一、重点内容.

1、一、重点内容1. 函数插值已知函数 f(x)的函数值 yk=f(Xk),k=0,1,2,n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk。P(x)是插值多项式，f(x)是被插函数，Xk是插值节点。误差 R(x)=f(x) P(x)。2. 拉格朗日插值多项式用 n 次多项式nPn(x)=yolo(x)+yili(x)+ynln(x)=送yklk(x)k卫近似函数 f(x)，即 f(x):Pn(x)，且满足 Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n)。其中基函数(X% OXiXXii) (XXn)(i=0,i,2,，n)(x Xo)(X Xi)心XijL)(X Xi#) (K -Xn)线性插值P1(

2、x)=yklk(x)+yk+11k+1(x)其中基函数lk(x)=八，lk(x) =Xk -xk 1Xk J -Xko当 n=2 时，得到二次多项式，就是二次插值。 拉格朗日插值多项式的余项为其中(a,b),，n 1(X)=(x Xo)(x X1)(X X2)(X Xn)注意：过 n+1 个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n 的多项式。3均差与牛顿插值多项式函数值之差与自变量之差的商就是均差，一阶均差心川厂卫竺匕虫)x-Xn 阶均差f(X,X1,X2，,召)1,)*,)X0 _Xn均差有两条常用性质：(1)均差用函数值 yk的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关(对称性)。f(n

3、)(匕)n 阶均差与导数的关系为：f (Xo,X1,X2，,Xn)( - (a,b)n!以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为Nn(x)= f(Xo) + f(X0,X1)(X Xo)+ f(X0,X1,X2)(X Xo)(X X1)+ + f(X0,X1,X2,Xn)(X X0)(X X1)(X X2)(一 Xn1)li(x)当 n=1 时，X XkRn(X)二(X)- Pn(X)二(n -)!n-(X)二阶均差f(x!；,x-,x：)二牛顿插值多项式的余项为Rn(X)=f(X) Nn(X)= f(X,Xo,Xi,X2,Xn)(X Xo)(X Xi)(X X2)(一 Xn1)(X X

4、n)=f (X,X,Xi，Xn)，n 1(X)4.分段线性插值用分点 a=Xoxixn=b 将区间a,b分成 n 个小区间xk, xk+i(k=0,1,n 1)。在区间xk,xk+i上用一次的多项式 Qk(x)近似函数 y=f(x)。将 Qk(x)(k=0,1，,n)组合在一起，得到a,b上的 折线形式的函数 P(x)，它满足：(1)P(x)在a ,b上连续；(2) P(Xk)=yk(k=0,1,2,)；(3) P(x)在Xk,Xk+1上是线性函数。P(x )为n分段线性插值函数p(x) - 7 yili(x)其中 lk(x)(k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数。具体写出为工X - X1

5、xEx兰Xlx)=Xo_X0 x 兰x乞Xf!x xiJL- Xi 4兰X兰XiXi-Xi_1x _Xj十li(x)=*-XiEx 兰Xi*(i =1,2，n1)Xi Xi卅0XoEx兰Xi4,Xy乞X兰Xnhkx - Xk(ykmk)(k二L,_,二，n - l)(Xk士x Xk )&hk其中 S (Xk)=mk(k=0,1,2,)，hk=Xk+1 Xk(k=0,1,2,1),mo,m1,mn满足的方程组是0ln(X)= X-Xn -Xn-人_f(x):P(x) (a _ x _b)5.三次样条插值函数S(x)匸mk(x-Xk)f)亠hk2m0+ kom1=c0打m0+2mi+ 卩皿

6、=G(2)当已知 S (X0)=y0=mo, S (xn)=yn=mn时，(*)式化为m -：m-m -Ck_-mn6.最小二乘法用(X)拟合 n 对数据(Xk,yk) (k=1,2，,n),使得误差平方和最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。若y =(x) = a a x，ao,ai满足法方程组naC Xk)aik=1八ykk=1C Xk)aok mnckdx：)aiXkykk=1即 ao, a1是法方程组的解。(2)二次多项式拟合若、二(x)二aa X - a：X, a；,a-, a_满足法方程组kmkj2mk亦1 7(*)ng上2mnjHCn/nmn2mn其中:hkhkhkhk6心1- ykyk-yjhkhk J附加条件：(1)当已知 S(Xo)=yo,S(Xn)=yn时,)(k=1,2，,n- 1)(*)式中丄0=1,n=1,Co=6(y7yo-yo),Cnhoho6(ynyn).hnihn(1)直线拟合卢nnnna0+aZ Xk+ag x?