB于点E,首

2、先求得 CD的长，即 在直角 AOE中，利用勾股定理求得半径 OA的长，则MN即可求解.解：作CDLAB于点D,取圆心 O,连接OA彳OELAB于点E.ABC中，/ A=30° ,则 BC=AB=4cm 在直角 BCD中，/ B=90° - Z A=60° ,在4AOE中，AE，AB=4cm贝"OA=Ae?+OE112 =21 (cm)，贝"MN=2OA诉(cm).故答案是：4fj.【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.文案大全实用标准2. （2017?阿坝州）如图将半径为2

3、cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过A. 2cm B.3cm C. 2d iCmD. 2 _；cm【考点】M2垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【分析】通过作辅助线，过点。作ODL AB交AB于点D,根据折叠的性质可知 OA=2OD根据 勾股定理可将 AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点。作ODL AB交AB于点D,连接OA; OA=2OD=2cm，AD=J0人2_qd 2可产 _（cm）,. ODL AB, . AB=2AD=2巧 cm.故选：D.【点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中

4、，O P的圆心坐标是（3, a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为4m,则a的值是（）MiZpXA. 4 B , 3m C .班 D . 3+V3【考点】M2垂径定理；F8: 一次函数图象上点的坐标特征；KQ勾股定理.【专题】11 :计算题；16 :压轴题.【分析】Pd x轴于C,交AB于D,彳P已AB于E,连结PB,由于OC=3 PC=a易得D点 坐标为（3, 3）,则4 OCM等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形.由 PE±AB,根文案大全实用标准据垂径定理得 AE=BE=Lab=2/2,在RtPBE中，利用勾股定理可计算出 PE=1,则P

5、D=PE= 衣，所以a=3+J2.【解答】解：作Pdx轴于C,交AB于D,彳PE! AB于E,连结PB,如图， 0P的圆心坐标是(3, a) , OC=3 PC=a,把 x=3 代入 y=x 得 y=3,. D点坐标为(3,3),. CD=3 . OCM等腰直角三角形，. PED&为等腰直角三角形， . PE± AB,. . AE=BE=LaBX4J=2&, 在 Rt PBE中，PB=3iLuPE=v'32T2&2二,PdV2PE<2， .a=3+/2.故选：B.【点评】本题考查了垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

6、查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.4.(2013?内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点A(13,0)，直线y=kx-3k+4与。交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D (3, 4),求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直径 垂直的弦，再求出 OD的长，再根据以原点 。为圆心的圆过点 A (13, 0),求出OB的长， 再利用勾股定理求出 BD,即可得出答案.【解答】 解：,直线 y=kx - 3k+4=k (x 3) +4,，k (x 3) =y - 4,k 有无数个值， x - 3=0, y - 4=0,解得 x=3, y=4,，直

7、线必过点 D (3, 4) ,最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， 点 D 的坐标是(3, 4) , OD=5文案大全实用标准以原点。为圆心的圆过点 A (13, 0),，圆的半径为13,.OB=13 ，BD=12 ，BC的长的最小值为 24;故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、 勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.STEP 2:新课讲解1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。、相交弦定理相交弦定理(1)相

8、交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内 一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等).几何语言：若弦 AB、CD交于点P,则PA?PB=PC?PD (相交弦定理)/ xL(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成B的两条线段的比例中项.1几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA?PB (相交弦定理推论)【例1】BP=4如图,。的弦AR CD相交于点P,若AP=3CP=2 贝U CD£为（基本题型:A. 6【考点】B. 12 C. 8 D.不能确定M7：相交弦定理.文案大全实用标准【专题】11 :计算题.【分析】由

9、相交线定理可得出 AP? BP=CP DP,再卞据AP=3 BP=4, CP=2,可彳#出PD的长, 从而得出CD即可.【解答】 解：AP? BP=CP? DP,. PD以也 CP. AP=3, BP=4, CP=2PD=6, .CD=PC+PD=2+6=.8 故选C.【点评】 本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形 ABCDfe。的内接四边形，AB=ZBC=3点E为BC上一点，且BE=1,延长AE交。于点F,则线段AF的长为【考点】M7相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE再由相交弦定理求出 EF,即可得出

10、AF的长.【解答】 解：二四边形 ABCD矩形， / B=90° ,AE=J"正 + 1 2 代， BC=3, BE=1,CE=2由相交弦定理得：AE? EF=B曰CE,匚匚1X2 2V5EF=F=AE 晶 5.-.AF=AE+EF=V;故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.综合题型【例2】（2004?福州）如图，AB是。的直径，M是。上一点，MNLAB,垂 足为N. P、Q分别是菽、的上一点（不与端点重合），如果/ MNP=MNQ文案大全实用标准下面结论： / 1=/ 2;/P+/

11、Q=180 ;/Q=/ PMN PM=Q M© MlN=PN? QN其中正确的是（）A.B. C. D.【考点】M7:相交弦定理；M2垂径定理；M4:圆心角、弧、弦的关系；M5:圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.【解答】 解：延长M滋圆于点 W延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE QF / PNMW QNM MNL AB,1 = 72 （故正确），/ 2与/ ANE是对顶角，1 = Z ANE.AB是直径, .可得 PN=EN同理NQ=NF 点 N 是 MW勺中点，MN? NW=

12、M=PN? NF=EN NQ=PN QN （故正确）, .MN NQ=PN MN . / PNM= QNM . NPMh NMQ/ Q=Z PMN（故正确）.故选B.【点评】 本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.与代数结合的综合题【例3】（2016?中山市模拟）如图，正方形 ABCDft接于。，点P在劣弧AB 上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO则柒的值为（）文案大全实用标准A 'fST B。/口C. .ID.-：【考点】M7相交弦定理；KQ勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】 设。的半径为r, QO=mU QP=m QC=r+m QA=r- m.利用

13、相交弦定理，求出 m 与r的关系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】 解：如图，设。的半径为r, QO=m则 QP=m QC=r+mQA=r m在O。中，根据相交弦定理，得 QA? QC=QP QD2_ 2即（r m） （r+m） =n? QD 所以 QD= .连接dq由勾股定理，得 qD=dO+qO,22即严 F >=/ + m2,ID解得所以，-二QA 嘲3一1故选D.【点评】本题考查了相交弦定理，即 “圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋？苏州期末）如图，O。过M点，OM

14、交。于A,延长。O 的直径AB交。M于C,若AB=8 BC=1,则AM=.文案大全实用标准【考点】M7相交弦定理；KQ勾股定理；M6圆周角定理.【分析】 根据相交弦定理可证 AB? BC=E? BF= （EM+MB （ML MB =AM- MEB=8,又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作过点 M B的直径EF,交圆于点E、F, 则 EM=MA=MF由相交弦定理知， AB? BC=EB BF= （ EM+M B （MF- MB =aM- mB=8,.AB是圆。的直径，/ AMB=90 ,由勾股定理得， aM+mB=aB=64 , .AM=6Ex、【点评】 本题利用了

15、相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.二、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等.几何语言： PBA, PDC是。的割线PD?PC=PA?PB （害U线定理）由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD基本题型【例5】（1998?绍兴）如图，过点P作。的两条割线分别交。于点A、B 和点G D,已知PA=3 AB=PC=2则PD的长是（）文案大全实用标准A. 3 B. 7.5 C . 5D. 5.5【考点】MH切割线定理.【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得 PA? PB=PC PD即可求得PD的长.【解答】解： PA=

16、3, AB=PC=2PB=5, PA? PB=PG PD, .PD=7.5,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【考点】MH切割线定理；KQ勾股定理.【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得【练习2】（2003?天津）如图，RtzXABC中，/ C=9（J , AC=3 BC=4以点 C 为圆心、CA为半径的圆与AB BC分别交于点D E.求AR AD的长.AB的长;延长BC交。C于点F,根据割线定理，得 BE? BF=BD? BA,由此可求出 BD的长，进而可求 得AD的长.【解答】 解：法1:在RtABC中，AC=3 BC=4;根据勾股定理，得 AB=5.延长BC交。C于点F,则

17、有：EC=CF=AC=3。C 的半径），BE=B。EC=1, BF=BC+CF=7由割线定理得，BE? BF=BD? BA,于是BD=-=-所以1 Q AD=AB- BD=5法2:过C作CML AB,交AB于点M,如图所示,文案大全实用标准SiA ABC=AC? BC=AB? CM 且 AC=3 BC=4, AB=5,2.CM在RtAACM,根据勾股定理得:AC2=AM+cM,即 9=AM (叫) 5解得:【考点】【分析】C 4 D. 4 7t【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.综合题型【例6】（2015?武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16九，过P作大圆的弦

18、AB,则PA? PB的值是（）MH切割线定理.过P点作大圆的直径 CD如图，设大圆半径为 R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到 PA? PB= (OC- OB ?(OP+OD=R2-r2,再利用兀R2兀r2=16 兀得到R2-r2=16,所以PA? PB=16【解答】 解：过P点作大圆的直径 CD如图，设大圆半径为 R,小圆半径为r, . PA? PB=PG PD,PA? PB= ( OC- OP ? ( OP+OD文案大全实用标准=(R r) ( R+r)=R2 - r2,两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为 16兀，R R - Tt 2 = 16 兀,.R2- r2=16, .PA?

19、 PB=16.故选A.【点评】本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路?三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等.几何语言： PBA, PDC是。的割线 PD?PC=PA?PB （害U线定理）由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.出【例7】（2013?长清区二模）如图，PA为。的切线，A为切点，。O的割线PBC±点。与。分别交于B、C, PA=8cm PB=4cm求。的半径.【考点】MH切割线定理.【专题】11 ：计

20、算题.【分析】 连接OA设。的半径为rcm,由勾股定理，列式计算即可.【解答】解：连接OA设。的半径为rcm, （ 2分）则 r2+82= （r+4） 2, （ 4 分）文案大全实用标准解得r=6 , .-.O。的半径为6cmi ( 2分)【点评】 本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握.【练习3】(2013秋？东台市期中)如图，点P是。直径AB的延长线上一点,PC切。于点C,已知OB=3 PB=2则PC等于()D. 5【考点】MH切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3,PB=2,则PA=8,代入可求出PC.【解答】 解：:

21、PC PB分别为。的切线和割线，PC2=PB? PA,. OB=3, PB=2PA=&PC2=PB? PA=2X 8=16, . . PC=4.故选C.【点评】 本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式pC=pb? pa四、切线长定理切割线定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线，不能度量；切线长是线段的CM长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4)切线长定

22、理包含着一些隐含结论:垂直关系三处;全等关系三对;弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.IV文案大全实用标准【例8】（2015?秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD且BC=10AD=7则四边形的周长为（）A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.【解答】 解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长 =2X （7+10） =34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题

23、关键.【练习4】（2015?岳池县模拟）如图，PA, PB切。于A, B两点，CD切。O 于点E交PA, PB于C, D,若。的半径为r, PCD勺周长为3r,连接OA OP则反内的值是（）PAA会后BV C t D噌【考点】MG切线长定理；MC切线的性质.【分析】利用切线长定理得出 CA=CF DF=DB PA=PB进而得出PA里r,求出即可.【解答】解：.PA, PB切。于A, B两点，CDW。于点E交PA PB于C, D,.CA=CF DF=DB PA=PBPC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3rPA=r ,2则?今的值是："3 0" ,r2 故选：D.【点评

24、】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键.文案大全实用标准【例9】（2014秋？夏津县校级期末）如图，P为。外一点，PA, PB分别切。O于A, B, CD切。O于点E,分别交PA PB于点C, D.若PA=5则 PCD 的周长和/ COS别为（）A. 5, (90° +/P)B. 7, 90。e C. 10, 90。-1/PD.g9°。方【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，即可得到连接OA OE OB根据切线性质，/PA=PBED=AD CE=BC从而求得三角形的周长 =2PA;P+/ AOB=180 ,再根据 CD为切线可知/ COD= Z AOB

25、2【解答】 解：PA、PB切。于A、B, CD切。于E, .PA=PB=10 ED=AD CE=BC . PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PAPA PCD的周长=2PA=10,; 如图，连接OA OE OB由切线性质得， OA! PA, OBL PB, OEL CD DB=DE AC=CE .AO=OE=Q B易证 AO二 EOC (SAS , EO阴 BOD (SAS , / AOCh EOC / EODW BOD ./ AOB=180 - / P,/ COD=90 - ZP. 2【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造

26、直角三角形解决有关问题，是基础题型.五、圆哥定理文案大全实用标准请尝试解出下列例题：【例10】（2005?广州）如图，在直径为6的半圆窟上有两动点M N,弓玄AM BN相交于点P,则AP? AM+BP BN的值为.【考点】M7相交弦定理；KQ勾股定理；M6圆周角定理.【专题】16 :压轴题；25 :动点型.【分析】 连接AN BM根据圆周角定理，由 AB是直径，可证/ AMB=90 ,由勾股定理知，BP2=MP+BM,由相交弦定理知，AP?PM=BPPN 原式=APAP+PM+BP( BP+PN =AP2+AP? PM+B2+BP ? PN=Ap+BP2+2AP? PM=AP+MP+BM+2A

27、P? PM=aP+ (AP+PM 2=Ap+AM=AB2=36.【解答】解：连接AN BM.AB是直径,/ AMB=90 .bpmP+bM. AP? PM=BP PN原式=AP (AP+PM +BP (BP+PN =AP2+AP? PM+BP+BP? PN=AP+BP2+2AP? PM=AP+MP+BM+2AP? PM=bM+ (AP+PM 2=BM+AM=AE2=36.【点评】 本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幕定理。（部分参考书以前三条为圆幕定理）圆幕定理：过平面内任一点P （P与圆心。不重合）做。的（切）割线,交。与点A、B,则恒有PA PB = OP

28、2 -r2。（ “ OP2 -r2 ”被称为点P到。O的幕。）文案大全实用标准STEP 3:落实巩固一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节。STEP 4:总结理念：本结课复习了什么？学到了什么?方法：学生口述+笔记记录。STEP 5:课后练习一.选择题（共5小题）1.如图所示，已知。中，弦AB, CD相交于点P, AP=6 BP=2 CP=4则PD 的长是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB, CD相交于巳因此AP? PB=C? PD,代入已知数值计算即可.【解答】 解：由相交弦定理得 AP? PB=C? PD,. AP=6, BP=2 CP

29、=4,PD=AP? PB+ CP=6X 2 + 4=3.故选D.【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.2 .。的两条弦 AB与 CD相交于点 P, PA=3cm PB=4cm PC=2cm 贝U CD=（:文案大全实用标准A. 12cm B. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA? PB=PG PD,. DP= - =.-J_=6cm, CD=PC+PD=2+6=8c啪选 C.PC 2【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的

30、长的乘积相等”进行计算.3 .如图，O。中，弦 AB与直径CD相交于点P,且PA=4 PB=6 PD=2则。O的半径为（）A. 9 B. 8C. 7 D. 6【分析】 根据相交弦定理得出 APX BP=CP< DP,求出CP,求出CD即可.【解答】 解：由相交弦定理得：APX BP=CP< DP, . PA=4, PB=6, PD=2.CP=12, .DC=12+2=14,CD是。O直径， 。0半径是7.故选C.【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出APX BP=CP< DP4.如图，A是半径为1的圆。外的一点，OA=2 AB是。的切线，B是切点，弦BC/

31、OA连接AC,则阴影部分的面积等于（）J0 J八A.当B.专C. *耳D.卷亨【分析】 连接OB OC易证： BOC是等边三角形，且阴影部分的面积 =4BOC的面积，据 此即可求解.【解答】解：连接OB OC.AB是圆的切线，文案大全实用标准/ ABO=90 , 在直角 ABOP, OB=1 OA=2 / OAB=30 , / AOB=60 , 1. OA/ BC, ./ COB=AOB=6O ,且 S 阴影部分=$ boc. BOC等边三角形，边长是 1 ,1. S阴影部分=Sabo后L故选A.【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明BOB等边三角形是解题的关键.5.

32、如图，PA, PB分别是。的切线，A, B分别为切点，点E是。上一点，且/ AEB=60 ,则/ P为（A. 120° B. 600C. 300 D. 45°【分析】 连接OA BO由圆周角定理知可知/ AOB=Z E=120° , PA PB分别切。O于点A、 B,利用切线的性质可知/ OAP=Z OBP=90 ,根据四边形内角和可求得/P=180° - ZAOB=60 .【解答】解：连接OA BQ,/AOB=Z E=120° , / OAPh OBP=90 , ./ P=180° - / AOB=60 .故选B.【点评】 本题考查

33、了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为 360度求解.文案大全实用标准.解答题（共3小题）6.如图，P为弦AB上一点，CP! OP交。于点C, AB=8求PC的长.,得至ij AP=-AB=2,4【分析】 延长CP交。于D.由垂径定理可知 CP=DP由AB=8, =3-PB 3PB=-AB=6再根据相交弦定理得出PC? PD=AP? PB,代入数值计算即可求解.【解答】 解：如图，延长 CP交。于D.-.CF>± OP .CP=DPab=8,制总，_ _ _ 3 _AP=AB=2, PB=AB=6.4 a AB、CD。的两条相交弦，交点为 巳 .PC? PD=A? PB, PC2=2X6, .PC=2. ；.【点评】本题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7.如图，AB, BC CM另I与。O相切于 E, F, G,且 AB/ CD BO=6cm CO=8cm求BC的长.A E S文案大全实用标准【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOB直角三角形.再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解：: AB, BC, CD分别与。O相切于E, F, G;/ ABC / BCO上 21. AB/ CD/ABC4Z DCB=180 , / CBO它 BCO=