高二数学寒假课程第5讲-简易逻辑

1、第五讲 命题与简易逻辑【考点一：命题相互关系与四种命题】1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2.（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫互逆命题. （2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫互逆否命题. 3.一般地，把条件的否定和结论的否定，分别记为“p”和“q”，则命题的四种形式可写为： 原命题：“若则”；逆命题：“若则”；否命

2、题：“若 p则 q”；逆否命题：“若 q则p”3.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：原命题若p则q逆命题若q则p否命题若非p则非q逆否命题若非q则非p 互逆 互 互 互 为 为 互 否 逆 逆 否否 否 互逆 互为逆否命题的真假性是一致的， 互逆命题或互否命题真假性没有关系.【例1】下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；“一个数不是正数就是负数”；“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；“为有理数，则、也都是有理数”； “作”.【解析】根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假. 通过反问句，

3、对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断， 不是命题； 是假命题， 数0既不是正数也不是负数. 感叹句， 不是命题. 是假命题， 如. 祈使句， 不是命题. 命题有： ；真命题有： 【课堂练习】1.下列命题是真命题的为（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】 A【解析】由得，而由得，由，不一定有意义，而得不到 故选A. 【例2】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.（1）若m，n都是奇数，则mn是奇数；（2）若xy5，则x3且y2.【解析】（1）逆命题：若mn是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否

4、命题：若m，n不都是奇数，则mn不是奇数，假命题；逆否命题：若mn不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题. （2）逆命题：若x3且y2，则xy5，真命题；否命题：若xy5，则x3或y2，真命题；逆否命题：若x3或y2，则xy5，假命题.【课堂练习】2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.（1）当c<0时，若ac>bc，则a<b；（2）若ab0，则a0或b0.【解析】（1）逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc真命题否命题：当c<0时，若acbc，则ab真命题逆否命题：当c<0时，若ab，则acbc真命题. （2）逆命题：若a

5、0或b0，则ab0真命题否命题：若ab0，则a0且b0真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0真命题.3.命题“若a>b，则ac2>bc2 （a，bR）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_个.【答案】 2【解析】若a>b，c20，则ac2bc2.原命题为假. 若ac2>bc2，则c20且c2>0，则a>b.逆命题为真.逆命题与否命题等价，否命题也为真.又逆否命题与原命题等价，逆否命题为假.【考点二：复合命题，全称命题与存在命题】1.“或”，“且”， “非”称为逻辑联结词， 不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题 ，复

6、合命题有三种形式且（）、或（）、非p（p）2.短语“对所有的”、“对任意一个” 逻辑中称为全称量词，并用符号“” 表示.含有全称量词的命题称为全称命题 ，全称命题形式： ，其中M为给定的集合. 3.短语“存在一个”、“至少有一个” 逻辑中称为存在量词，并用符号“” 表示.含有存在量词的命题称为特称命题 ，特称命题形式： ，其中M为给定的集合. 4.全称命题p：的否定p：；全称命题的否定为特称命题特称命题p：的否定p：；特称命题的否定为全称命题其中p（x）是一个关于的命题.5.三种复合命题的真值表： “非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： pp真假假真（1）“p且q”： 一假即假（2）“p或

7、q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假假假真假假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqPq真真真真假真假真真假假假特别提醒： 命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是 “若p则 q ”【例3】指出下列命题的真假：（1）命题“不等式（x+2）20没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合Q，也属于集合R”；（4）命题“”.【解析】（1）此命题为“p”的形式，其中p：“不等式（x+2）20有实数解”，因为x=-2是该不等式的一个解，所

8、以p是真命题，即p是假命题，所以原命题是假命题.（2）此命题是“pq”的形式，其中p：“1是偶数”，q：“1是奇数”，因为p为假命题，q为真命题， 所以pq是真命题，故原命题是真命题.（3）此命题是“pq”的形式，其中p：“属于集合Q”，q：“属于集合R”，因为p为假命题，q为真命题，所以pq是假命题，故原命题是假命题.（4）此命题是“p”的形式，其中p：“”，因为p为真命题，所以“p”为假命题，故原命题是假命题.【课堂练习】4.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对

9、角线互相平分；（3）p：方程x2x10的两实根的符号相同，q：方程x2x10的两实根的绝对值相等.【解析】（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程x2x10的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程x2x10的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程x2x10的两实数根符号不同，真命题.【例4】写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）p：xR，

10、x2x0； （2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：xR，x22x20；（4）s：至少有一个实数x，使x310.【解析】（1） p：xR，x2x0，是假命题.（2） q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.（3） r：xR，x22x20，是真命题.（4） s：xR，x310，是假命题.【课堂练习】5.命题“存在，使得”的否定是 【答案】 对任意，都有.【解析】特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.【例5】已知p：有两个不等的负根，q：无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.【解析】p：有两个不等的负根q：无实根.，因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反.（）

11、当p真且q假时，有；（） 当p假且q真时，有.综合，得的取值范围是或.【课堂练习】6.若r（x）：sin xcos xm，s（x）：x2mx10，如果“对任意的xR，r（x）为假命题”且“对任意的xR，s（x）为真命题”，求实数m的取值范围.【解析】因为由msin xcos xsin（x）恒成立，得m；而由x2mx10恒成立，得m240，即2m2. 依题意，r（x）为假命题且s（x）为真命题，所以有m且2m2，故所求m的取值范围为m2.【考点三：四种条件的判断】1.如果“若则”为真， 记为， 如果“若则”为假， 记为.2.若，则是的充分条件， 是的必要条件3.判断充要条件方法： （1）定义法：

12、 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件（2）集合法： 设P=p， Q=q，若PQ， 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 若P=Q ，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. 若PQ且QP， 则p是q的既不充分也不必要条件. （3） 逆否命题法：q 是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件q 是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件q 是p的充分要条件p是q的充要条件q 是p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件【例6】已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，则AB的充要条件是（）A.0a2 B.2a

13、2 C.0a2D.0a2【答案】A【解析】因为Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，且AB，所以如图：由画出的数轴可知，即0a2.【例7】设xR，则“x1”是“x3x”的_条件.【答案】充分不必要【解析】当x1时，x3x成立.若x3x，x（x21）0，得x1，0，1；不一定得到x1.【课堂练习】7.设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】选B.【解析】若xsin x1，因x（0，），所以xsin xxsin2x，由此可得xsin2x1，即必要性成立.若xsin2x1，由于函数f（x）xsin2x在

14、（0，）上单调递增，且sin21，所以存在x0（0，）使得x0sin2x01.又x0sin x0x0sin2x01，即x0sin x01，所以存在x0（0，x0）使得x0sin2x01，且x0sin x01，故充分性不成立.8.设集合，则“”是 “”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知得，显然，反之不可，所以则“”是 “”的充分不必要条件.【巩固练习】基础训练（A类）1.以下结论正确的是 （ ） A.命题“对边平行且相等的四边形是平行四边形”不是全称命题 B.命题“”的否定是“” C.“”是“”的必要不充分条件 D.

15、“是无理数”是“是无理数”的充要条件2.已知命题p：，则命题p的否定是 （ ）A. B. C. D. 3.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数都是偶数D.存在一个能被2整除的数都不是偶数4.已知命题p：，则（ ）A.B.C.D. 5.下列命题中不是全称命题的是 （填序号）. 圆有内接四边形， ， 若三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形为直角三角形6. 命题：“至少有一个点在函数y=kx （k0）的图象上”的否定是 . 7.已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数

16、，则下列命题中为真命题的是 （填序号）. （ ）， （ ） （， （ ）8.有以下四个命题：中，“”是“”的充要条件；若命题则；不等式在上恒成立；设有四个函数其中在上是增函数的函数有3个.其中真命题的序号 9.若命题“”是假命题，则实数的取值范围为_，10.命题“时，满足不等式”是假命题，则的取值范围 .【参考答案】1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】6.【答案】所有点都不在函数y=kx （k0）的图象上.7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】（-，-5提高训练（B类）1.已知直线m、n，平面，则的一个充分不必要条件为（A） （B）（C）（D）2.“

17、1<a<2”是对任意正数x，的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“对任意的”的否定是（ ）A.不存在 B.存在C.存在 D. 对任意的 .4.若p：|x1|2，q：x2，则p是q成立的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若集合，则“”是“”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若集合P=1，2，3，4，则下列论断正确的是（ ）A.是的充分不必要条件 B.是的必要不充分条件C.是的充分必要条件D.是的既不充分也不必要条件7.设p：

18、f（x）2x2mxl在（0，）内单调递增，q：m5，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知条件，条件，则p 是 q的 （ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件9.设是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：来源：若；若；若l上有两点到的距离相等，则l/；若.其中正确命题的序号是_.【参考答案】1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】综合迁移（C类）1.命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则 2.命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则 3.已知命题p：存在实数m使m+10，命题q：对任意，若p且q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）A.B.C.D.-2，24.“1<a<2”是对任意正数x，的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“若-a不属于N，则a属于N”的否命题是真命题.B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.C.命题“$xR使得x2+x+10”的否定是：