立体几何典型例题精选(含答案)

1、热点一：直线与平面所成的角例1. (2014，广二模理18)如图，在五面体 ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形,EF /平面 ABCD, EF 1 , FB FC, BFC 90 , AE . 3.(1) 求证：AB 平面BCF ;(2) 求直线AE与平面BDE所成角的正切值变式1 : ( 2013湖北8校联考)如左图，四边形 ABCD中，E是BC的中点，DB 2,DC 1,BC 5,AB AD2.将左图沿直线BD折起，使得二面角 A BD C为60 ,如右图.(1) 求证：AE 平面BDC;(2) 求直线AC与平面ABD所成角的余弦值变式2： 2014福建卷在平面四边形 ABC

2、D中，AB= BD= CD= 1, AB丄BD, CD丄BD将 ABD沿BD 折起，使得平面 ABD丄平面BCD,如图1-5所示.(1)求证：AB丄CD; (2)若 M为AD中点，求直线 AD与平面MBC所成角的正弦值.4k热点二：二面角例2 . 2014广东卷如图1-4,四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD, / DPC= 30°,AF丄PC于 点 F, FE/ CD,交 PD 于点 E.(1)证明：CF丄平面ADF;(2)求二面角 D- AF- E的余弦值.变式3:2014浙江卷如图1-5,在四棱锥 A-BCDE中，平面ABC丄平面BCDE / CDE= Z BED=90

3、° ,AB= CD= 2 , DE= BE= 1 , AC=2.(1)证明：DE丄平面ACD; (2)求二面角B - AD - E的大小.变式4: 2014全国19如图1-1所示，三棱柱 ABC-A1BC1中，点A在平面ABC内的射影D在AC 上，Z ACB= 90° ,BC= 1, AC= CC1 = 2.(1)证明：AdA1B;设直线AA1与平面BCCB的距离为念，求二面角 A1 -AB -C的大小.变式5：在正方体 ABCD A<|BiG Di中，K BBi , M热点三：无棱二面角例3.如图三角形 BCD与三角形 MCD都是边长为2的正三角形，平面 MCD丄平

4、面BCD, AB丄平面BCD, AB 2 .3.(1) 求点A到平面MBC的距离；(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值13CC,，且 BK - BB1, CM CC1 .44求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值.ABAD 1，求二平面 AB1C 与 A1B1C1D1 所变式6:如图ABCD A1B1C1D1是长方体，AB= 2, AA1成二面角的正切值.円:高考试题精选1. 2014四川，18三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图 1-4所示设M , N分别为线段 AD, AB的中点，P为线段BC上的点，且 MN丄NP.(1)证明：P是线段BC的中点;2. 2014湖南卷如图所

5、示，四棱柱 ABCD-A1BC1D1的所有棱长都相等， ACA BD= O, A1C1 n B1D1 =O1,四边形 ACOA1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：09丄底面ABCD;若/CBA= 60。，求二面角C1-OB1-D的余弦值.3. 2014江西19如图1-6,四棱锥 P-ABCD中，ABCD为矩形，平面 PAD丄平面ABCD.(1)求证：AB丄 PD. (2)若/BPC= 90°,PB= 2, PC= 2，问 AB 为何值时，四棱锥 P - ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面DPC夹角的余弦值.例 1. (2014，广二模)(1)证明：取AB的中点M，

6、连接EM，则AM MB 1 , EF / 平面 ABCD , EF 平面 ABFE，平面 ABCD I 平面 ABFE AB ,EF / AB，即 EF / MB .1分EF MB 1四边形EMBF是平行四边形2分EM / FB , EM FB.在 RtA BFC 中，FB2 FC2 BC2 4，又 FB FC，得 FB .2.3分EM ,2 .在厶 AME 中，AE , AM 1 , EM 2, AM 2 EM 23 AE2, AM EM .4 分 AM FB，即 AB FB .四边形ABCD是正方形， AB BC.5分 FBI BC B , FB 平面 BCF , BC 平面 BCF ,-

7、 AB 平面 BCF .6分(2)证法1 ：连接AC , AC与BD相交于点O ,则点O是AC的中点,8分取BC的中点H，连接OH ,EO , FH ,1则 OH / AB , OH - AB 1.21由（1）知 EF / AB，且 EF - AB ,2 EF / OH，且 EF OH .四边形EOHF是平行四边形. EO / FH，且 EO FH 1由（1）知AB 平面BCF，又FH 平面/ FH/ AO FH AB.FH平面ABCD.9分EO平面ABCD.AO平面ABCD,EOAO.11分BC , AB I BC B,AB平面 ABCD , BC平面ABCD,BD , EOI BD O,E

8、O平面EBD , BD 平面EBD ,11分 AO 平面 EBD. AEO是直线AE与平面BDE所成的角12分AO l在 RtA AOE 中，tan AEO 近.12 分EO直线AE与平面BDE所成角的正切值为 72.14分证法2 :连接AC , AC与BD相交于点O，则点取BC的中点H，连接OH ,EO，FH ,1则 OH / AB , OH - AB 1.21由（1）知 EF / AB，且 EF - AB ,2:.EF / OH，且 EF OH .四边形EOHF是平行四边形. EO / FH，且 EO FH 1.由（1）知AB 平面BCF，又FH 平面BCF , FH AB./ FH BC

9、 , ABI BC B,AB 平面 ABCD, BC 平面 ABCD, FH 平面 ABCD.设直线AE与平面BDE所成角为jjirL/jJJTIn AEV6则sincos （n, AE 丿,i JJir1n|AE3 cos/ sin2,tansin3cos令x 1，则平面BDE的一个法向量为n 1, 1,0直线AE与平面BDE所成角的正切值为 241分14分 EO 平面 ABCD.4分建立空间直角坐标系Hxyz，则 A 1, 2,0 ,B 1,0,0 , D 1, 2,0 , E 0, 1,1uuuujurjjj AE1,1,1 ,BD2, 2,0 ,BE1, 1,1 .4分uurjjj设平

10、面BDE的法向量为n x, y,z ,由n BD0, nBE 0,得2x2y 0,xy z 0 ,得 z:0,xy.以H为坐标原点,BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴,HF所在直线为z轴,14分14分12分(1)取 BD 中点 F ,连结 EF,AF,则 AF 1,EF 丄，AFE 60°,2由余弦定理知AE2122 1 -cos60°2.'"322,Q AF2 EF22AE2AE EF又BD 平面AEF , BD AE, AE 平面BDC 6分（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，设平面Al3D的法向量为n (x,y, z)5uuir0得2x

11、0n由DB uuu13，取z .3 ,则y3, n(0, 3, .3)nDA0x yz 022uuirQ AC(1,1,),cosuuri n, ACuur ngAC tuu11 分22|n | AC|4则 A(0,0,-23),C( 1,0) ,B(1, 1,0), D( 1, 1,0)8 分故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为专.12分4分变式2 : （ 2014福建卷）解：（1）证明：平面ABD丄平面BCD，平面 ABDA平面BCD= BD,AB?平面 ABD, AB丄 BD,. AB丄平面 BCD. -3-分又 CD?平面 BCD, AB丄 CD. 4-分过点B在平面BCD内作BE丄

12、BD.由（1）知AB丄平面BCD, BE?平面BCD, BD?平面BCD, AB丄BE, AB丄BD. 6分以B为坐标原点，分别以BE, BD, BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 （如1 1图所示)依题意，得 B(0, 0, 0), C(1,1, 0), D(0, 1, 0),A(0,0, 1),M 0, 2 则E3C= (1, 1, 0) , E3M= 0 , 2，2，AD = (0 , 1, 1)7分n BC= 0,x° + y0= 0,设平面 MBC的法向量n = （X0, yo, z。），则即11->n BM = 0,尹+尹=0,取Z0= 1,得平

13、面 MBC的一个法向量n = (1, 1 , 1) 分设直线AD与平面MBC所成角为0,.|n AD|6八则 sin 0= |c°s < n , AD卜=可.11 分|n| |AD|即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为12分例2. （2014，广东卷）解：（1）证明：PD 平面ABCD,PD PCD,平面PCD 平面ABCD,平面PCDI平面ABCD CD,A D 平面ABCD,AD CD, AD CF 平面 PCD, CF AD,又 AF平面PCD,PC, CF AF,AD, AF 平面 ADF ,ADI AF A,CF 平面ADF.解法一：过E作EG/CF交DF于G,QC

14、F 平面ADF , 贝U EHG为二面角D AF E的平面角，设CD 2QEG 平面ADF,过G作GHDPC 300,AF于 H,连 EH,21CP 4,QEF / DC,DECF 即 DE = 2DPCP 2.3233从而EG DE EF223.易得AEDF41CDF 300,从而 CF = CD=1,DE -,还易求得EF=5,DF2 2,AF 7,EF3,<:)26、347 ,tr 1 mu -n1CP (、3, 1,0),2uuuAF 0,4 32.5721919 .719 3EH亍。3 19,故HGAFV740GH 6巧4万 2后 cos EHGEH 47 3J1919解法二：

15、分别以DP, DC,DA为x, y,z轴建立空间直角坐标系，设DC2,luuuuuu_uuiruuu则A(0,0, 2),C(0, 2,0), P(2 . 3,0,0),设CFCP，则 F (2. 3 ,2 2 ,0), Q DF CF ,可得从而，（一3,3,。），易得E（-,0,0）,取面ADF的一个法向量为2 2 2unm uuu un设面AEF的一个法向量为n2 （x,y,z）,利用n2 AE 0,且n2IT uu得n可以是（4,0, 、3）,从而所求二面角的余弦值为iP1 ugu1口| 门21变式3 : （ 2014浙江卷）解：（1）证明：在直角梯形 BCDE中，由 DE= BE=

16、1, CD= 2,得 BD= BC= .2,由 AC= *2, AB= 2 ,2 2 2得 AB = AC + BC,即卩 AC 丄 BC.-2-分又平面 ABC丄平面BCDE从而AC丄平面BCDE所以AC丄DE.又DE丄DC,从而DE丄平面ACD. 4分 （2）方法过B作BF丄AD，与AD交于点F,过点F作FG/ DE,与AE交于点G,连接BG.由(1)知DE丄AD，贝U FG丄AD.所以/BFG是二面角B - AD - E的平面角. 在直角梯形 BCDE中，由CD2= BC2+ BD2, 得 BD丄BC.BCDE得BD丄平面ABC,从而BD丄AB.由AC丄平面BCDE得AC丄CD. DC=

17、 2 , AC = -./2, 得 AD=寸6.ED= 1 , AD= y'6，得 AE= 7.9 分BD= 2 , AB= 2 , AD = 6 , 得 BF=于,又平面ABC丄平面 在 RtA ACD 中， 在 RtA AED 中，在 RtA ABD 中,2AF= 3 AD.2从而 GF= §ED= 3.在厶ABE, ABG中，利用余弦定理分别可得 cos/ BAE= 勒72 ,BG= 3.心 BFG 中，cos / BFG= GF評冷13分nn所以，/bfg=6,即二面角B-AD-E的大小是6.14分方法二：以D为原点，分别以射线 DE, DC为x, y轴的正半轴, 建

18、立空间直角坐标系 D - xyz，如图所示.由题意知各点坐标如下：D(0, 0, 0),日1, 0, 0), C(0, 2, 0), A(0, 2,2), B(1, 1 ,设平面ADE的法向量为 m = (X1, y1,乙)，平面ABD的法向量为 可算得 AD= (0, - 2, -2), AE= (1 , - 2 , -2) , DB= (1,m AD = 0,由 tm AE= 0,n AD=0, 由n DB= 0,2y2Z1= 0,X1- 2y1 - /2z1 = 0,2y2 2Z2= 0,X2 + y2 = 0,可取可取于是 |cos m ,|m n|3=|m| n| =3x2由题意可知

19、，所求二面角是锐角，故二面角m = (0, 1, - .2)n = (1,- 1, .2).13分B - AD - E的大小是11分0) n = (X2, y2, Z2).1, 0) 11分n6.变式4 : ( 2014全国卷)19 .解：方法一：(1)证明：因为AQ丄平面ABC, A1D?平面AAQQ,故平面丄平面ABC.又BC丄AC,所以BC丄平面AAQQ. 2-分连接AC，因为侧面AACQ为菱形，故AO丄AQ.由三垂线定理得 AC丄AB.4分(注意：这个定理我们不能用)BC丄平面AAQQ, BC?平面BCCB1，故平面 AAQQ丄平面BCCB.作AE丄CC1, E为垂足，则 AE丄平面B

20、CGB. 6-分又直线 AA/平面BCCB1，因而A1E为直线AA与平面BCCB的距离，即 A1E=£.作DF丄AB, F为垂足，连接 AiF.由三垂线定理得 AF丄AB,故/ AFD为二面角 A - AB - C的平面角. 10分由 AD = AA?-AiD2= 1，得 D 为 AC 中点,DF=¥, tan / AiFD= ADD =15 ,12分1所以cos/ A1FD= 4.13分1所以二面角 A1 - AB - C的大小为arccos;. 14分4方法二：以C为坐标原点，射线 CA为x轴的正半轴，以 CB的长为单位长，建立如图所示的空 间直角坐标系C-xyz.由题

21、设知A1D与z轴平行，z轴在平面AACC内.(1)证明：设 A(a, 0, c).由题设有 aw 2, A(2, 0, 0), B(0, 1, 0)，则 AB= (- 2, 1, 0), AC=(2, 0, 0), AAi= (a 2, 0, c), AG = AC+ AAi= (a -4, 0, c), BAi= (a , 1, c).|AAq= 2,得.(a 2) 2 + c2= 2,即 a2 4a+ c2= 0.> >2 2又AC1 BA1 = a 4a+ c = 0,所以 AC 丄A£ -分设平面BCOB1的法向量 m = (x, y, z),贝U m丄CB, m

22、丄BB,即m CB= 0, 0.因为 CB= (0, 1 , 0) , Bb = AA1 = (a 2 , 0 , c),所以 y= 0 且(a 2)x+ cz= 0.令x= c,贝U z= 2 a ,所以m = (c , 0 , 2 a),故点A到平面BCGB1的距离为tt|CAm|2ciCAfcos 5 , CA| =齐(2-a) 2 = c.又依题设，A到平面BCCB的距离为Q3,所以c=3,代入，解得a= 3(舍去)或a= 1,于是AA1= ( 1, 0,3).8分设平面ABA1的法向量n = (p, q, r),则 n 丄 AA1, n 丄 AB, 即卩 n AA1 = 0, n A

23、B= 0,p + .3r = 0,且一2p+ q = 0.令 p = , 3，则 q = 2 .3, r= 1,所以 n= ( , 3, 2 , 3, 1). 10分13分,n p 1故 cosn，p >=丽二 4.14分1所以二面角A - AB - C的大小为arccos4.例3.无棱二面角（2010年江西卷）解法一：（1）取CD中点0,连OB, OM，则0B丄CD,0M丄CD.又平面MCD 平面BCD，则M0丄平面BCD ,所以M0 / AB, A、B、0、M共面延长AM、B0相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3 , M0 / AB, M0/面ABC,

24、M、0到平面ABC的距离相等，作0H BC于H，连MH，贝U MH BC,求得：0 73v152/150H=0Csin60 = ,MH=，利用体积相等得： Va mbc Vm abc d。 5-分225（2） CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，0是BE的中点，贝U BCED是菱形.作BF丄EC于F,连AF,则AF丄EC, / AFB就是二面角 A-EC-B的平面角，设为 7分因为/ BCE=120。，所以 ZBCF=60 °BF BC sin 60°、3 , 9分tanAB 2 , sin 辽BF511分所以,所求二面角的正弦值是注512分解法二：取 CD中点0

25、,连0B, 0M ,则0B丄CD, 0M丄CD,又平面MCD 平面BCD ,则M0丄平面BCD.为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图以0为原点，直线0C、B0、0M0B=0M=、3，则各点坐标分别为M （0, 0, .3 ）, B （0 , - .3 , 0） , A （0 , - 3 , 2、3 ）,ruuu -（1）设 n （x,y,z）是平面 MBC 的法向量，贝 U BC=（1,、3,0）,0（0, 0, 0）, C（ 1, 0, 0）,uuurr uuur uuuuBM （0, .3,、3）,由 n BC 得 x -3y 0 ;由 n BM3y .3z 0 ；取n （賦1,1）

26、,Ba （0,0,2两，则距离uiu r BA nuuui- uur-(2) CM ( 1,0八 3) , CA ( 1,.3,2.3)ur得 smma wc wc w mLTmx 3z 0 一 解得 x .3z,x 、3y 2、3z 0urz,取 n1c. 3,1,1).又平面BCD的法向量为n(0,0,1),则 cos n设所求二面角为，则sin12分设平面ACM的法向量为 n (x,y,z)，由变式5 :解析：由于BCMK是梯形，则 MK与CB相交于E. A、E确定的直线为 m，过C作CF丄m于F,连结MF,因为 MC丄平面ABCD, CF丄m，故MF丄m ./ MFC是二面角 M m

27、C的平面角.设正方体棱长为a，则CM34a，BK11a .在厶ECM中，由BK/ CM可得EB a , CF423-a，故tan MFC因此所求角的余弦值为cos MFC4.2121变式6 : 解析：平面ABCD /平面A1B1C1D1, 平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线m为过点B1且平行于AC 的直线.直线 m就是二平面 AB1C与A13GD1所成二面角的棱.又平面 AB1C与平面AA丄平面A1B1C1D1，过A作AH丄m于H，连结AH .贝U AHA1为二面角A m A1的平面角.可求得tan AHA1高考试题精选1. (2014四川卷)解: (1)如图所示，取BD的中点O,连接A

28、O, CO.由侧视图及俯视图知， ABD, BCD为正三角形, 所以AO丄BD, OC丄BD.因为 AO, OC?平面 AOC, 且 AO n OC= O,所以BD丄平面AOC.又因为 AC?平面AOC，所以BD丄AC.取BO的中点H,连接NH , PH.又M , N, H分别为线段 AD, AB, BO的中点，所以 MN / BD, NH / AO,因为AO丄BD,所以NH丄BD.因为MN丄NP,所以NP丄BD.因为NH, NP?平面NHP, 且 NH n NP= N，所以BD丄平面NHP. 又因为HP?平面NHP，所以BD丄HP.又 OC丄 BD, HP?平面 BCD, OC?平面 BCD

29、,所以 HP/ OC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点.5分方法一：如图所示，作 NQ丄AC于Q,连接MQ.由知，NP/ AC,所以NQ丄NP.因为MN丄NP，所以/ MNQ为二面角 A - NP - M的一个平面角.由知， ABD, BCD为边长为2的正三角形，所以 AO= OC= 3.由俯视图可知， AO丄平面BCD.因为OC?平面BCD,所以AO丄OC,因此在等腰直角 AOC中，AC= 6.作BR丄AC于R因为在 ABC中，AB= BC,所以R为AC的中点，所以 BRyAB2- AC因为在平面 ABC内，NQ丄AC, BRI AC, 所以NQ / BR又因为N为AB的中点，所以 Q

30、为AR的中点,所以NQ =BR2 = 4同理，可得MQ = 4°.故厶MNQ为等腰三角形,所以在等腰 MNQ中,MN2cos/ MNQ =BD4NQ= 513分故二面角A-NP-M的余弦值是14分方法二：由俯视图及 可知，AO丄平面BCD.因为OC, OB?平面BCD，所以AO丄OC, AO丄OB.又OC丄OB,所以直线 OA, OB, OC两两垂直. 6分如图所示，以 O为坐标原点，以 OB, OC, OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz.则 A(0, 0, .3), B(1, 0, 0), C(0, .3, 0) , D(- 1, 0 , 0).因

31、为M, N分别为线段 AD , AB的中点，又由知，P为线段BC的中点，3所以 m , 0 ,0 ,于是AB= (1 , 0, -3),BC=(-1,3 ,0), MN = (1 , 0, 0), NP= 0,7'分设平面ABC的一个法向量 ni= （xi,yi, zi),ni 丄 AB,由ni丄BC,ni AB= 0,(xi , yi , zi)得即ni BC= 0,(x , yi , z1) (i, 0,-3)=( i ,3 , 0)=从而0,xi-3zi = 0 ,xi +3yi = 0.取zi= 1，则刃=3 , yi= i,所以 ni=(3 ,i, i).设平面MNP的一个法

32、向量n2 =(X2,y2,z2),由,n2丄 MN , n2 MN = 0 ,n2丄 NP ,得 n2 NP= 0 ,(X2 ,y2,z2)(X2 ,y2,z2)0,从而x2= 0 ,33R2-2 z2= 0.取 z2= i，贝U y2= i, x2= 0，所以 n2 = (0, i,i).9i分设二面角 A-NP-M的大小为 0,则cos 0=ni n2Inq |a2|(3, i, i)i, i)弓.i3分5故二面角 A-NP-M的余弦值是5°.514分2. （2014湖南卷）解：（1）如图，因为四边形 ACCiAi为矩形，所以 CG丄AC.同理DDi丄BD. 因为CCi/ DDi

33、,所以CCi丄BD.而ACA BD= O,因此CC丄底面由题设知，OiO / CiC.故OiO丄底面ABCD. 分方法一： 如图，过Oi作OiH丄OBi于H,连接HO. 由（1）知，OiO丄底面ABCD，所以OiO丄底面 AiBiCiDi，于是 又因为四棱柱 ABCD-AiBCiDi的所有棱长都相等，所以四边形 是菱形，因此AiCi丄Bi Di，从而AiCi丄平面BDDBi，所以AQi丄OBi, 丄平面OiHC .进而OBi丄Ci H.故/Ci HOi是二面角 Ci -OB i -D的平面角. 不妨设 AB= 2.因为/ CBA= 60°，所以OB= ； 3, OC=1 ,ABCD.OOi OiBi在RtAOOiBi中，易知0旧=2OBi3而 OiC = 1,于是 CiH= , OiC2+ OiH2 =2i+石=是OBiOiO _L