(文章)二次根式的混合运算要点精析

1、二次根式的混合运算要点精析一、要点精析1.二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，它 的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，冇括号的先算括号里的（或龙去掉括号）.在进行二次根式的混合运算时要注意三点：在运算过程中，毎个根式 可以看作區一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律 八运算法则及所有的乘法公式（平方差公式、完全平方 公式等），在二次根式的运算中仍然适用.运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式， 如果是二次根式，要化为最简二次根式.二次抿式的混合运算，一般先将二次根式化为最

2、 简二次抿式，再按运算计算。2.在二次根式的混合运算中，常遇到两个二次根式相除，分母中含有根式，此时需要把分子、分母同乘以分母的有理化因式，去掉分母中的根号，使分母中的无理数变成有理数， 这种运算过程，叫分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的因式，分式的值不变.分母有理化应用了二次根式的加减和乘除四种 运算，是二次根式混合运算过程中的重要环节.3.分母有理化的实质尼两个含有根式的代数式相乘，使其积不含很式，这样的两个根式叫互为有理化因式，如 苗与苗是互为有理化因式；丘E和是互为有理化因式；石士応和 石&是互为有理化因式.4.利用分母有理化，可以进行

3、二次根式的除法运算.分母有理化的方法是多种多样的，应根据题目转点釆用相应的方法.因此，分母的有理化因式是不唯一的，但以最简为宜，例如：当分母是形如a、佼的式子，分母有理化时，可以乘bV7 （b #0）就可以达到化去分母中根号的目的，但以丘最简，故只要分子、分母都乘以品就可以了.当分母是形如a坂+ 的式子，分母有理化时，根据平方差公式持点，a77 +乘以c（ aJ7_b J）（c工0）就可以达到化去分母中根号的目的，但以aV7 -bY最简，所以只要分了、分母都乘以a77- b77就可UT.5.进行分母有理化的方法一般有两种：将分母、分了都乘以分母的有理化因式；化简:石+2亦+需(/2+V3)(V

4、3 +V5)在一定条件下，将分了分解因式后与分母进行约分，从而约去分母中含根号的式子.6.二次根式的一个重要性质（庐）Ga （a 0）可以写成 “，即两个相同的二次根式的积一定是有理数 （式），应用这一性质可以把分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.在进行分母有理化时，只要分子、分母同乘以分母的有理化因式，即可实现分母有理化.二.典型例题解析例1将3分母有理化.2-1一呵解：3_3_3(2 5-1)+ 何2-1 -/2? （2/5 -1） -2? （2 /5-1）-/21（2 /5-1）+7213（2石_1） + /213（2希-

5、1）+ 血H_ 3（10一苗 +Jl05 ） _ 3（専 _1 +-）_4药躬-2020评析：当分式的分母含有一个或两个根式时， 一般选用分子与分母同时乘以分母的有理 化因式的方法.解此题的关键是找岀有理化因式，只有对才能找出其有理化因式.评析：当分子或分母可分解因式时，可使用约分法改变式子结构，把问题简化.分母提 取“公因式.后可直接约分，应用分解因式”约简的方法，达到分母有理化，从而简化运（2岳_1一解:(亦+G)(苗-0)（旋+石）（苗+万）y/2 +2侖 + 亦=（近+3） +（靠 +岛=1（y/2+妁（拓+術）（血+侖）“+屈丽+丘评析：当分式的分子或分母含有多个根式，此时式子较复杂

6、时，可通过拆项的方法把问题转化.此式分子正好是分母两因式之和，因此，可把分子拆成两项之和，然后用a+b-1ab a+丄来简化运算.裂项是解本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到最佳解题途径.bx +y x + y评析：当根式多且无规律可寻时，通过换元的方法，以此达到调整分式中的结构，使新二逅_9+厲_渥二並+化简:(石一荷)3+2 a彳 +yfa +b庙3/ab-3baJa+b庙a -b解：设7T=x , /f = y，贝ij a = x2, b = y(石一逅)+2a2y/a+by/ba y/a+b /b3/ab*-3ba -b(x-y)3+2x43xy -3y2 2x -y3x_3xJ+3xy23y3x(x2-xy+y2)3y也+3y72+3(丽+荷（返+活）（血