导数综合练习题详细解答

1、导数练习题(B)1 .(本题满分12分)已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I)求c, d的值；(II)若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0,求函数f(x)的 解析式；1(III )在(II)的条件下，函数 y f (x)与y f (x) 5x m的图象有二3个不同的交点，求 m的取值范围.2 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) a ln x ax 3(a R).(I)求函数f (x)的单调区间；(II)函数f (x)的图象的在x 4处切线的斜率为 3,若函数g(x) 1x3 x2f'(x)在区间(1, 2323)上不是

2、单调函数，求 m的取值范围.3 .(本小题满分14分)已知函数f (x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围；2(II)若方程f(x) ( a 3)恰好有两个不同的根，求 f(x)的解析式；9(III )对于(II)中的函数 f(x),对任意 、 R,求证：|f(2sin ) f(2sin )|81.4 .(本小题满分12分)已知常数a 0, e为自然对数的底数，函数 f(x) ex x , g(x) x2 alnx.(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明 ea a；(II)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.5 .(本

3、小题满分14分)已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1) 1 .(I)当k 1时，求函数f(x)的最大值；(II)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;6 .(本小题满分12分)已知x 2是函数f(x) (x2 ax 2a 3)ex的一个极值点(e 2.718).(I)求实数a的值；3(II)求函数f (x)在x 3,3的最大值和最小值.27 .(本小题满分14分)已知函数 f(x) x2 4x (2 a)lnx,(a R,a 0)(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；2 _(II)求函数f (x)在区间e,e 上的取小值.8 .(本小题满分12分)已知函数f (x) x

4、(x 6) aln x在x (2,)上不具有 单调性.(I)求实数a的取值范围；2(II)右f (x)是f(x)的导函数，设g(x) f (x) 6 一,试证明：对任意两个不相等正数xi、x2,x不等式x1) g(x2)|凯x2|恒成立9 .(本小题满分12分)1 2已知函数 f(x) x ax (a 1) ln x, a 1.2(I)讨论函数f(x)的单调性；f (x1)f (x2)(II)证明：右 a 5,则对任息 x1，x2 (0,),x1 x2,有 1.x1 x210 .(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x) - x a In x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(I)若函

5、数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围；(II)若 a (1, e (e 2.71828L ),设 F(x) f (x) g(x),求证：当 为必1,a时，不等式|F(Xi) F(x2)| 1 成立.11 .(本小题满分12分)设曲线 C ： f(x) lnx ex (e 2.71828 ), f (x)表示 f(x)导函数.(I)求函数f(x)的极值；(II)对于曲线C上的不同两点 A(X1,y) , B(x2,y2) , x x2,求证：存在唯一的 小 便房)，使直线AB的斜率等于f(x0).12 .(本小题满分14分)定义 F(x,y)

6、(1 x)y,x,y (0,),(I)令函数f (x) F(3,log2(2x x2 4),写出函数f(x)的定义域；(II)令函数g(x) F (1,log2(x3 ax2 bx 1)的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线 C在Xo( 4 Xo1)处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；(III )当 x,y N * 且 x y 时，求证 F (x, y) F (y, x).导数练习题(B)答案1 .(本题满分12分)已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I)求c, d的值；(II)若函数f (x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0,求函数f(x)的

7、 解析式；1(III )在(II)的条件下，函数 y f (x)与y f (x) 5x m的图象有二3 个不同的交点，求 m的取值范围.解：函数f(x)的导函数为 f'(x) 3ax2 2bx c 3a 2b (2分)(I)由图可知函数f(x)的图象过点(0, 3),且f'(1) 0(4分)x2 4x 3 5x m有三个不等实根,/曰 d 3d 33a 2b c 3a 2b 0 c 0(II)依题意f'(2)3 且 f(2) 512a 4b 3a 2b 38a 4b 6a 4b 3 5解得a 1,b6所以 f (x) x3 6x2 9x 3 (8 分)(III) f (

8、x) 3x2 12x 9.可转化为：x3 6x2 9x 3即：g xx3 7x2 8x m与x轴有三个交点；- 2g x 3x 14x 8 3x 2 x 4 ,x2,323口 344,g x+0-0+g x增极大值减极小值增2 68g m, g 416 m . (10 分)3 27当且仅当g 2 些m 0且g 416 m 0时，有三个交点，32768 ，一故而， 16 m 为所求.(12分)272.(本小题满分12分)已知函数 f(x) alnx ax 3(a R).(I)求函数f (x)的单调区间;(II)函数f (x)的图象的在x 4处切线的斜率为 3,若函数g(x) 1x3 x2f

9、9;(x)在区间(1, 2323)上不是单调函数，求 m的取值范围.解：(I) f'(x) a" X)(x 0)(2 分)x当a 0时，f(x)的单调增区间为0,1，减区间为1,当a 0时，f (x)的单调增区间为1,，减区间为0,1;当a=1时,(II) f'(4)f(x)不是单调函数3a 3/曰一得a(5分)1 g(x) 3x42m 2(2)x22, f(x) 2ln x_22x, g'(x) xg(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且 g(0)2x(m4)x 2 (6 分)g'(1)g'(3)0,0.(8分)3,19 (1。分)m,19

10、-,3)3(12 分)3.(本小题满分14分)已知函数f (x)x32axbx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值.(I)求实数a的取值范围;(II)若方程f(x) 宣3)2一心恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式;9(III )对于(II)中的函数f (x),解：(I) f (0) 0 f (x) 3x2c 0, f (x) 3x22ax (2a由 f (x) 03) (x2a 3对任意 、2ax b, f1)(3x 2aR ,求证：| f (2sin ) f(2sin )| 81 .(1) 0 b 2a 33),1时取得极大值,2a 3所以 33 ,所以a的取值范围是:(,3)

11、;(4分)2(2a 3)29f (x) x3一 2 一9x2 15x(II)由下表:x(,1)12a 3(1, )2a 3 32a 3(,)f (x)+0-0-f(x)递增极大值a 2递减极小值a 69a6(2a 3)227递增a 6o依题意得：a6 (2a 3)227所以函数f(x)的解析式是:(10分)(III)对任意的实数都有在区间-2, 2有:f ( 2)2 2sin8 36 302, 2 2sin 2,74, f (1) 7, f(2) 8f (x)的最大值是f(1) 7, f (x)的最小值是f( 2)函数f(x)在区间2,2上的最大值与最小值的差等于 所以 | f(2sin )

12、f(2sin )| 81 .8 36 3081 ,36 30 274(14分)4.(本小题满分12分)已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数 f (x) ex x , g(x) x2 aln x.(I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a；(II)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.(2分)解： f (x) ex 1 0,得f(x)的单调递增区间是(0,- a0, f(a)f (0) 1 ,ea a 1 a ,即 eaa .(4分)(II)ga(x) 2x xx(0,冷)2V2a 2(华，)2g (x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增2(x 年)(x 毋)由g(

13、x) 0,得x号，列表,2ax 2时，函数y、2ag(x)取极小值g (一二)aa 一 (1 ln-),无极大值.22(6分)(I) ea2a ea，:ag(1) 1 0g(ea) e22aa(ea)(ea)(8分)当用2(ii)当二a2时，函数yg(x)在区间(1,ea)不存在零点a若一(12a若二(1 2若a(1 2综上所述,2 a ln )2 ,a In )2 ,a In )2a 2e时，函数2e时，函数y2e时，函数yy g(x)在区间(1,ea)不存在零点g(x)在区间(1,ea)存在一个零点x e；g(x)在区间(1,ea)存在两个零点;a2ey g(x)在(1,ea)上，我们有结

14、论:2e时，函数f(x)无零点； 时，函数f(x)有一个零点；当a 2e时，函数f(x)有两个零点.(12 分)5.(本小题满分14分)已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1) 1 .(I)当k 1时，求函数f (x)的最大值;(II)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围;解：(I)当 k 1 时，f (x)f(x)定义域为(1, + 当 x (1,2)日:，f(x)2 xx 1)，令 f (x)0 ,当 x (2,0,得 x 2,)时，f (x) 0 ,(2分) f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,)上是减函数当 x(II)当，函数2时，f(x)取最大值f (2) 0(4分

15、)当kk 0时，函数y ln(xf(x)有零点，不合要求;1)图象与函数y k(x1)1图象有公共点,(8分)0时，f (x) kx 1kx11k(x 一kk-2(6分),k 1令 f (x) 0,得x ，: xk,1 f(x)在(1,1 )内是增函数,k(1,号k在1)时，f (x) 0, x (11，一 ，一一-,)上是减函数, k)时，f(x) 0,一 ，1. f(x)的最大值是f(1 -) k:函数f(x)没有零点，因此，若函数f(x)没有零点，则实数k 1 ,k的取值范围k (1,(10 分)6.(本小题满分12分)已知x 2是函数f (x)(x2 ax 2a 3)ex的一个极值点e

16、 2.718(I)求实数a的值;(II)求函数f (x)在 x解：由 f(x)(x2 ax3,3的最大值和最小值.22a 3)ex可得a 3ex(4分)(x) (2 x a)ex (x2 ax 2a 3)ex x2 (2 a)xx 2是函数f(x)的一个极值点，f (2) 02(a 5)e2 0 ,解得 a(II)由由f (x)f (x)(x 2)(x 1)ex50,得 f(x)在(,1)递增，在(2,)递增,(6分) f(2)0,得f(x)在在(1,2)递减23e是f (x)在x - ,3的最小值;2(8分)37 323f(-) -e2 , f(3) e3 f(3)f(-)24233 f(x

17、)在 x ,3的最大值是 f(3) e3.27.(本小题满分14分)已知函数 f(x) x2 4x (2 a)ln x,(a(I)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；7-e4R,a0)1厂3-e2(4e . e 7) 0, f(3)f (-)42(12 分)(II)求函数解：(I) f(x)f (x)在区间e,e2上的最小值.x2f'(x) 2x4x 16lnx,162(x 2)(x 4)由 f'(x) 注意到x 由 f '(x) 注意到x 综上所述,0 得(x 2)( x 4) 0,解得 x0,所以函数f(x)的单调递增区间是(4, +8)0 得(x 2)( x

18、4) 0,解得-2vxv4,0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4.函数 f(x)的单调增区间是(4, +8),单调减区间是(0,4a) 0 ,2(n)在 x e,e 时，f (x)2 a所以f'(x) 2x 4 x2_设 g(x) 2x 4x 2 a 当 a 0时，有 4=16+4 X2(2 此时g(x) 0,所以f'(x)2x 4x (2 a)In x2x2 4x2 a8a 0 ,f (x)在e,e2上单调递增,2,所以 f(x)min f(e) e 4e 2 a8 分当 a 0 时，U16 4 2(2 a) 8a 0,令f'(x) 0,即2x2 4x 2 a

19、 0,解得x 1三空或x 1上2a ；22.2a22a令 f (x) 0,即 2x 4x 2 a 0,解得 1 x 12若 1 二a >e2,即 a W(e2 1)2 时，222、4. 2f (x)在区间e,e 单倜递减，所以 f (x)min f(e ) e 4e 4 2a .2a 2_ _2_22 .若 e 1 -a e ,即 2(e 1) a 2(e1)时间，2,、.2a 、，、2a 2、，_f (x)在区间e,1 0一上单调递减，在区间1 g,e2上单调递增,_ ,、-2a a , 2 a所以 f(x)min f(1 ).2a 3 (2 a)ln(1 ).222,J2a2若 1

20、we,即 0 a<2(e 1)时，2所以 f (x)min f(e) e2 4e 2 a综上所述，当a>2(e2 1)2时，f(x)min当 2(e 1)2 a 2(e2 1)2时，f(x)min22_当 aw2(e 1)时，f(x)mine 4e 22_f (x)在区间e,e 单倜递增，a4 4e2 4 2a；a2a-J2a 3 (2 a)ln(1 -);a14分8.(本小题满分12分)上不具有单调性.已知函数 f (x) x(x 6) aln x 在 x (2,(I)求实数a的取值范围；2(II)若f (x)是f(x)的导函数，设g(x) f (x) 6 )，试证明：对任意两个

21、不相等正数xx2,x不等式 |g(x1)g(x2)| 38|x1 x2| 恒成立.272 八a 2x 6x a八斛：(I) f (x) 2x 6 - , (2 分)x x f(x)在x (2,)上不具有 单调性，在 x (2,)上f (x)有正也有负也有 0,(4分)即二次函数y 2x2 6x a在x (2,)上有零点232 y 2x 6x a是对称轴是x -,开口向上的抛物线，. y 2 26 2 a 02的实数a的取值范围(，4) (6分)a 2(II)由(I) g(x) 2x - -2, x x.2a2方法 1: g(x) f (x) 6 2x (x 0),xx x3a4c442x 4x

22、4a 4,-g(x) 2 23 , (8 分)x x x x x、六 一、c44, ,、8仅 h(x)223，h (x)-3X XX33h(x)在(0,)是减函数，在(，2212 4(2x 3)4X X)增函数，当X38, ,、 38 、从而 g (x) , (g(x) x)27270,函数T时，h(x)取最小值空227一 38g(x) 一x是增函数，为、X2是两个不相等正数，不妨设 xX2 ,则 g(X2273838) 27 X2 g(X1)27 X138 ,、 g(X2) g(x) 27(X2 X1)，: X2Xi0. g(X。g(X2) 38x1x227.g(Xi) g(X2)X1X2方

23、法 2： M (X1,g(X1)、38 广27，即 |g(X1) g(X2)|N(x2,g(x2)是曲线 y38,|X1 X2I27g(X)上任意两相异点,(12 分)g(xi) gM)2(X1X2)X1 X22(X1 X2)22X1 X2X1X2= ，tX1X22 2X1 X2X1X24X22 X1X2 ,(.X1X2 )3u(t) 22(t) 0 ,得 t ,由 u (t) 0 得 03 2、 一 一, ，2u(t)在(0,一)上是减函数，在(-33u(t)在t 2处取极小值338即 |g(x) g(X2)| 药 |x9.(本小题满分12分)38, 27X1X2(“)3X1X2(8分)32

24、4t 4t ,t|,u(t)4t(3t 2),)上是增函数,g(x1)g(x2)38X1X227,、38u(t) 一，.所以2712分)12已知函数f (X) X 2aX (a1)ln x, a1.(I)讨论函数f(X)的单调性;(II)证明：若a 5,则对任意X1,X2(0,),X1X2,有 331.(1) f(X)的定义域为(0,),f'(X)X12x ax a 1xX2(x 1)(x 1 a)x(i)若 a1 1,即 a2,则f1(X)(Xf(X)在(0,)单调增加.(ii)若 a 当X (1,1 1,而 a1,故1(0,a 1)及 x (1, )单调增加.a 2,则当 x (a

25、 1,1)时，f'(X) 0.)时，f'(X)0,故f(x)在(a 1,1)单调减少，在(0, a-1),(iii)若a 1 1,即a 2,同理可得f(X)在(1,a 1)单调减少，在(0,1),(a 1,)单调增加.(II)考虑函数 g (x) f (x) xax (a 1) ln x x.由 g'(x) x (a 1) -1 2，x a1 (a 1) 1 (<a 1 1)2. x x x由于a a5,故g'(x) 0,即g(x)在(0,)单调增加，从而当xx20时有g(x1) g(x2) 0,即 f(x1) f(x2) x1头20,f(x1)f(x2)

26、f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)故 1,30 x1 x2 时，有 1x1x2x1x2x2x110.(本小题满分14分)1 2已知函数 f(x) - x a In x, g(x) (a 1)x ,a 1.2(I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a的取值范围；(II)若 a (1, e (e 2.71828L ),设 F(x) f (x) g(x),求证：当 为尼1,a时，不等式 |F(x1)F(x2)| 1 成立.解：（I） f （x） x a, g （x） a 1 , x函数f（x）, g（x）在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同

27、,，当 x 1,3时，f (x) g (x) (a-1(xa) 0 恒成立， x2.即(a 1)(x a) 0恒成立，a1a1 42在x 1,3时恒成立，或2在xaxax1,3时恒成立,9 x 1 , .a 1 或 a 9（2分）（4分）（6分）、_1 2_(II) F(x) -x aln x, (a 1)x, F (x) 21)(x a)(x 1)x F(x)定义域是(0,) , a (1, e,即 a 1F（x）在（0,1）是增函数，在（1,a）实际减函数，在（a,）是增函数1，当x 1时，F(x)取极大值M F(1) a -,21 2当 x a时，F(x)取极小值 m F(a) aln

28、a -a a2，(8分)X,x2 1,a, . |F(x1) F(x2)| | M m| M m(10 分)、一1 2.1 一一 .设G(a)M m -aalna 一，则 G (a)a Ina 1,22-1-G(a)1/ a (1, e, . G(a)0aG (a) a In a 1 在 a (1, e是增函数，G (a) G (1) 0、1 2.1 , G(a) -a a In a 一在 a (1,e也是增函数(12分)22 G(a) G(e),即 G(a) 1e2 e 1 (e- 1, 2221 21(e1)2彳(31)2而一ee -111111 1 , G(a) M m 12 222，当

29、 X,X2 1,a时，不等式 | F(Xi) F(X2)| 1 成立. (14 分)11.(本小题满分12分)设曲线 C ： f(x) lnx ex (e 2.71828 ), f (x)表示 f(x)导函数.(I)求函数f(x)的极值；(II)对于曲线C上的不同两点 八(不，必),BGm) , X x2,求证：存在唯一的 区必)，使 直线AB的斜率等于f(x0).11 ex1斛：(I) f (x) 一 e 0,得 x -x xe当x变化时，f (x)与f(x)变化情况如下表:X1(0) e1 e1(一，) ef (X)十0一f(x)单调递增极大值单调递减当x 1时，f(x)取得极大值f (1

30、)2,没有极小值； (4分)ee1 lnx21nxie(x2x1)x2x1,x2-(ID (万法 1) .f (x0) kAB, .一 e -21- ,1 1n 0xoX2 xxox1即 x0 ln 至(x2 x1) 0,设 g(x) xln 上(x2 x,)g(x) x1 In x2 (x2 x,)，g(x)： ln & 1 0, g(x,)是 x1的增函数， x1x1.为 x2,. g(x,) g(x2)x2ln&(x? x?)0；x2g(x2) x2ln 生(x2 x),9(x2)：In x2 10,g(x2)是 x2的增函数，X2x,x,x1 x2, . g(x2) g

31、(x,) x1 In (x, x1) 0,x,，函数 g(x) xln 迄(x2 x,)在(x, xz)内有零点 x0, (10 分)x,又瓶 1, 1nx 0 ,函数g(x) xln -x2 (x2 x1)在 仇区)是增函数，x,xIx，函数g(x) :一x1 In”在 区区)内有唯一零点x0,命题成立 (12分)xx1(方法 2) . f (x°) kAB,- e lnx2 1nxi e(x2 x1),x0x2 x,即 Inx2x0Inx1xX20 ,x0(为8)，且x0唯一设 g(x) xIn x2 xIn x1x1x2,则 g(x1) x11nx2 x 1nxi x1x2,再设 h(x) xIn x2 xIn xxx2,0 x x2, h (x) In x2 Inx01- h(x) xIn x2 xIn x x x2在0 x x2是增函数g(x1) h(X1) h(x2