名师指点解题技巧二面角的计算方法选讲

1、学习必备欢迎下载AB_ A D=A B_L平面VA D名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法，供同学们学习参考。一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线;三垂线法：如图1, C是二面角a AB P的面P内 / J一1一 / 4的一个点，CO_L平面a于O,只需作 ODLAB图1于D,连接CD,用三垂线定理可证明/ CDO就是所求二面角的平面角。垂面法：即在

2、二面角的棱上取一点，过此点作平面 不，使尸垂直于二面角的棱，则 ? 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例1如图2,在四棱锥 V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形, 平面 VAD，底面 ABCD .(1)证明AB，平面VAD ;(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.V解：(1)证明：平面VAD_L平面 ABCD AB二平面 ABCDAD=平面VAD平面 ABC D(2)解：取 VD的中点E,连结AF, BE,.VAD是正三形，四边形 ABCD为正方形,由勾股定理可知，BD =、. AB2 AD2 =；/AB2 VA2 =VB, AEXVD , B

3、EXVD ,/ AEB就是所求二面角的平面角学习必备欢迎下载又在 RtAABE 中，/ BAE=90 , AE=费 AD= AB 22因此，tan / AEB= AB =空3 . AE 3即得所求二面角的大小为 arctan 2-.3例2 如图3, AB，平面 BCD, DCXCB, AD与平面BCD 成 30 的角，且 AB=BC.(1)求AD与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角 C-AD-B的大小；(3)若AB=2 ,求点B到平面ACD的距离。解：(1) AB，平面 BCD , / ADB 就是 AD与平面 BCD所成的角，即/ ADB=30 0,且CDXAB ,又. DCLBC,

4、ABBC=B,CD，平面 ABC , AD与平面ABC所成的角为/ DAC ,设 AB=BC=a,则 AC= T2a , BD=acot30 0= a ,AD=2a, CD=%；BD2BC2 =j2a,tan/ DAC= AC _、2a _1/DAC =45, ,CD 2a即，AD与平面ABC所成的角为45.(2)作CEXBD于E,取AD的中点F,连CF,AB，面 BCD, ABU面ABD,面 ABD，面 BCD,又二 面 ABDA 面 BCD=BD, CE 仁面 BCD, CEL BD ,CEM ABD ,又. AC=BC= ,2a, AF=FD , ，AD，EF,有三垂线定理的逆定理可知，

5、/ CFE就是所求二面角的平面角.计算可知，CE =BC CD =a ， AD = J AC2 4 CD2 = 2a, CF=1AD=a,BD 32学习必备欢迎下载CE 66sin/CFE =,，/ CFE=arcsin CF 33故，所求的二面角为.6arcsin33.略例3如图4, P是边长为1的正六边形 ABCDEF所在平 面外一点，PA=1, P在平面ABC内的射影为BF的中点O.(1)证明 PA BF ；(2)求面APB与面DPB所成二面角的大小。解：(1)在正六边形 ABCDEF中，AABF为等腰三角 形，P在平面ABC内的射影为 O,POL平面 ABF,AO为PA在平面ABF内的

6、射影；又。为BF中点， MBF为等腰三角形，AO BF ,有三垂线定理可知,PABF.(2) :。为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，A、O、D共线，且直线 AD BF,POL平面 ABF, BFu 面ABF,由三垂线定理可知，ADXPB,过O在平面 PBF内作 OHLPB于H,连 AH、DH , 则 PBL平面 AHD,所以/AHD为 所求二面角平面角。又.正六边形 ABCDEF的边长为1, AODOBOo21也=_2_ 7_OH . 212% 217，.一 ，一,2?一在 MHO 中，OH =,tan/AHO-_ DO 2 421 在 &DHO 中，tan/DHO =、OH212学习必备

7、欢迎下载从而，tan . AHD =tan(. AHO . DHO )=7212 . 212_7. 211=-2 21216. 219故，所求的二面角为，16.21二-arctan -.二、面积射影法：如图5,二面角aP为锐二面角，ABC在半 平面a内，ABC在平面p内的射影为 A1B1C1,那么二面角a_l _p的大小日应满足cose = *.例4如图6,矩形ABCD中,AB=6,BC= 2，3,沿对角线BD将AABC折起，使点A移至点P且P在平面BCD内的射影为。，且O在DC上.(1)求证:PDPC;(2)求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；(3)求CD与平面PBD所成的角的正弦值.解：

8、(1)证明： PC在面BCD内的射影为 OC,且OCLBC,由三垂线定理可知，BCXPC,又 PB=6, BC= 2V3 ,PC= 2 J6,而 PD= 2/3 , DC= 6学习必备欢迎下载222PD +PC =36=DC2, PDXPC.1(2) ZPBD在面BCD内的射影为 AOBD,且5衣叱父6父2曲=63,222_2设 OC=x,贝U OD=6-x , BD2 -DO2 =BC2 -CO2,一 2一 224x =12-(6-x) , x = 4.S bod =6.3-43 =2、3,设二面角P-DB-C的大小为0 ,则cose = 坐 =-.6.3 31故，所求一面角为 arccos

9、-.3三、空间向量法：I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。例5 如图7,直二面角D-AB-E中，四边形 ABCD是边长为2的正方形，AE = EB ,F为CE上的点，且BFL平面ACE.(1)求证：AEL平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离。解：(1) 二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CBXAB ,CBL平面EAB ,进而可得，CBXAE ,又 BFL平面 ACE, AE XBF,而 BCU 平面 BCE, BFU 平面 BCE,且 BCD BF=F,，AE，平面 BCE.(2)连结BD交AC于点O,连结OF,由于A

10、BCD为正方形，所以 OBLAC,又因为BFL平面ACE,由三垂线定理的逆定理可知，OFLAC,/ BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作Ax LAB,以A为原点，分别以 Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建 立 如图7的空间直角坐标系，易知 AEB为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1),B(0, 2, 0),C(0,2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 )，设 F ( m, n, t ), C、E、F 三点共线,学习必备欢迎下载 CF= CE,即 m, n-2, t-2 = - 1,-1,-2 ,m =九，n =2 九，t =2 2九，即点

11、F坐标为（儿,又 BFXAC ,B?AC= 0 ,即(入“ 2-2入 0,2,2 = 0,九=2,故，点f的坐标为3烂 3 3 J，2 11 )OF = I 一，一，一一 ,(3 33)OB = 0,1,-1 .OF OB cos ZBOF =OB一 3故，所求的二面角为arccos 33I, II、直接求出平面a和B的法向量n、n2 ,利用向量的夹角公式求T Tnpn2的夹角，再根据法T T向量n、n2分别相对于二面角 aP的方向确定出二面角otlP的大小。一般地，当法向T T量n、n2都是从二面角a -l -P的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角a -l -P的大小就是叫、出的夹角的

12、补角；当法向量 小、叫一个从二面角a-l-P的内部向外部穿行，另TT个从二面角 汽_p的外部向内部穿行时，二面角ot -l -P的大小就是n1、n2的夹角。例6 （2006年四川卷）如图8,在长方体ABCDA1B1c1D1 中,E, P 分别是 BC,AA 的中点，M ,N分别是AE,CDi的中点， AD = AA1=a, AB = 2 a(I )求证：MN 面 ADD 1Al ;（n）求二面角 p-AE - D的大小。（m）求三棱锥p-DEN 的体积。解：以D为原点,A a,0,0DA , DC , DD 1所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立直角坐标系,B a,2a,0 ,C 0,2a,0

13、 , A a,0, a , D1 0,0, a E,P,M,N 分别是 BC,AD1, AE,CD1 的中点学习必备欢迎下载3a,a,0 , N l 0, a, a2必aa , E ,2a,0 ,P , 0, a , M I22-3a,0,a42取n = (0,1,0),显然n 上面 ADDe而MN迎面ADDiAMN 面 ADDiA(2)显然,mi =(0,0,1)是平面 abcd的一个法向量；设 m2=(x,y,z)是平面pae的一个法向量,则 m2，AE=0且 m2，AP=0.而AP=/0,W,2a”x az = 0,i可取 m2 =|2,i22a-x 2ay = 0.,2cos ： m1 ,m2jJi21又法向量色=(0,0,1 )是从二面角P AE - D的外部向内部穿行的，法向量一 1m2 =, 2,-,1 是从一面角 P - AE2-D的内部向外部穿行的2 、. 21故，所求一面角为 arccos.21(3)设 ni =(xi,yi,zi )为平面 DEN 的法向量，则 ni _LDE