二次根式化简的方法与技巧

1、页眉内容二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：、a b ab先将式中的二次根式适当化简二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式a 0,b 0对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题 时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度

2、思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途 径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容， 对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运 算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的 两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根 式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。、巧用公式法jyeo萧优网页眉内容a 2 ba ba b例1,计算 a.ba ；b分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为心 与Jb成立,且分式也成立，故有 a0,b0,(Va Jb 0) 而同时公式：a b 2 a2

3、 2ab b2,a2 b2 (a b)( a b),可以帮助我们将 a 2 Tab b 和 a b 变形， 所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式( a b) ( a，b)2a 2 b、适当配方法。3 2 2.36例2.计算：1 '2 'R分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，.分母含有i Q V3其分子必有含1亚 V3的因式，于是可以发现3 2y12iV2，且V3V643 1V2，通过因式分解，分子所含的iV2V3 jyeo萧优网页眉内容的因式就出来了。解：原式32 v T j 3J61VZ27 3(1 V 2 )2 J 3(172)1vZ2vZ31 v

4、z2三、正确设元化简法。2 6例3:化简亚网45,正0,分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的 运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如： 同 a, 5 c,V3 b,ab J好与分子吻合。对于分子，我们发现a2b2c2所以a2b2c20 ,于是在分子上可加a2b2c2因此可能能使分子也有望化为含有 a b c因式的积，这样便于约分化简。解：设 2 a, . 3 b,5 c,则2ab 2,6, jyeo萧优网页眉内容且 a2b2 c2 0所以:2aba b c2222ab a2 b2 c2a b ca b c a b ca b ca

5、 b c，2 、3 v 5四、拆项变形法7 2.65例4,计算 56 6 '7分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转 化成： j 1 1再化简，便可知其答案。ab a b解：原式jyeo萧优网页眉内容、5、6 6、7*5 v6 、6，7三 5、6、6、75 5、6 % 6、7、5、6 、6、711V 5 V 6 V 6 V 765 7-6 6775五、整体倒数法。53 3 1例5、计算 5 2 3 1分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：ab - 1 ,化简但还要通过折项变形，使ab a b其具有公因式。解：设A上5_33_15 2

6、、3 1jyeo萧优网页眉内容2、5 15 12借用整数" 1'处理法。1 3,2 2 3例6、计算2 ，36分析：本例运用很多方面的知识如：1 阴 22 33和.a b X a b a2 b2,然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。解：原式x3, 2 x3_/_3工2_2上3J2 3 < 6j3_2,3_22._6 = 3_22.% 2 J3 、6(J32)(、3、26)、3 、2J6J3 2六.包等变形整体代入结合法例7:已知x 1(" 呵,y 1(后 局,求下列各式的值。 22(1 x2 xy y2; (2) x y y x分析：本例

7、运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy弋入例题中,但一定要把所求多项式进行包等变形使题中含有x+y与xy的因式， jyeo萧优网页眉内容如x2 xy y2 (x y)2 3xy ,然后再约分化简1-1-解：因为：x (而 45), y -(<7 、，22所以：xy 7, xy22x xy y2(x y) 3xy(、7)2312112xyyx22x yxy2x y 2 xyxy(v7 ) 22T212七、降次收幕法:例8、已知x 2反求3x2消产的值jyeo萧优网页眉内容1转化为分析：本例运用了使题中 2次事项转化成1次方的项冉化简。如例题中把多项式 x2

8、 4x解：由x 2 <3,得x 24卜1,这样进行低次幕运算就容易了。<30 (x 2)2 3 整理得：x2 = 4x- 1。所以:3x2 2x 53(4x 1) 2x 510(2 J3) 222 10 C32x 7 2(2 J3) 7 2、3 3所以原式2210 732 v334274、33二次根式的化简与计算的策略与方法1 .公式法jyeo萧优网页眉内容$（曰一 ） 队& +一聒）【解后评注】以上解法运用了 完全平方公式”和平方差公式”，从而使计算较为简便.2 .观察特征法2电+邪-3近【例2】计算：二3： ：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理

9、化，计算相当麻烦，观察原 式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 右，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式"互加【例3】把下列各式的分母有理化.（1）诉否-旧；（2）6互+五口【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式 相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法:_+ .区区)1【解】原式匠M匠 &&府一班-+ b -c a -b a-b盘 心 b -c【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现式分子中小"的系数若为1 那么原式的值就等于 1'了！

10、因此，可以解答如下: jyeo萧优网页眉内容-W_【解】原式飞屈+5r+ 1+ Va -i/p/7 + i -3 1 + 1 p =1 + = -工十一，1 122 223 .运用配方法【例4】化简'''【解】原式 '''' ' '，:'''= 7(72-1/ =72-1【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于卜一虚”4 .平方法例5】化简一/' - J -，"1.6历 十 ,6；席丫【解】1J二6 -、历十2 J"反F：同+ 6+衣= 12 + 2

11、jf -35 三旧.斤而+乒雷e【解后评注】对于这类共腕根式 事一和与金4盛的有关问题，一般用平方法都可以进行化简jyeo萧优网页眉内容5 .恒等变形公式法【例6】化简（2 + #-6,+- 2 + 灰【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式=2（ + "）,则使运算简化.【解】原式=+（3 -T+b-（6 褥）T=2十（Q周卜2Gg-4=22 -&门6 .常值换元法【例，化简-'''11【解】令1998 f ,则：原式= 曰1+3虱曰"十%+ 2）-1=+的丫寸zQa+3r）十=/口十及十.=43+兑+1=199/+3乂199£

12、;+1=39579997 .裂项法1 1 1 A 1 十十十十 【例8】化简“走近十招召十追 回十师jyeo萧优网页眉内容【解】原式各项分母有理化得原式（"一二一；'. 一 一"-二= 400-1 = 10-1 = 9【例9】化简2 + 2/ 4 历, 4 + 2 + 710明+初晔+痈P+屈）个分数的分子等于【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每 分母的两个因数之和，于是则有如下简解：_ "后卜（g.昆）J区+析+虫）【解】原式 ' 1 '-1 匕 11'''''- L

13、1 '- -布底2 +行岳+师4 4上而一"不-2 庾二回"尼" 3- 33-3=14丽一、斤+币-2 +屈一洞M 一屈）=：8 .构造对偶式法用2 J 蓊 -4 +融2 1J 储 4【例ia化简一 '''" ',''匕：1【解】构造对偶式，于是没$ = "+2 斗、"-4 bw2-£-4?则"小=2甩十4,批=4汽十8, b = 23+b）jyeo萧优网页眉内容a h dt3八占 4A + _ *- 2-2 - 2原式 L 二-L-=葭42-2=理9 .由里向外，逐层化简J1998 Jl997 Ji 99611995 工 1993+111 + 1：解.耐元丽讨=和两项标诃J199/ 19阳而L 一二-71997x1995 + 1 - (199 + 1)(1996-1)+1 - J1990 -19%.原式 耐而由=J(由70刈->1 =而谈=1997【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理.10由右到左，逐项化简【例11化简.2