2010届高三数学一轮复习强化训练精品――平面向量解三角形单元综合测试

1、2010 届高三数学一轮复习强化训练精品一一平面向量、解三角形单元综合测试 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5分，共 70 分) 1. (2008 辽宁理)已知 0、A、B是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB =0,_则 OC = _ （用 OA、OB 表示） 答案 2 OA - OB b|=2,( a+b)丄(2a-b),则向量 a与 b 的夹角为 答案 90 ABCD 中，AB / CD，且 AB=3CD，M，N 分别是 AB，CD 的中点，设 AB =e1, AD =e2, MN 可表示为 _ （ _ 用 e1, e2表示）. 答案 e2- 1

2、e1 3 4. 在厶 ABC 中，A=105，C=45 ,AB=.、2，贝U AC= . 答案 1 5. (2008 湖南理)设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC =2BD，CE =2EA，AF =2FB，则 AD +BE + CF 与 BC 的位置关系为 . 答案平行 6. (2008 湖北理)设 a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2)，则(a+2b) c= . 答案-3 7. (2008 重庆理)若过两点 P1 (-1，2)，P2 ( 5，6)的直线与 x轴相交于点 P，则点 P 分有向线段 丽所成的比人的值 为 . 答案-1 3 8.

3、 已知非零向量 a, b,若 a b=0,则二22 = . |a +2b| - 答案 1 9. 设平面向量 a=(x,y), b=(x2, y2), c=(1,-1), d=(丄，一1),若 a c=b d=1,则这样的向量 a的个数是 个. 9 4 答案 0 10. 已知向量 a与 b 的夹角为 120，且| a|=3,| a+b|= J3，则|b|= . 答案 4 11. (2008 北京理，10)已知向量 a与 b 的夹角为 120 ,且| a|=| b|=4,那么 b (2a+b)的值为 _2.向量 a, b 满足|a|=1,| 3.如图所示，已知梯形 答案 o 12. (2008 天

4、津文，14)已知平面向量 a=(2,4), b=(-1,2).若 c=a-( a b) b,则 | c|= . 答案 8 ,2 13. (2008 陕西理，15)关于平面向量 a , b, c 有下列三个命题： 若 a b=a 5_则 b=c;若 a=(1, k), b=(-2,6), a / b,则 k=-3;非零向量 a 和 b 满足 |a|=| b|=| a-b|，则 a 与 a+b 的夹角为 60 .其中真命题的序号为 答案 14.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30 、60,则塔高为 m. 答案400 3 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)

5、15. (14 分)设 a=(-1,1), b=(4,3), c=(5,-2), (1) 求证 a与 b 不共线，并求 a与 b 的夹角的余弦值; (2) 求 c 在 a方向上的投影； (3) 求.0). （1）试用 k 表示 a b，并求 a b 的最小值; （2）若”x一，b=G，求包.b的最大值及相应的x值. 解(1)V |a|=1 , |b|=1 , 由 | ka+b|= . 3 |a-kb|. 得(ka+b)2=3(a-kb)2, 2 整理得 a b=k ! = !(k 丄) 1, 4k 4 k 2 1 当且仅当 k=1时，a b 取最小值丄. 2 (2)由 a b = 1cosx+

6、_3 sin x=sin (x+卫) 2 2 6 / 0 x w - ,.二 w x+ , 6 6 6 / - 1 w sin( x+二)w 1. 2 6 当 x= 时，a b 取最大值为 1. 3 17. （2009 海安高级中学测试题） （14 分）在厶 ABC 中，设 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m=（cosA,sin A）, n=( .2 -sin A,cos A),若| m+n|=2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b=4 ,2 ,且 c= .、2 日，求厶 ABC 的面积. 解 (1) m+n=( .2 +cosA-sin A,cos A+sin A) 2 *

7、 2 2 | m+n| =( 2 +cosA-sin A) +(cos A+sin A) J 2 =2+2 ,2 (cos A-sin A)+(cos A-sin A) +(cos A+sin A) =2+2 2 (cos A-sin A)+2 =4-4sin (A-二) 4 / | m+n |=2, / 4-4sin (AL) =4,sin (AL ) =0. 4 4 又/ 0 A v 二，二- A- , A- =0, 4 4 4 49 / A=二. 4 由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos A, 又 b=4 2 , c= 2 a, A= _ , 4 得 a2=32+2a2-2 x

8、4 L 2 x、2 a , 2 即 a2-8 2 a+32=0,解得 a=4、2 , :. c=8. 二 SAABC = b csin A = 1 x 4 . 2 x 8x sin 二=16. 2 2 4 SA ABC= -x (4 湮)2=16. 2 18. （2008 重庆理，17） （16分）设厶 ABC 的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且 A=60 (1a的值； c 1 1的值 tan B tan C 解 （1） 由余弦定理得 2 2 2 a =b +c -2 bccosA ,c=3b.求: 1 tan B tanC _ cos B sin C 亠 cos C si

9、n B sin Bsin C sin(B +C) = sin A sin B sin C sin Bsin C 由正弦定理和（1 ）的结论得 sin A =1 sin B sin C sin A a2 bc 3 Zc2 _9_= 14 _143 1c c 3 3 3 （2）方 9 cosB= 1 1 7 2 c c =c , 3 2 9 =（3 心2 1 tan B 1 =14 岛 tan C 9 方法二由余弦定理及（1 ）的结论有 a2 c2 T2 2ac 5 2. 7 故 Wos2：5、：. 同理可得 sin C= $1 _cos2 c = i _丄=勺 . V 28 2护 从而二 =co

10、sB + COsC tan B tan C sin B sin C 19. （2008 湖南理，19） （16分）在一个特定时段内，以点 E 为中心的7 海里以内海域被设为警戒水域 点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 +v （其中 sin 置 C. 由余弦定理得 BC= ： AB2 AC2 -2AB AC cos 卄 10、5. r 所以船的行驶速度为 I0-5 =!=15 .5 （海里/小时）. 40 2 60 3 （2）方法一 如图（2）所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点

11、与 x轴的交点为 D.cosC= a2 b2 c2 2ab 1 2 .7 =5、3-3 14、3 9 A 北偏东 45且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经 TI 90）且与点 A 相距 10.、13 海里的 (1) 求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; 若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域 ,并说明理由. (1) 如图(1)所示,AB =40.2 , AC =10 .13，/ BAC = v , sin 由于 0 二40=AQ ,所以点 Q位于点 A 和点 E之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E作 EP丄 BC 于点 P,则 EP 为点 E到直线 BC 的

12、距离. 在 Rt QPE 中,PE=QE sin / PQE=QE sin / AQC =QE sin ( 45 - / ABC ) =15X =3 . 5 7. 5 所以船会进入警戒水域. 20. (16 分)如图所示，有两条相交成 60角的直路 XX 和 YY ，交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY上，起初 甲离 O点 3 km，乙离 O 点 1 km，后来两人同时用每小 时 4 km 的速度，甲沿 XX 方向，乙沿 Y Y 的方向步行. (1) 起初，两人的距离是多少？ (2) 用 t 表示 t 小时后两人的距离； (3) 什么时候两人的距离最短？ 解 (1)设甲、乙两人起初的位置是 A、B,则由余弦定理: | AB| 2=| OA| 2+| OB| 2-2| OA| | OB | cos60 =32+12-2 X 3 X 1 X 1=7, | AB|= . 7 . 2 所以甲、乙两人起初的距离是 .7km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q， 则| AP|=4 t，| BQ|=4t， 当 0W t 3时， 4 2 2 2 |PQ| = (4t-3 ) + (1+4t) -2