二次根式化简的方法与技巧(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根 式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般 遵循以下做法： 先将式中的二次根式适当化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运 用公式石亦=( 0,Z? 0) 对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后 通过分母有理化进行运算. 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的 基础上去括号与合并同类项. 运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势， 水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维

2、受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局， 迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二 次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一 些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是 化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应 想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举 例说明一些常见二次根式的转化策略。一、巧用公式法例1 计算a - 2yba + b (i_byaya +b分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为需与丽成立，且分式也成立，故有(需-、乐工0) 而 同 时公式( Z

3、?)2 =a2 2ab + b29a2 -b2 = (a + b)(a Z?),可以帮助我们将 a 2yab + h 和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些 问题从复杂到简单。解：原式+ yb)(yci ylb)yll + yb=(4a - Jb) + (Ja - Jb)2yci 2-b二、适当配方法。3 + 2血-馅-例2.计算：1 +血-的分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，分母含 有1 + V2-V3其分子必有含1 +血-0的因式，于是可以发现 3 + 2血=（1 +血j,且V3 + V6 = V3（l + /2）,通过因式分解，分子所 含的1 + V2-V3的因式就出来了。解：原

4、式_（3 + 2虫）（馆 + 后） 1 +V2 - V3_ （1 + 虫）2 + 虫） 1 +V2- V3=1 +三、正确设元化简法。2联例3:化简、伍+的+、斥分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化 简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四 则运算法则的化简分式的方法化简，例如：“ = 运= c,4 = b、ab = g、正好与分子吻合。对于分子，我们发现 a2+b2=c2所以a2+h2-c2=0,于是在分子上可加2+/?-c2=0,因 此可能能使分子也有望化为含有+ c因式的积，这样便于约分化简。解：设 =则2ab = 2羽、且夕 +b2-c2 =0所以：_ 2a

5、bd + Z? + c2cib + d? + c?d + Z? + c_ (a + Z?)2 c2a + b + c(a + Z? + c )(tz + b c) a + b + c=a + b c=V2 +V3-V5四、拆项变形法例4,计算W+同佈+ )分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有 相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：字=丄+ ；再化 ab a b简，便可知其答案。解：原式_ )(-x/5 - a/6 )(a/6 -+-_a/5 + V6a/6 + V7= (V5+V6XV6 + V7)+(V5+V6XV6 + V7)1 1/5 + a/6a/6 + a/v= a/

6、6-a/5+V7-V6=V7-a/5五、整体倒数法。(詰+、你加+1)例5、计算J + 2巧+ 1分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式： 斗亠 化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。ab a bAA.设 A_（Q 馅+ 1）解设亦+ 2后1贝4 = (vXv+i) (V + v)+.(v +)+ i)1 i-x/3 -+- 1 V5 -+- V3V3 1 V5 V3 H2Vs 12所以“是=孚借用整数“1”处理法。1+3逅一2厲例6.计算、/2+75 +而分析：本例运用很多方面的知识如：1 = （73 + d“-、用】（“-） X + b）二川-b ,然后再运用乘法分配 率，使分子与

7、分母有相同因式，再约分化简。解：原式_ (巧+ “_血)+3庞_2能_V2 + V3 + V6_ (a/3 + V2V3 V2)+ V6(V3 V2)_V2 + V3 + V6_ (a/3 V2)(V3 V2 + Vfi )-/3 + yp2. + yfG=a/3 V2六恒等变形整体代入结合法例7：巳知x=*(、/7 +腭),，=+(),求下列各式的 值。宀 Q + y2；(2)3y x分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来， 再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求 多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式， j01x2-xy + y2=(x + y)2-3

8、xy ,然后再约分化简。解：因为：x = g(、/7 +的，y = |(V7-v,f5),所以：x+ y = yl,xy? = o 厶 xy + y=(x+ y)2 3xy= (a/7)2-3x!_ 1 1_ 2乂- + y_（乂 +，）2 2乂，(jy2 _2x_=12七、降次收幕法：例8、已知“2+血，求洱芋的值。2x-7分析：本例运用了使题中2次幕项转化成1次方的项再化 简。如例题中把多项式x2+4a-1转化为4X-1,这样进行低次 幕运算就容易了。解：由 1 = 2 + 73,得(2)2=3 整理得：x2=4x lo 所以：3x2-2x + 5=3(4x 1) 2x + 5= 10(2

9、 +巧)+ 2= 22 + 10 循2x-7 = 2(2 + V3)-7 = 2a/3-3所以原式_ 22 10“Z-x/3 374-V3=42 H3二次根式的化简与计算的策略与方法1.公式法小十2历【例11计算后；ab 一卫【解后评注】以上解法运用了 “完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2观察特征法2后而3強【例2】计算：2+罷-联【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两 次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可 以发现，分母中的各项都乘以爺，即得分子，于是可以简解如下:【解】原式屋1邈二=百2+屈-压【例3】把下列各式的分母有理化.亦-忌厶+ +

10、-1()-伍)丽-同；(2)+ Jx-1 ( A 1 )【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以 两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观 察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：=(羽-蟲)十(厉-五)=1+1解原式 庙-闷僦_妇 4b 4c 亦-r厉=亚心+卫上0 =丄气：爲壬丄&E _cab a_b a -c) b -c【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是， 不难发现式分子中厂的系数若为“1” ,那么原式的值就 等于“1” 了！因此，可以解答如下：=1+E1【解】原式 施盯+戶=丄，-rAr-l)(Vi + 1 + Va -1)(/

11、 +1 -1)十亞Hi土二Hr2 2 2 23.运用配方法【例4】化简出一厶胚72-22+1-2x72xl+l2【解】原式=【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数, 显然不能等于“1 一血”4.平方法【例5化简椒后+【解】.戶+W=6-./35 + 2j（6-侮“十倒十 6 十 735=12 + 2762-35 =714.屈+ J宀防=佰 【解后评注】对于这类共轨根式亦与“血的有关问题, 一般用平方法都可以进行化简5恒等变形公式法例6】化简农r民同+佔屈+屈2【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 十窈+ -功2 = 2（启+畀），则使运算简化.【解】原式=+ （V2 - V6

12、75 -（72 -/6）f=2卜疗+=2x(3 + 8-473)= 22-8 柘6.常值换元法例 7化简 J1998xl999x2000x 2001 + 1【解】令199,则:原式=也的）（皿）（a+3） +1=十於十免：十2）十=+ 3af + 2(2 + 3)+1=JG?十 3a 十 1)2 =/+3+1 = 19982+3x1998+1 =39979997.裂项法丄+_十十I一2一例8】化简1十血 72 +/3 “,疗十折-/99+ 7T00【解】原式各项分母有理化得原式=”5-1）十（75-池”人+1丽-極）+（丽防）=丽-1 = 10-1 = 9【例9化简2 + 2J7 十 JT64

13、 十（靑+価卫+疗）近+価川+冋【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁, 但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和, 于是则有如下简解：_屯+77）+炒+珂丄+厕乂4+珂解原式一仿+肪;（”间+ I后+用帚“同1111=十十+77+a/102 十街 a/13 + 7104 + a/13710-a/7 占 _2 価-顶 4-713=+4+3333=*而_ J7+历 _2+乖-折+ 4_,冋=|8. 构造对偶式法 +2 + J异 -4 + 2 + J/ - 4例 10】化简n+2-J沪-4 + 2 + 72-4【解】构造对偶式，于是没 = + 2 + a/2 - 4 i =

14、+ 2- a/2 4贝| a十 Z? = 2十 4 ,= 4滋十 8 ,血=2（& +b）a b 护+护 疔小攵=十一=二1 -2 = 一 2原式 ba ah ab 2=尬+2一2=九9. 由里向外，逐层化简Jl 99&J1997 J1996 J19901993 + 1 + 1 + 1 +f解.71995x1993 + 1 = J(1994 +1)(1994-1) + 1厢羽 = 1994而 71596x1994+1 = 7(1595 + 1X1995-1) + 1 = Jl99 夕=199571997x1995+1 = J(1996 十 1)(19961)+1 = /那=1996.原式71998x1996 + 1 = J(1997+ 1)(1997-1) + 1 =加乔=1997【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外， 由局部到整体，逐层化简的方法