高中数学-公式-平面向量

1、平面向量1 .两个向量平行的充要条件，设a=(xI,y】),b=(X2,y2),冗为实数。(1)向量式：a/b(b*O)a=Ab; (2)坐标 式：a II b(b*O) Ox-xyO;2 .两个向量垂直的充要条件，设a=(x】,y】),b=(X2,y2), (D向量式：alb(bwO)Oab=0; (2)坐标式：a lbx1x2+yiy2=0;3 .设a=(Xi,yJ,b=(X2,y2),则a*b= a b cos B(x2,y2),则 Saob=，%乃一七川；25 .平面向量数量积的坐标表示：(1)若 a=(xi,yj,b=(x2,y2),则 ab=x1x2+yiy2;卜,)。+S一当尸；

2、(2)若 a=(x,y),则 a2=a a=x2+y2,| =次 +)。;十、向量法1、设直线八/的方向向量分别是Z、B,平面a、力的法向量分别是71,则:(1)线线平行：I II m a II b a = kb(2)线面平行：I II a O a Yu oa=0(3)面面平行：a / J3 u / v u = kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线7、/的方向向量分别是平面a、/的法向量分别是73,则：(1)线线垂直：/ 77? ! /? = 0(2)线面垂直：Ua = a II it =a = kic(3)面面垂直：a/7wlvz/ev

3、 = 03、设直线7、/的方向向量分别是Z、B,平面2、3的法向量分别是35,则:乃a与(1)直线八/所成的角cos6 =r2a b7t(2)直线/与平面。所成的角sin6 = .2a uu - V(3)平面a与平面月所成的二面角的平面角8(0484/), |cos9| = ku V教学过程：二、新课讲授1 .定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.3 .空间向量的加法与数乘向量的运算律.加法交换律:a+b b+ a；加法结合律：（Z+ b ） + c-5+ （b + c）;数乘分配律：幺伍+ b）-Aa +Ab ;数乘结合律：A（uaHAiija.4

4、.推广： AA? 4- A2A3 + A3Al + + A.= AA” ;（2） A A? + 44 + 4Al + +4T a” + a” A =。；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行 向量也叫做共线向.向量B与非零向量/共线的充要条件是有且只有一个实数乙 使B =/1不称平面向量共线定理，二、新课讲授1 .定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 或平行向. %平行于月记作不2 .关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、h （彼。0）, 7的充

5、要条件是存在实数4 使人理解：上述定理包含两个方面：性质定理：若（7R0）,则有其中是唯一确定的 实数。判断定理：若存在唯一实数%,使3=4 7 （不*0）,则有G / B （若用此结论判断7、B所在直线 平行，还需G （或B）上有一点不在B （或不）上）.对干确定的4和7, B =/2表示空间与7平行或共线，长度为|/2|,当/0时与Z同向，当/.说明：规定：O=o时，&与b同向； 当va、比 =时，G与2?反向；JT当V4、) =5时，称4与b垂直，记&lb. 两个向量的夹角唯一确定且v&,b = va.注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. va,b w(a,b)2 .两个向

6、量的数量积：巳知空间两个向量以与8|8| |b|cosvG、b叫做向量及、方的数:积，记作&E 即 a b= | a| | d|cos=&,e.说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是反，e的几何意义.3 .空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：a , e= I & I - cos;(2)aJ_b= a b= 0当以与2,同向时，ab=a I b I ； 当以与8反向时，b= a b.5.2.特别地，&，&=|&|2 或 |&|= yju a(4)cos v 8,方 =? 乂5) |a-b|)2=a24- 2 a - b+tr3.空间向量的坐标表示：给

7、定一个空间直角坐标系和向量4,且设X卜为坐标向量，则存在唯一的有序实 数组(,出，“3)，使& = % /+ 的，+ ”3 仁空间中相等的向量其坐标是相同的.一讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设4x，y,Z1), B(x2,y2,z2),则A8 = OB - OA = (x2,y2,z2)- (斗，yZ) = (x1-xl,y2-yi,z2-zl).两个向量共线或垂直的判定：设&=,%)，=他也也)，则(l)a/ b a=Ab q =Abay =劝”小 =久 ,(x e 7?) ；伉 A /(2)H_LZ= a - b=0o “占 + u2b2=0 .向量的模：设=(,“2，“3)，=他也也)，求这两个向量的模.I al =册+a； +嫉,I b I = M+b： +公.这两个式子我们称为向量的长度公式.这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.夹角公式推导：|&|b|cosv8,b(也 + a2b2 +%3 = M +a2 +(ll J6 +优 +b； cos = 1时，a与b同向；当cosva、8 = 1时，以与8反向；当 cosv&、=。时,alb.3.两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间