1.4条件概率和全概率公式

1、11.4 条件概率和全概率公式一、条件概率的定义和性质：条件概率是概率论中一个重要而使用的概念，所考虑的是在事件 B已发生的条件下事件 A 发生的概率，记作P(AB)。先看一个例子。引例 掷一枚骰子，观察出现的点数， A 表示“出现3点” B 表 示“出现奇数”，求 P(B)，P(AB)及在已知 B 发生的条件下 A 发生的概 率P(AB)。定义 设 A,B 是两个事件，且 P(B) 0，称P(AB)=PAB!P(B)为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。不难验证，条件概率P(AB)符合概率定义中的三个条件，即10非负性：对于每一事件 B，有P(AB) 0；20规范性：对于必然事

2、件，有P(B) =1；30若事件AA, An,两两互不相容，则有PA1A2A. B二P(A B) P(A2B)P(A. B)PA1A2AnB二P(A B) P(A2B)P(AnB)即然条件概率符合上述三个条件， 故对前面所证明的一些重要结果 都适用于条件概率。例如:10P(：B) =0 ;22P(AB) =1 P(A|B);30P(AUA2B) = P(AB) +P(A2B) _P(AA B)例1(见书P7)例2(练)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这 时另一个小孩也是女孩的概率为多大？(假设一个小孩是男还是女是等可能的)二、概率的乘法公式由条件概率的定义可立即得到下述概率的乘法

3、公式。概率的乘法公式设 P(B) 0，则有P(AB) =P(B)P(AB)或设 P(A) 0，则有P(AB)二P(A)P(BA)上式可推广到多个事件的积事件的情况。例如，设AI,A2,A3为事件，且P(AA)，则有P(AA2A0 =P(A3AA2)P(A2A)P(A)一般，设A,A2, ,An为任意n个事件，则有P(AA2人)=卩内|人人2AnJPCAnjAAP(A2A)P(A)其中P(AA2An4)0例3 (见书Pi8)例4 (见书Pi8)例5设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中 不放回地连续取三次，每次取一个元件，求：(1)三次都是得一等品的概率;(2)三次中至少有一次取得

4、一等品的概率。由上例可见，为了计算某个复杂事件的概率，往往需要把这个事件 写成某些较简单的事件的并或交，然后利用概率加法公式或概率乘法公3式计算所求事件的概率。更一般地，我们有下面的公式。一、划分(完备事件组)：定义 设门为试验 E 的样本空间，Bi,B2/，Bn为 E 的一组事件。 若BjBj二，i =j，i，j=1,2/ ，n；(2)BB2Bn，则称事件组B1，B2，Bn为样本空间门的一个划分。注 若事件组Bi,B2/，Bn为样本空间的一个划分，那么，对每次 试验，事件Bi，B2/，Bn中必有一个且仅有一个发生。例如，设试验 E 为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为 门二1,2,3,

5、4,5,6。E 的一组事件Bi門出现奇数点，B出现偶数点是“的一个划分。二、全概率公式定理 设试验 E 的样本空间为门，A 为 E 的事件，若事件组Bi,B2/ ,Bn为门的一个划分，且P(Bi) 0, i =1,2/,n,则有P(A)二P(A|Bi)P(Bi) P(AB2)P(B2)P(ABn)P(Bn)称为全概率公式。全概率公式常用来求复杂事件 A 的概率，而使用全概率公式的关键是找一个合适的完备事件组。例6设甲袋装有2只白球，1只红球；乙袋中装有1只白球、2只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只4球。问取到白球的概率是多少？三、贝叶斯公式定理 设试验 E 的样本空

6、间为，A 为 E 的事件，若事件组R,B2，Bn为门的一个划分，且 P(A) 0，P(Bi) 0,i=1,2，n,则 有称为贝叶斯公式。特别当 n = 2 时，并将Bi记为 B，此时B2就是 B，那么全概率公式和贝 叶斯公式分别成为P(A)二P(AB)P(B) P(AB)P(B)P(BA)_P(A|B)P(B)P(B A) -|iP(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)例7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一中产品，它们的产 品占全厂产品的比例分别0.25，0.35,0.40并且它们的废品率分别为0.05，0.04,0.02今从该厂产品中任取出一件，问是废品的概率为多少？如果已知取出的一件产品是废品，它最大可能是哪个车间生产的？P(Bi)称为先验概率，它是根据以往数据分析所得的