最值问题3(垂线段与辅助圆)(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 垂线段最短与辅助圆三大模型：1.垂线段最短：如图，直线BC与直线外一点A，点A到直线BC的距离AD最短1.例：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4），直线与轴、轴分别交于A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 5.6 。2如图，已知OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质【分析】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，由题意得出ADO=CEB=90，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出OABC，OA=BC，得出AOD=CBE，由AAS证明AODCBE，得

2、出OD=BE=1，即可得出结果【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：ADO=CEB=90，OD=1，OE=4，四边形ABCD是平行四边形，OABC，OA=BC，AOD=CBE，在AOD和CBE中，AODCBE（AAS），OD=BE=1，OB=OE+BE=5；故答案为：5方法二：OB2=OH2+HB2 OH=5,当BH最小也就是等于0时OB最小=52.辅助圆1：直角三角形构造以斜边为直径的外接圆2.例：如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的

3、最小值为（B）AB2CD答案：2【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理【分析】首先证明点P在以AB为直径的O上，连接OC与O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题【解答】解：ABC=90，ABP+PBC=90，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90，点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在RTBCO中，OBC=90，BC=4，OB=3，OC=5，PC=OC=OP=53=2PC最小值为2故选B3.辅助圆2：作以定点为圆心，定长为半径的圆3.例：如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，

4、将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是答案：3如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是1.2（构造以F为圆心，FC为半径的圆，再过点F作AB的垂线段）【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小，利用AFMABC，得到=求出FM即可解决问题【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小A=A，AMF=C=90，AFMABC，=，CF=2，AC=6，BC=8，

5、AF=4，AB=10，=，FM=3.2，PF=CF=2，PM=1.2点P到边AB距离的最小值是1.2故答案为1.2【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型相关练习：1如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 2如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3如图所示，已知点N（1，0），直线y=x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点

6、，则PM+MN的最小值是4（3分）（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG下列说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长为；CG的最小值为1其中正确的说法是（把你认为正确的说法的序号都填上）5、如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的小值是（ ） A、 B、6 C、 D、46. 如图，菱形ABCD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小

7、时，CQ的长为（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 7.在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ） A. B. C.D.8如图4，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、.则面积的最大值是( ) 9、在ABC中，ABAC5，cosABC，将ABC绕点C顺时针旋转，得到A1B1C。（1）如图，当点B1在线段BA延长线上时。求证：BB1CA1；求AB1C的面积；（2）如图，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F

8、的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差。答案：2.【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P，连接PQ与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知PQCD时PK+QK的最小值，然后求解即可【解答】解：如图，AB=2，A=120，点P到CD的距离为2=，PK+QK的最小值为故答案为：【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键4（3分）（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG下列

9、说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长为；CG的最小值为1其中正确的说法是?（把你认为正确的说法的序号都填上）（以AB为直径作圆，圆心为O，连接CO与圆弧交于点G）（本人认为此答案不对，应该是2，4）考点：四边形综合题分析：根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，AG=GE，故错误；求得BAE=CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=C=90，然后利用“角角边”证明ABE和BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，然后求出弧BD的长度，判断出正确；正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最

10、小值，通过计算从而判断出错误解答：解：在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，当E移动到与C重合时，AG=GE，故错误；BFAE，AEB+CBF=90，AEB+BAE=90，BAE=CBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS），故正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，圆弧BD的长=，故正确；CG的最小值为ACAB=42，故错误；综上所述，正确的结论有故答案为点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出ABE和BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观5.A 7.D 8.C6. 如图，菱形AB

11、CD的边AB=8，B=60，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A，当CA的长度最小时，CQ的长为（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题【分析】如下图所示，由题意可知，ABC为等边三角形；过C作CHAB，则AH=HB；连接DH；要使CA的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQDH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如图，过C作CHAB，连接DH；ABCD是菱形，B=60ABC为等边三角形；

12、AH=HB=4；BP=3，HP=1要使CA的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQDH；由作图知，DHPQ为平行四边形DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为：B【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下CA的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键.答案：我认为以上答案不对，点A应该落在以点P为圆心PA长为半径的一段圆弧上，所以当A落在CP上时，CA的长度最小，PA沿线段PQ对折可得APQ=CPQ，再利用平行得内错角相等及等角对等边得出CQ=CP=79.解：（1）证明：ABAC，B1CBC 1B，BACB，2ACB（旋转角相等），12 BB1CA1过A作AFBC于F，过C作CEAB于E ABAC，AFBC BFCFco