高中数学用构造法求数列的通项公式必修五

1、精品文档用构造法求数列的通项公式随意编辑农安实验中学赵彦春，历年来都中心词：归纳，猜想，构造数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐 是高考命题的热点，求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。例1： (06 年福建高考题)数列 an中，a1 1, an 1 2an Uan()A. 2nB. 2n 1C. 2n 1D. 2n 1解：an 1 2an 1an 1 1 2an 22(an 1)an 11q- 2 又 a1 1 2an 1an 1

2、是首项为2公比为2的等比数列an 12 2n1 2n, an 2n 1所以选 C归纳总结：若数列 an满足an 1 pan q(p 1, q为常数)，则令an 1p(an)来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例 2：数列 an 中，a1 1,a2 3, an 2 3an 1 2an ,则 an 。解：an 2an 12(an 1 an )a2 a1an为首项为2公比也为2的等比数列。an an 1a n (an2n 1an 1(anan2)(a2 a1) a12n1 2n2n1 2小结：先构造 an1an等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然本题也利用了

3、等比数列求和公式。例3 :(必修5教材69页)已知数列an中a15, a22, an2an13an2, (n3)求这个数列的通项公式。解:an 2an 3an 2an 1 3(an 1 an 2 )又aia27, an an 1形成首项为7,公比为3的等比数歹U,又an则 anan 173a n 1(an 13n 2a2 3a113 , an3an 1形成了一个首项为一13,公比为一1的等比数列则 an 3an 1(13) ( 1)n 3 4an 7 3n 113 ( 1)n 17. n 113 n 1an 3( 1)44小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确

4、定出数列的通项公式。例4: (2008四川省高考题)设数列an的前项和为Sn，若b an 2n(b 1)Sn成立，求证：当b 2时，an n 2n 1是等比数列。证明：当 n 1,b a1 2 (b 1)a1, a1 2又 b an 2n (b 1) Snb an 1 2n 1 (b 1) Sm一 b an 1 b an 2n (b 1) an 1an 1 b an 2当 b 2时，有 an 1 2an 2nan 1 (n 1) 2n 2an 2n (n 1) 2n 2 (a0 n 2n 1)_1 1.又 a121n 1an n 2 为首项为1 ,公比为2的等比数列，n 1 c n 1n 1a

5、n n 22 , an (n 1) 2小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例 5：数列 an 满足 a1 3,an1 2a0 3 2n 1 ,则 a0A. (3n 1)2nB. (6nn 13) 2C._ n 13(2n 1) 2n 1D. (3n 2) 2解：an 12anan 12 n 1an2na n2n3,又曳2an2n构成了一个首项这-，公差为23的等差数列,an 232 (n 1) 32n 1 (3n -) 2(6n 3) 2n 1 所以选 Bo小结：构造等比数列，注意形)，当n n

6、1时，变为2nan 12T。例6：已知函数f(x) (Jx J2)2,(X 0),又数列 an中a12 ,其前n项和为Sn, (n N ),对所有大于1的自然数n都有Snf(Sn1),求数列an的通项公式。解： f(X) (,X2)2,Snf(Sn1)(,Sn12)2-,Sm'-2Sia；. 2/ST是首项为22,公差为22的等差数列。. Sn2 (n !卜2. 2n,Sn 2n2。22.n 2时，an Sn Sn 1 2n 2(n 1) 4n且当n 1时，a12 4 1 2 符合条件通项公式为an 4n 2例7： (2006山东高考题) 2已知a1 2 ,点(an,an i)在函数f

7、(x) xx的图象上，其中n 1,2,3, 求数列an的通项公式。 2 解： f(x) x 2x又(an,an1)在函数图象上2an 1an2an22an 1 1 an2an 1 (an 1)lg(an 1 1) 21g(an 1)1g(an 1 1)2. 1g(a1 1) 1g31g(an 1)1g(an 1)是首项为1g3公比为2的等比数列n 12n 11gan1 2n 11g 3 1g32n n 1an 1 322n 1an 321小结：前一个题构造出 JST为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造1g an 1为等比数列，再利用对数性质求解。数列与函数的综合

8、运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例8:(2007天津高考题)已知数列an满足a12,an11 (2) 2n,* 一、 _ ,一，(n N )其中 0 ,求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形,应用转化成等差数列形式,从而为求an的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：ann 1an(2n /)2 ,(nN*,0)(2)n1(2)n(2)n1ann(-)n1,。所以ananna12所以ann为等差数列，其首项为0,公差为1；w (-)nn1,

9、an (n1) n2n例9 :数列an中,anan一，则 3ana42A. 一19B.1615C.解： a3an3anan 1an13 an1又一a1是首项为an1一公差32的等差数列。an(n 1)3 3n 56n 5an6n 5a419所以选变式题型:数列 an中,a12, an 12an解：an2an1 3an3an，求an3anan 12anan12(an)，则an 12(an3),又工a1是首项为an5公比为21的等比数列2an5 / 1、n 1一(一)2 2an泊n1anQ 5 Jxn 13 2(2)小结：an 1 f (an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系，相互渗透，最后融合到一起。总之，构