高等数学基础第二次作业有答案.

1、高等数学基础第二次作业第3章导数与微分(-)单项选择题1 .设"0) = 0且极限 x存在，则 x (B)A. g./c. ”k)d. °2.设尸(内)在可导，则2(D)A - 2 x0) g(0)C 2(.)d. - 尸(/).” <(1) 、 v lim=3.设 f(x) = c 则si(A).A. eB. 2eie leC.2 D.44设'(*)=1)(内 2)(x- 99),则/(0)= ( D )A 99 B , - 99c. 99!d.-"!5 .下列结论中正确的是(C) .A.若汽力在点天有极限，则在点义。可导.B.若"方在点

2、七连续，则在点义。可导.C.若在点%可导，则在点%有极限.D.若F（k）在点/有极限，则在点/连续6 .当*-> °时，变量（C）是无穷小量.sin x 1A. x B. xc/&，n-D ln（+2）7 .若函数尸（的在点/满足（A）,则广（方在点与连续。lim «/）= f（A0） QA. Q年B.，（k）在点七的某个邻域内有定义litn f（A）= f（A0） litn f（x= litn f（x）Q a#D A K A %（-）填空题i设函数 &x=0,则广工无穷小量.cc «、(Ax)2 sin -"0ir(0) = li

3、m "O+AX)- =)= |iinhmAxsin =0解：wQ Aa30 Az¥bla Ax这里用到：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。d r（ln X） 2.*夕 x2 .设（e'）= e" + 5-,则 <1a解：令=匚有八/）= / + 5/.令r = In x. 有f«ln x） = In2 x 4- 5 In a;d /(In x) df(lnx) d(ln a) d(ln2-v+5 In d(lnA)匕 1= = = (2 In / 4 5)一 故 dx J(ln x) dx d(ln x) dxx3 .曲线f=&

4、； 1在3 2)处的切线斜率是.(ZL )4 .曲线外力=而x在丁 处的切线方程是.5 .设则入.6 .设y=xlnx,则/= _.(三)计算题1.求下列函数的导数y ：(i)y=(点+3代'解：由导数四则运算法则 £Jy = ( x4x 4- 3 )e T)r = (x2 + 3ye”+ (.v2 +=(Q)J '州、(/ + 3)e* 3 133 三+ * +3)二(21 + /+3兄”22y= cot AT4 £ In k解：由导数四则运算法则y = (cot x1 In x)' = (cot x + (x2 In xY=寸(a2 y In x

5、+ a2 (In xsin，a=!- + 2xln x+ x2 ='+ 2 Ain x+ xsin - xx sin - xX-解：由导数四则运算法则y =(口=In x乂一 a2(In A)rIn2 x2 a In a - a2XIn2 x2ln x- xIn2 xcos x+ 2'y=5(4)X解：由导数四则运算法则cos x + 2 ； (cos x+ 2-(cos 2 "，)'=?(cos x)T«2'y)/ - 3x'(co£ x+ 2 r)(-sin 2t In 2)x,- 3x2 (cos x+ 2 r)一 x

6、sin x+ x2x In 2 - 3 cos x - 3 2 =In -r- y=： (5) sin -v解：由导数四则运算法则in a -j (In x-工-ysin /一 <in x- x' )(sin a),y =(;)= :sin isin ' i(In xy - (x2 )1 sin i x- -r)eas x(2a)sin x- (hi x- x2)cos x_ _xsin2 xsin x- 2x2 sin a- xln x+ £ cos. *xsin 2 x(6)了= - - $亩 xln x解：由导数四则运算法则y = ( a4 - sin x

7、 In = (x4 丫一 <sin xln x)1=4xl - (sin x)fn sin #hi x)')i, I nsin x=4x - (cos In a -t- sin a - -) = 4 x - cos In xsin 式子r=3、解：由导数四则运算法则(sin *+ /)3" 一(sin x+ 丁)(3”丫(V?“sin xY 斗(工)')3' (sin x+ £ )31n 3(Vp(cos x+ 2x)3" - 3"sin xln3 一 3“1"3:in3cos x+ 2* - sin xln3 -

8、 x2 In 3= r广© "场* mx解：由导数四则运算法则y = (c ” tan x+ In 彳)'=(c" tan x + (In x)J(e'v)f tan x+ c 'v(tan 的'十 xe tan x+ ecos x2 .求下列函数的导数y(1)/=C解：设1，三川-7，-1一*,则有由复合函数求导法则y =匕乂 ,匕=(e") («)；。-小兀=e,= -(-2a) =2人5/i-r AvJi - x2«)y= In cos k解：设 u = cosxy= In u , H = cos

9、 v9由复合函数求导法则V =匕r匕=(In uyu . (cos 叽(x )1 ,、，、)sin T=(- sm y)3k = -3"-=-3x2 tan xyCOS A六解:I I_L L 2._±y = JxJ XX = (Mx./)*)2 = ( A(A2 )2 )1 = ( X - x4 )xft(4)y= Nx+y解：设 =则有y= W”，u = x+ &由复合函数求导法则y =匕-g =(。匕 " 十 4); 22=g口 3(1 + =)= *+4)m +尸解：设 = cose"，v= c 则有2vy= £/ = cos

10、y, t = e由复合函数求导法则y =匕吃匕=(w2)； (cos叽.(e工=2(-sin y)'c' = -2c"sin4'cos ev = -c1 sin 2c-1(6)y=coser T-7解：设“二£, ”=/二则有y=cos, w = ev, 丫= x?由复合函数求导法则 y = x-吃匕=（8§“）：（©）; （x1）；=-sin -e - 2x = -2xc sin e y = sin , acos nx解：由导数四则运算法则y = (sin " *cos nx = (sin,疗cos nx + sin&

11、quot; Mcos nx)设。/= sin /,"小，则有sin w a = u cos tix = cos v由复合函数求导法则y = (sin " xcos nx = (sin" x)'cos nx + sin' Mcos nx)=(/)，(sin x) cos nx . sin ” x(cos 味 (nx)=cos xws nx + sin ' M- sin v n=n sin xcos a cos nx - nsin , xsin nx7"解：设u = §eM, y=/，则有y = 5" , 

12、3;/ = sin v t v= x2由复合函数求导法则匕=(5")Jn 叽(/)1=5 "In 5 cos v 2a = 2 尸脸'In ? cos x:片c解：设"=si力，y=sinx,则有y= e" u = V2 v= sin x由复合函数求导法则=ew » 2 r- cos x = 2e1,n v sin xcos a = ei,n r sin 2x(l0)/= x由导数四则运算法则y =（产r+ /广=（产n+ c'y设£/=Vlnx, y=/2,由复合函数求导法则 y =。工.（Mm叫+（/）;.（/）;

13、e"(2xki xa a) 4- er - 2x产 (2*ln *+ x)+ 2xc (n)y= /由导数四则运算法则y = e、，c-）,= C'g"）、（J）'设“二/加"，V=ev,由复合函数求导法则y = （ew）；-（etln；4-（e7r.（ev）；=e"(e' In x十一)+ ev - e'=A(erlnx+)-bee，ev 3.在下列方程中.乂工)是由方程确定的函数，求y ： ycos A = e?解法1：等式两端对x求导左二(ycos x)' = / cos x <cos x)9=y co

14、s x- ysin x七二(e")； =(/与丁 y=2e"y由此得ycos x- ysin x= 2coy整理得y ysin xcos x- 2e：r解法2：等式两端求微分左二 d( ycos x) = cos jd(cos x)=cos，Mr- ysm xdA右=d(e2y) =，"d(2y) = 2c =dy由此得cos Wy- ysin 配耳=2c"dy整理得ysin xdy=-axcos x- 2e')ysin xy =cos x- 2e-rcos yin x解法1：等式两端对X求导左二y右=(cos yin x - (cos y)*x

15、 In x+ cos 川n xcos1=(cos yy - y In cos y 一=一 In xsin y- y +XX由此得 y = _|nTsiny/十经上 整理得cos yx+ Ain xsin y解法2：等式两端求微分 左工以右=d(tos yin k) = In Ad(cos y) + cos)d(ln k)= -sin yln/dy十士dx由此得CQj? y dy= - sin yin xdy+-dA整理得dy= dx x+ Ain a sin y, cos yy =x+ Ain xsin y2xsin y=(3) ¥解法i：等式两端对天求导*= (2xsin y =

16、(2x)fsin y+ 2Msm y)=2 sin2 Msin y> , / = 2sin /+ 2xcos y /、，(眉)-*夕 2xy-x2y=(一) ;右y 尸尸由此得2sin y+2xcos/./ =整理得2口一 2 V sin y2x cos Vr4解法2：等式两端求微分左Nd(2xsin y) = sin j d (2 x) + 2 Ad (sin y)=2 sin dx4 2xcos jdyV=d(一)=右 y由此得r .、 二 2xyx- x2dy2 sin 2acos idy=整理得2xy- 2 sin y .dy= 7 dx2旷 cos y+ M得f 2xy- 2

17、y1 sin y 2x COS F4 Aj尸x+ In y解法1:等式两端对才求导左7右=(x+my)，=(W+(Iny)；=1 + <in v)t. y = i + / y由此得y = i+-y y整理得y 二- y-1解法2：等式两端求微分左=盯=d( .V+ Irt v) = d.V+ d(In y) = d.V4 dv右 "' F ”由此得dy = dx+ dy y整理得dy=y-i得(5)hx4c- = r解法1:等式两端对才求导左=(In x-k e")' = (In 刈'+ (e')；=+ (e -)* y = - -i-

18、 c yy XX右=(yR = (V):y=2yy由此得+ c* y - 2y- yX整理得y =!2xy- ac v解法2：等式两端求微分左=d(ln *4 c，)= d(ln 4 d(炉)=-dx十 e'dy x右二(J( y) = e2jd(2y) = 2e2rdjz由此得一dx + e vdy = 2 jtlyx整理得dy=5；dx2xy_ v得y =!2xy-肥尸(6)/ +1 = e'sin y解法1：等式两端对x求导左=(y + l)； = (/ + l)jy = 2yy右二(e v sin y)f = (e v)"sin y+ e v(sin y)=e

19、 1 sin y+ c 1r(sin y)rv / = e' sin y+ e ' cos y /由此得 2尸 / = c' sin y4 c1 cos 尸 /整理得ev sin v y 2 y - &1 cos y解法2：等式两端求微分左=d(4-1)= 4(/)4 d(l)=2jdy右=d(Ssin y) = sin jd(，')4 e*d(sin y)=eT sin vd.v +- ex cos jdy由此得2 vdy= e1 sin ;dx4 eT cos v J 9TJJ J整理得2y- e T cos y得e * sin py 2y_ eTe

20、os y解法1：等式两端对界求导左=（屐）；=（”）； y = e'y右=（葭-V），= （e）（V）；= e'-（"）；V = e"-3y2y由此得e Ty = r * 一 a j/y整理得ez 4 3y2解法2：等式两端求微分 左=d(e? = e'dy右=d(er- /)= d(ex)-d(/)由此得 e-dy = ed.v- 3y2dy 整理得e，+ 3/ = 77I7+解法1：等式两端对汽求导右3Q)y 2y=5Aln5 + (2y)rr-/=5¥ln5+ 2r In2-/由此得 y = 5,5+2'ln2 y5rln5y

21、 =I - 2J In2解法2：等式两端求微分左二孙右=d(5x+ 2')=d(5x)+ d(2r)=5 ' In5d2 * ln2dy由此得dy = 5' In5d2 “n2d y整理得dy=dxl-2Jln2得5Mn55Z I - 2 In 24.求下列函数的微分dy ： y = CO- COS X解. dy= d(cot x+ cos x) = d(wt x) + d(cos a)=da - sin xdx =-(十 sin x)(1asin - xsin - xIn x/=-(2) sin xIn a sin xd(ln x)- In xdtsin x) dy=

22、 d(-) =解：sin xsin xsill xd%- In acos Ad/sin x- xln acos x ,Mx d*I - X y = arcsin (3) I + vdy= d(arcsin解:(1/ a)d(l *)( x)d(l+ x)1- (1+ x)(1a- (1 - x)dx()l(l-yj (1 + x)d(l x) (l *)d(l + x)3 I + zV(1+ x)2- (1 + x)d,t - (1 - x)dx3 1+ x(1+ x)2-2(1+ n)=dx23(1+V I + x.2Sin c尸解.dy = d(sin %")= 2sin c"d(sin=2sin c1 cos c'd(，”)=2e vsin e v cos e'dx= cv sin 2e