32975_《函数模型及其应用》学案10(人教A版必修1)

1、函数模型及其应用 一【课标要求】1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的 含义；2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函 数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考 大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的 的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试 题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显 得新颖

2、、生动和灵活。预测 2010 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大 训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规 律找出解题策略。（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题 的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质 （单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、 能源、健康等社会现象1.解决实际问题的解题过程(1) 对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关 系，确定变量之间的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量;(2

3、) 建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内， 我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；(3) 求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的 结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的 解.这些步骤用框图表示：值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作 用 四.【典例解析】题型 1:正比例、反比例和一次函数型例(1) (2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧J 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市 的的距离有关，对城 A 和

4、城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之 和，记 C点到城 A 的距离为 xkm,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和 城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所 选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4;对城 B 的影响度【要点精实际问题函数模型抽象概2.解决函数应用问题应着重培养下面一些能力:析、画图、列表、归类 等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位(2) 建立函数模型的能力： 关键是正确选择自变量将问题的目标 表示为这实变量的函数， 建立函数的模型的过程主要是扒住某些量之 间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)

5、求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的性等等;与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k,当垃圾处理厂建在-二的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（I） 将 y 表示成 x 的函数；（II）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 丄上是否存在一点，使 建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求 出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。18x4=8(400 -x2)2,所 以x2=160,即x =,当0：x：4 10时,18x4：8（400 -x2）2,即y：0所以函数为单调减函数,当4.6：x：20时,18x48（400 -X

6、2）2,即y 0所以函数为单调增函数.所以当 x = 时, 即当 C 点到城 A 的距离为4.而时，函数y二号J（0：x：20）有最小x2400 - x2值.解法二：（1）同上.(2)设m =x2,n=400-x2则m n二400,y = - 所以m n,)J二丄13(也.如)_丄(1312)当且仅当m n 400400 m n40016=如即门=240时取”二”m nm = 160F面证明函数 y/ 在（0,160）上为减函数，在（160,400）上为解法一：（1 ）女口图，由题意知BC,BC2=400 x2,yk（0：x：. 20）x400-x2其中当x=10、一2时，y=0.065 所以

7、 k=9所以 y 表示成 x 的函数为y=鸟9一2（0：x：20）x 400 x(2)y 92x 400 xy=4 2 28 _ 9 (-2x)18x -8(400 -x )32.2 3 .x (400 - x ) x (400 - x )yfm n4n 9m,令y = 0得增m 400 m函数.设 0m1m2160 则讨、一讨2二-(-)m1400 m1m2400 m2因为 0vmim24X240 x2409 mim29x160 x160 所以4(400-讪400匹如上。，”1和2(400 mj(400 m2)所以血-显爲(400需;(监需2。即yi -2函数 V 證m在(0,160)上为减

8、函数.同理，函数y二里 匚在(160,400)上为增函数，设 160mim2400 则m400m4丄9,4丄9、 /、4(400口)(400 m2)9口和2yi- y2(m2- mi)-2叶400rnim2400 m2m,m2(400 - mj(400 - m2)因 为 1600m1m2400,所以 4(400 - g)(400 - m2)9x160 x1604(400 0)(400 m2) 9口和212(400 -1)(400 -m2)在(160,400)上为增函数.所以当 m=160 即x=4.10时取”二二函数 y 有最小值,所以弧丄上存在一点，当x=4、币时使建在此处的垃圾处理厂对城

9、A和城 B 的总影响度最小.【命题立意】：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系 数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的= (m)2 -讪讪4m1m29_(400 - mi)(400 -m2)=血-mJ4(400 _)(400 _ m2) _ 9mim2mm (400 -g )(400 -m2)所以所以血吨9400 -m单调性等问题.（2）.某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面 积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记 录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不米取任何措施， 那么到2010 年底，该地

10、区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2） 如果从 2000年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠， 那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷？观测时间19961997199819992000年底年底年底年底年底该地区沙漠比原有0.20000.40000.60010.79991.0001面积增加数（万公顷）解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关 系图象近似地为一次函数 y=kx+b 的图象将 x=1, y=0.2 与 x=2, y=0.4,代入 y=kx+b,求得 k=0.2, b=0,所以 y=0.2x （x N）。因为原有沙漠面积为 95

11、 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为95+0.5X15=98 （万公顷）。（2）设从 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得95+0.2x- 0.6（x 5）=90,解得 x=20 （年）。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和 基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好 例 2. （2009 湖南卷理）（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一

12、个桥墩的工程费用为256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 d)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素， 记余下工程的费用为y万元。(I)试写出y关于x的函数关系式；(H)当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(I)设需要新建n个桥墩，(n 1)x = m，即n=m-1x所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+. x)x=256( -1)+m(2、x)xx x33(H)由(I)知,f (x) - - -mx2(x2-512).x 22x3令f(x) =0，得x2=512，所以x=64当 0 x64 时f (x)0.f(x)在区间(64

13、, 640)内为增函数，所以f(x)在x=64 处取得最小值，此时，n =m-1=640-1=9.x 64故需新建 9 个桥墩才能使y最小题型 2 :二次函数型例 3.一辆中型客车的营运总利润 y (单位：万元)与营运年数 x(x N)的变化关系如表所示，则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7x 年4682y = ax +bx+c（万元）7117(II) p(x) - -30 x290 x 324 J30(x_12)(x 9)解析：表中已给出了二次函数模型2y = ax bx c,由表中数据知，二次函数的图象上存在三点(4, 7),(6,

14、11),(8, 7)，则厂27 = a 4 +b，4 +c,11 = a 62+b 6 +c,27 =a 8 +b 8 +c.L。解得 a= 1, b=12, c=-25,即y=x212x-25。_ 25而取“二二”的条件为二匚,即 x=5,故选(B)。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。例 4.( 2009 福州八中)某造船公司年造船量是20 艘，已知造船x艘的产值函数为 R(X)=3700X+45X2-10X3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460 x+5000 (单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边

15、际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)二二f(x+1)-f(x)。(I)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示：利润二二产值成 本)(H)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(皿)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解(I) P(x)=R(x)-C(x)=-10 x3+45X2+3240X-5000,(XN*,且 1 x 20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30 x2+60X+3275, (XN；且 1 x0,当 xv12 时，P(X)v0.二X=12,P (x)有最大值.即年造船量安排 12 艘时

16、，可使公司造船的年利润最大.2 2(皿)TMP(X)=-30 x +60 x+3275=-30(x-1) +3305,所以，当X 1 时，MP(x)单调递减，X的取值范围为1,19，且XN*MP(X)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.例 5.(2008 湖南理 21.)已知函数f(x-x4X9X2CX有三个极值点42(I) 证明：27：c：5;(II)若存在实数 C,使函数f(x)在区间l.a,a 21上单调递减，求a的取值范围。解：(I)因为函数f(x)=丄x4X9X2CX有三个极值点，42所以f (x) =X33x2-9x c =0有三个互异的实根.设g(x) =x3

17、3x2-9x c,贝S g (x) =3x26x -9 =3(x 3)(x-1),当x：-3时，g (X) 0, g(x)在(：，-3)上为增函数;当3：x：1 时，g (X) :：: 0, g(x)在(-3,1)上为减函数;当X 1时，g (X) 0, g(x)在(1,：)上为增函数;所以函数g(x)在x3时取极大值，在x = 1时取极小值.当g(-3)乞0或g(1)_0时,g(x) =0最多只有两个不同实根.因为g(x) =0有三个不同实根，所以g(-3) 0且g(1)：0.即-27 27 27 c 0,且1 3-9 c：0,解得c -27,且c : 5,故-27：c：5.(II)由(I)

18、的证明可知，当-21 . c . 5时，f(x)有三个极值点.不妨设为Xi,X2,X3(Xi：:X2:：X3)，贝 Sf (x)=(x Xi)(X X2)(X X3).所以f (X)的单调递减区间是(-2,Xi,X2, X3若f(x)在区间la,a 21 上单调递减，贝卩la,a - 2 -(-叫X,或la,a - 2凫必,若a,a21 (_：:, xi,则a 2乞冷.由(I)知，x -3,于是a：-5.若a, a2 x2,x3,贝卩a _ x2且a 2岂x3.由(I)知，3：x2：i.又f (x) = x33x2- 9x c,当c = -27时，f (x) = (x -3)(x 3)2；当c

19、 = 5时，f (x) =(x 5)(xi)2.因此，当-27。5时，i：x3：3.所以a -3,且a 2乞3.即-3 a：1.故a ”5,或-3 a: 1.反之，当a 5,或-3：a：1时， 总可找到c(-27,5),使函数f(x)在区间la,a 21上单调递减.综上所述,a的取值范围是(-：:,5)U(-3,i).题型 3:分段函数型例 6.(2009 福建省)已知某企业原有员工2000 人，每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业 实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护 生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,

20、并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估，当待岗员工人数 x 不超过 原有员工 1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-旦)万元；100 x当待岗员工人数 X 超过原有员工 1%时,留岗员工每人每年可为企业多 创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？解设重组后，该企业年利润为 y 万元.v2000X1%=20,二当 OvxW20 且 xN 时，y=(2000-x)(3.5+1- 旦)-0.5x=-5(x+324)+9000.81.100 xxvx 2000X5%x 100,A当 20 x 100 且 x N 时,y=(2000-x)(3.5+0

21、.9595)-0.5x=-4.9595x+8919.j -5(x 324) 49000.81, (0 x兰20且xN),yx-4.9595x 8919,(20 :：:x 100且xN).当 0 xw20 时,有y=-5(x+324)+9000.81-5X2324+9000.81=8820.81,x当且仅当 x=324,即 x=18 时取等号，此时 y 取得最大值.x当 20 x 10）层, 则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）.为了使楼房每平 方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用）建筑总面积【解析

22、】设楼房每平方米的平均综合费为 f （x）元，则f x = 48108?0，令f x = 0得x=15x当x 15时，f x 0;当0：x：15时， x：0因此当x=15时，f （x）取最小值f 15 =2000;答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建 为 15层。点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求 函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能5:6力.题型 4:三角函数型例8某港口水的深度y(m)是时间t (0t24,单位： h)的函数, 记作y=f(t)。下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/10.13.09.97.010.013.010.

23、17.010.m00经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asint+b 的图象。(1)试根据以上数据求出函数 y=f(t)的近似表达式；(2)般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的(船 舶停靠时，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船底离水面的 距离)为 6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多 能在港内停留多少时间(忽进出港所需的时间)？解析：题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数 据进行解答(1)由表中数据易得2，周期 T=12,12 6, b=10,y =3siin t 10所以6。(2)由题意，该船

24、进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5 (m),313sin t 10 _11.5所以6,JI JI2kt2k二6 6解得 12k+1t 12k+5 (k Z)在同一天内取 k=0 或 1, 所以 1t 5 或 13t 0.分 故f(x 1)- f(x)单调递减-当x_7时，掌握程度的增长量f(x，1)-f(x)总是下降. 分.6(2)由题意可知 0.1+151 n 旦 =0.85 .分.9a -6整理得旦二e0.05例 9.(2009 年上海卷理)有时可用函数f (x)二,(x)x-4.4x 4(x 6)0.1 15ln0.05解得a二逼6=20.50 6 =123.0,123.0 （1

25、21,127.1 分e -1由此可知，该学科是乙学科 .分 4例 10.（ 2008 湖北，文、理 19）（本不题满分 12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2四周空白的宽 度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与 宽的尺寸（单位：cm）,能使矩形广告面积最小？解法 1:设矩形栏目的高为 acm，宽为 bcm，则 ab=9000.广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a0, b0.广告的面积 S= （a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500= 18500

26、+25a+40b 18500+225a40b=18500+1000ab = 24500.当且仅当25a = 40b 时等号成立，此时 b 史a,代入式得 a=120,8从而 b=75.即当 a=120, b=75 时,S 取得最小值 24500.故广告的高为 140 cm 宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小解法 2：设广告的高为宽分别为 xcm, ycm,则每栏的高和宽分别为 x20,5,其中 x20, y252两栏面积之和为 2(x 20)口5=18000,由此得 y=1800025,2x 20整理得S=36000025(x -20) 18500.广告的面积网=x（男齐25）=吨25

27、X,x -20 x 20设设0：t1 : t2 ,因为x20 0,所以 S236000025(X _ 20)18500 = 24500.V x20当且仅当 型型=25(x一20)时等号成立，x -20此时有(x 20)2= 14400(x20)，解得 x=140,代入 y=18000+25,x 20得 y= 175,即当 x=140, y= 175 时，S 取得最小值 24500,故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能 力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。题型 6:指数、对数型函数例 11.有

28、一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖 水均匀混合r用g(t)二卩4g(0)-卫e(p一0),表示某一时刻一立方米湖水中所含污染rr物的克数(我们称其湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量 分数。(1) 当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2) 分析g(0)：:卫时，湖水的污染程度如何。r解析：(1)设 0 : t2,rr因为g(t)为常数，g(tj = g(t2)，即g(0)-卫e于1-e于=0,r则g(0)=卫；r因为g(0)：0,0 t!:：:t2,g(tj：g(t2)。污染越来越严重。r

29、点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数0 :：: a =：1,a 1两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别, 它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重” 还是“污染越来越轻”例 12 .现有某种细胞 100 个，其中有占总数-的细胞每小时分裂2一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据:Ig3 =0.477,lg 2 =0.301).可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y = 100汇12丿1010，得 i3108，两边取以 10 为底的对数，得x lg- 8,12丿2答：经过 46 小时，细胞总数超过1010个。点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来 对事=g（。）弓ev_ert1-t2v解析：现有细胞 100 个，先考虑经过 1、2、3、4