随机过程知识点

1、随机过程复习第一章：预备知识§ 1概率空间随机试验，样本空间记为。定义L1设。是一个集合，F是。的某些子集组成的集合族。如果(1) F ；(2)若 AF，则 Al AF ；00(3)若 AnEF，n = 1,2,，则 U An E F；n _,则称F为.代数(Borel域)。1 , F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：(4) - F ；(5)若A)BF,则ABF；n n(6)若 AiE F，i=1,2,则 U A，AP A = F.i 4i -1i 4定义1.2设 , F)是可测空间，一 P(-)是定义在F上的实值函数。如果任意A ： =F,0乞PA<1；(2)

2、PI： i： 1 ；(3)对两两互不相容事件Ai,A?,(当个时，ACAj=O,有AdO 、 Q0P A 八 PA i三T则称P是。F上的概率，(门，F , P )称为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义1.3设(jF，P)是概率空间，G F ,如果对任意A,A*An-G，n=1,2,有：PA-PA,'i =1则称G为独立事件族。§2随机变量及其分布随机变量X，分布函数F(X)，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，CXt,t T是 独立的。§ 1 3随机变量的数字特征定义1.7设随机变量X的分布函数为F(X),若JXIdF(XA :，则称QQE(X)二 Jx

3、dF(X)为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为LebeSgUe-StieltjeS积分。方差，B/八-EX 丫 - EY 1为X、丫的协方差，而p_bxyxyVDX JDY为X、丫的相关系数。若？XY=O,则称X、Y不相关。(SChWarZ 不等式)若 EXA ：, EYA -，则EXY2 空 EXY2.§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10设随机变量的分布函数为F(X),称g E(e) = .； eMF x ,. t Z5随机过程复习为X的特征困数随机变量的特征函数具有下列性质： g(o)=Lg 胡,gH) =g(t)1(2 ) g 在一：，：上一致连续。(3)gM0

4、) 4E(X。若Xl,X2,.,Xn是相互独立的随机变量，贝UXX八Xn的特征函数g(t)=gi(t)g2gn，其中gi是随机变量X的特征函数，i=1,2,n.定义1.11设X=(Xi,X2,，Xn)是n维随机变量，t = (btn)R|贝U称n g(tr g(ti,t2, ,tn) =E(etx)=Eexp(i' tkXQ.k4 为X的特征函数。定义1.12设X是非负整数值随机变量，分布列1 2Pk=P(X=X0 k = «,则称 defP(S)=E(Sx)二、PkSk k=O 为x的母函数。§ 1.5 维正态分布定义1.13若n维随机变量X =(XdX2,Xn)

5、的联合概率密度为1 1j Tf(x) =f(xi,X2, Xn)= 一一exp(x a)B (x a)(2 巧 B2式中，a = (ai©2,，an)是常向量，B=(bj)n>(p是正定矩阵，则称X为n维正态随机变量或 服从n维正态分布，记作X N(a,B)。可以证明，若X N(a,B),则X的特征函数为1 g勺笛他,tn) =expiatiBt2 为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质 1 若 X N (a, B)则 E(Xk)= ，BxkXi=bki /m。性质2设X N(a,B), Y=XA，若ABA正定，则YN(aA,ABA)。即正态随机变量的线

6、性变换仍为正态随机变量。性质3设X=(X*X2,X3,X4)是四维正态随机变量，E(Xk)=O,k= 123,4 ,则E(XiX2X3XJ =E(XiX2)E(X3XJ E(XiX3) E(X2X4)E(XiX4) E(X2X3)§16条件期望给定Y=y时，X的条件期望定义为E(X | Y = y) = JXdF(XI y) = JXf(XI y)dx由此可见除了概率是关于事件 Y=y 的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。E(X|Y=y)是y的函数，y是丫的一个可能值。若在已知丫的条件下，全面地考虑X的均值，需 要以丫代替y, E(XIY)是随机变量Y的函数，也是随机变

7、量，称为X在Y下的条件期望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。性质若随机变量X与丫的期望存在，则E(X)=EE(X |Y) = E(X |Y = y)dFy(y)如果Y是离散型随机变量,则上式为 E(X) E(XIY= y)P Y = y y 如果Y是连续型，具有概率密度可刈,则(1)式为boE(X)E(X|Y = y)f(y)dy第二章随机过程的概念与基本类型 2.1 2.1随机过程的基本概念定义2.1设(门，F，P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t e有一个随机变量 X(t,e)与之对应，则称随机变量族X(t,e),t T)

8、是(门，F，P )的随机过程，简记为随机过程X,T。T称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程X(t,e),t T)解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的状态。X的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学的观点来说，随机过程 (X(t,e),t T是定义在Tx Q上的二元函数。对固定的 t，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程(X(t,e),t-T)的一个样本函数或轨道，样本函 数的全体称为样本函数的空间。 2.2 随机过程的函数特征Xt= X(t), t e T )的有限维分布函数族。有限维特征函数族：®= gti,正(日 1, H 2,.A

9、n) :ht,.,tnAT, r)Nl其中：ngtyM弓门2,门n) = E(exp Ax(tk)k=1定义 2.3 设 Xt= X(t), t e T )的均值函数 mc(t)def EX(t)，t T。二阶矩过程，协方差函数：Dx(t) =Bx(t,t)defEX(t) - mx(t)2,t- T相关函数:Rx(s,t) =EX(s)X(t)定义2.4设X(t), t £ T ，Y(t),t e T )是两个二阶矩过程，互协方差函数，互相关函数。 2.3 复随机过程定义2.5 设Xt,L T，Yi,t-T)是取实数值的两个随机过程，若对任意t-TZt=Xt+iY，其中,则称zt,

10、t-T)为复随机过程.定理2.2复随机过程的协方差函数B(Sit)具有性质(1)对称性:B(s,t) =B(t,s);(2)非负定性 2.4 2.4几种重要的随机过程、正交增量过程t2 乞 t3 ：t4 *定义2.6设幺tj - !是零均值的二阶矩过程，若对任意的ti :，有公t2 工 ti 氐 t4 一工 t3_L0 '则称二寸正交增量过程。随机过程复习 O BXAt)=R 家 s,t)=<yx(mi n(s,t)二、独立增量过程定义2.7设t,t三；是随机过程，若对任意的正整数n和匕：:：t2 :： .： :： tn.-,随 机变量工12上1,工13|2，工小飞是互相独立的，

11、则称乂 t ,t三八人；是独立增量过 程，又称可加过程。定义2.8设李t J .?是平稳独立增量过程，若对任意S ： ： ： t,随机变量工t_J：S的分布仅依赖于t-s ,则称汽t1三j ；是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定义2.9设:X t ,r 为随机过程，若对任意正整数n及t讥2,：tn，P X(t.) =Xi,Xtnj =Xnd 0，且其条件分布P ： X(tn) = XnlX ti = Xi ,Xtn=XnJ“= PIX (tn) = Xn | Xtn =Xnj » (2.6)则称八X t ,T ?为马尔可夫过程。四、正态过程和维纳过程定义2.10设:X t ,r是随

12、机过程，若对任意正整数n和ti,t2AA=T,( X L ,X t2Y, X tn)是n维正态随机变量，则称IX tT?是正态过程或高斯过程。定义2.11设W(t),: :： ： t ：为随机过程，如果(1) W(0) =0 ；(2)它是独立、平稳增量过程；对一s,t，增量 W -W(S)N0,匚2|t_s| , ;2。，则称 W ,： t：:'为维纳过程，也称布朗运动过程。定理2.3设W(t), - ： ： ： ： ： t ：,是参数为；%的维纳过程，则(1)任意1(_,： ： ),W(t)-N0,zi 2|t| ;(2)对任意：a : s,t ：,E (W(S) -W(a)(W(t

13、) - W(a) .;min(s - a,t - a),特别:Rw s,t-;2min s,t。五、平稳过程定义2.12设八Xt J T人是随机过程，如果对任意常数和正整数Q当。，tn-j -，tn 时，工。Et2,.X t与乂 E ，乂 t< /，工tn,有相同的联合分布，则称/Xt ,t-T ?为严平稳过 程，也称狭义平稳过程。定义2.13设八X t ,t-T ?是随机过程，如果(1) nXt,t Tl是二阶矩过程；(2)对于任意小，mit-；JHtL常数；(3)对任意的s,t 一，RyS,t = Flxt -S，则称IX t ,r Tf为广义平稳过程，简称 为平稳过程。若T为离散集

14、，则称平稳过程AXt ,rT为平稳序列。第三章泊松过程§3 .1 泊松过程的定义和例子定义3.1计数过程随机过程复习定义3.2称计数过程X(t),tO为具有参数。的汨松过程，若它满足卜列条件(1)X(0)= 0 ；7随机过程复习-X是独立增量过程；(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数 t0的泊松分布，即对任意 s,tO,有PX(s t) - X(S)= n M 普，(2.)(3.1)注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E X(t)H t。由于，二E X例 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称 -为此过程的速率或强度。定义3.3称计数过程(X(t),t_O

15、)为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件)/ )/ / 12 3 ztx /X(O)= 0 ;X是独立、平稳增量过程；X(t)满足下列两式.：(3.2PX(t +h) X(t) =1=Ah +o(h),PX(t h) _X(t) _2 =o(h)定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的。3.2泊松过程的基本性质、数字特征设X(t),t_O是泊松过程，mx(t) =E(X(t) = t2二 x(t) =D(X(t) = tRx(s,t) =E(X(s)X(t) = - s( -t1)Bx(SitA Rx(s,t) -mx(s)mx(t) = S 一般泊松过程的有 Bx(s3t) = min(s

16、,t)。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为Qx(u) = E _ G'ux"t>=exp M® 1)二、时间间隔与等待时间的分布Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间，Tn是第n个时间间隔，它们都是 随机变量。定理3.2设X(t),t -0)是具有参数，的泊松分布，Tn(n1)是对应的时间间隔序列，则随机 变量Tn(n =1,2,)是独立同分布的均值为1/的指数分布。定理3.3 设(Wi,n 一 1 )是与泊松过程(X(t),t-0)对应的一个等待时间序列，则 Wn 服从参数为n与的|分布，其概率密度为1 -Z (批)2 4 “Ag 托一1

17、, t KOfwn(t)F (T0, t<0三、到达时间的条件分布定理3.4设X(t),t 0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次到达时间 IV： 一 W2： ：wn与相应于n个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分 布。§ 3.3非齐次泊松过程定义3.4称计数过程X一 0)为具有跳跃强度函数的非齐次泊松过程，若它 满足下列条件:(1) X (0) = 0 ；X是独立增量过程；11PX(th)-X=1(t)hu(h)PX(t +h) X(t) >2 = o(h) 非齐次泊松过程的均值函数为：tmx(t) = o (s)dst有PX(t s) _

18、X(t) =n定理3.5设X(t),t _0是具有均值函数mx(t) = o - (s)ds的非齐次泊松过程，则mx (t S)-mx (t)Fn! exp -rnx(t S) -mx(t), (n_0)P X# =n二|取四 exp -mx(t)Jn!上式表明P (X(t- s) -X(t) =n)不仅是t的函数，也是S的函数。3.4复合泊松过程定义3.5设(N(t),t30)是强度为九的泊松过程，X，k=1,2,是一列独立同分布随机变 量，且与N(t),t _0)独立，令Nx(t)A Yt-O,k生则称(X (t), t-0)为复合泊松过程。N定理3.6设x(t) =EYk t 3。，是复

19、合泊松过程,则 k(1)。X,tKC是独立增量过程；(2) X的特征函数gx(t)(u) =exp , tgY(u)-1，其中gY(u)是随机变量Yi的特征函数；是事件的到达率。(3)若 E(Y.则 EX(t)=:fcLtE¥, DX(t)=丸tE?.第4章马尔可夫链§ 4.1 尔可夫链的概念及转移概率-、马尔可夫键的定义定义1设有随机过程Xn, n-T,若对于任意的整数nT和任意的河,，岛，条件概率满足P Xn*=in*Xo=io,Xil,Xnf)=P Xn 1 = in 1 Xn = in 则称(Xn,n T)为马尔可夫链，简称马氏链。二、转移概率定义2称条件概率Pi(

20、n ) = P Xn+=jX=i为马尔可夫链Xn, n-T)在时刻n的一步转移概率，其中i, j I ,简称为转移概率。定义3若对任意的i, j I，马尔可夫链(Xn, n-T)的转移概率Pij (n)与n无关，则称马尔可夫链是齐次的，并记Pij (n)为Pij。定义4称条件概率Pr=P XmAj | Xm=i (i,jl,m 0, n1)为马尔可夫链Xm n.T)的n步转移概率,随机过程复习定理1 设Xn,n . T) 为马尔可夫链，贝!I对任意整数n - 0,0 二I : : : n 和i, j I，n 步转移概率Piy具有下列性质：(1) pg，PikPkn； k召(2) PWPikiP

21、kik2.Pkmj ；kl%3 km 迓(3)P(“4)Pm Pl定义5设Xn, n-T)为马尔可夫链，称Pj=P Xo=j和 Pj(n) = P Xn=j ,(jE I)为Xn, n-T的初始概率和绝对概率，并分别称Pj, j I和Pj( n),j-1为Xn, n-T)的初始 分布和绝对分布，简记为 Pj和 Pj (n)。定理2 设Xn,n . T)为马尔可夫链，则对任意F列性质：Pj(n)八PP网(2) Pj(n)八 P(n-1)Pij 旧(3) PT( n) =Pt(0)Po)(4) PT(n) = PT(n-1)P定理3设(Xn,n-T)为马尔可夫链，则对任意iiM, p(x ,X ,

22、X ) ppp p1 ='12 = 2 n='n J =L FiFii 1 rh12闵j I和n _1 ,绝对概率Pj (n)具有iI 和 n1 ,有PIn dnn_n§ 4.2 尔可夫链的状态分类一、状态分类假设Xn,M0是齐次马尔可夫链，其状态空间1= 0,1,2,，转移概率是Pi JJ I，初始分布为PjJJI。定义4.6如集合n:n- 1, Pi(n)o非空，则称该集合的最大公约数d =d(i) =G.C.D (n:pj(n)-0)为状态i的周期。女口 d 1就称i为周期的，如d =1就称i为非周期 的。(若对每一个不可被d整除的n，有pi”=o,且d是具有此

23、性质的最大正整数，则称d为状态i的 周期。)引理4.1如i的周期为d，则存在正整数M对一切n_M，有pg0。定义对i/Si记fij(°)=0jfij<L>P Xi JIXoH (4.15)fij(n)=p Xn = j,Xk r,k=1,2, ,n-1 |X°=i) , n_2fij八fi押nT称fw是系统在o时从i出发经过n步转移后首次到达状态j的概率，而加)则是在0时从i出发，系统 在有限步转移内不可能到达状态j的概率。我们将加和fj统称为首达概率(又13随机过程复习忸口白t卜穆怦丁 Us(1) O-#jfij-i,j,n(2) 首达概率可以用一步转移概率来

24、表示：fj) = Z Z .Z 所 Pia Pin 卫 il=i'2=j'n<Jb定义4.7若fii =1，则称状态i为常返的:若fii<l，则称状态i为非常返的。定义4.8如叫：，则称常返态i为正常返的；如可，则称常返态i为雯蜜返的，非周期的正常返态称为遍历状态。从状态是否常返如常返的话是否正常返，区 如正常返的话是否非周期等三层次上将状态 分为以下的类型：非常返态(f"v1)零常返态(iii=：)状太*i»、导大”正常返态(V)有周期G九非周堂版太(fii=1"期(d=1)-.遍历态frn>与P。有如下关系:定理4.4对任意状

25、态i, j，及1 _ 有n ：:，(n)Pij n(k) (n A)ij Pjj 音5 上)(k)Pjj-(4.16)1引理 4.2 G.C.Dn:n_ 1, p)(n>0 = GC.Dn:n_ 15 仙 C.常返态的性质及其性质定理4.5状态i常返的充要条件为Co7Pii(4.18)n=O如i非常返，则VPiinzO 1 - ii定理4.7设i常返且有周期d，则(4.26)(nd)nm Pii二丁.I其中Ji为i的平均返回时间。当 厂。.推论 设i常返，则i零常返im-Pyl。；屁用 i撕定理4.8 可达关系与互通关系都具有传递性，即 如果 i 一； j，j )k，则 i 一； k ;

26、如果 irk， j k ,贝 U i k。定理4.9如i i j ,贝u(1) i与j同为常返或非常返，若为常返，则它们同为正常返或零常返;(2) i与j有相同的周期。随机过程复习N 4.3状态空间的分解定义4.9状态空间I的子集C称为(随机)闭集，如对任意rC及八-C都 有PikO。 闭集C称为不可约的，如C的状态互通。马氏链Xn)称为不可约的，如其状态空间 不可约。引理4.4C是闭集的充要条件为对任意及k老C都有PikO,n2 1。称状态i为吸收的，如P=1。显然状态i吸收等价于单点集为闭集。定理4.10任一马氏链的状态空间I，可唯一地分解成有限个或可列个互不相交 的子集DGC,之和，使得

27、每一 7是常返态组成的不可约闭集。&中的状态同类，或全是正常返，或全是零常返。它们有相同的周期且f ik_1 ,i,k . C-n °D由全体非常返状态组成。自Cn中的状态不能到达D中的状态。定义4.10称矩阵(aj)为随机矩阵，如其元素非负且每i有Ya”二1。显然k步转移矩阵Pcy( pt)为随机矩阵。引理4.5设C为闭集，又G=( Pw) ,i,j e C,是C上所得的(即与C相应的)k 步转移子矩阵，则G仍是随机矩阵。定理4.11周期为d的不可约马氏链，其状态空间C可唯一地分解为d个互不相 交地子集之和，即d JC Grl Gr G=| 尸 |S(4.31 )r =0且

28、使得自Gr中任一状态出发，经一步转移必进入Gr中(其中Gd=Go )。定理4.12设Xn, n_0)是周期为d的不可约马氏链，则在定理4.11的结论下 有(1)如只在时刻0,d,2d,上考虑Xn，即得一新马氏链，其转移阵PPM,对 此新链，每一 Gr是不可约闭集，且Gr中的状态是非周期的。(2)如原马氏链Xn常返，Xnd)也常返。§ 4.4 的渐近性质与平稳分布-、Pm的渐近性质定理4.13女叮非常返或零常返，则limPim=0, rl(4.33 )n-J推论1有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状 态，从而不可约的有限马氏链必为正常返的。推论2如马氏链有一个零

29、常返状态，则必有无限多个零常返状态。定理4.14女叮正常返，周期为d,则对任意i及。乞r乞d.1有limPijj(r)Ad( 4.37 )推论设不可约、正常返、周期d的马氏链，其状态空间为C,则对一切i,j C,有lim (p)nL ： 0W_,如i与j同属于子集Gs(4.38)0,否则,d1其中C=U Gs为定理4.11中所给出。S-0(4.39)特别,如 d=1 ,则对一切 i, j 有 lim Pjn)n_jMCJ定理4.15对任意状态i,j,有Q若j是非常返或零常返lim -Z Pjk)=*北.日一日十火、仁H普韦右j是正?吊返推论如(Xn)不可约,常返,则对任意ij ,有lim八 p

30、(k)11-ng，S =：时，理解_LAj jAj定义4.11称概率分布rj I 为马尔可夫链的平稳分布，若它满足二送”iPi召*(4.41 )Z 叫=1,兀 jZO.值得注意的是，对平稳分布f卬I,有二 j 八二 H(4.42)i召定理4.16不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布% j 1。推论1有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。推论2若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的，则不存在平稳分 布.推论3若二/1)是马尔可夫链的平稳分布，则1R(n) u i第五章连续时间的马尔可夫链§5 1连续时间的马尔可夫链定义5.1

31、设随机过程(X (t),t N 0)，状态空间l= n, n-0若对于任意Ox讥2 n： t及U2,岛1有PX(tm) Gn dX 6)=il,X(t2)% ,X(tn)Mn= PX(tn 十)=岛 | X(tn) = in(5.1)则称XNO为连续时间的马尔可夫链。 记(5.1)式条件概率的一般形式为Pj(s,t) = PX(s+t)=j 1 X(s)=i(5.2)定义5.2若(5.2)式的转移概率与S无关，则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐 次的转移概率，此时转移概率简记为Pj(s,t) = PMt)(53)其转移概率矩阵简记为P(t) ng (t),(i,j-l ,t_0)o以下的讨论

32、均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率。为方便起见，简称 为齐次马尔可夫过程。定理511齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：(I)Pii(t),O； (2)( Pj(t)=1 ；jA(3) Pij(t - s)A P.k (t) Pkj(S)其中(3)式为马尔可夫过程的ChaPman-Kolmogorov倘称C-K)方程。(1)，(2)由 概率定义及a的定义易知，下面只证明(3)。定义513对于任一 t三0,记Pj(t) = PX(t)= j, Pj= Pj(O)=PX(0)=j, jE I分别称Pj,j 1和PjJ 1为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布。性质5

33、.1.1齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质：(1)Pj(t)Z0;(2)送 R=1;(3)R(t)7PPij ; Pj(tP PM)；旧旧(5) PX(tl)=il,X(t2)=i2, ,X(tn)=in二Z P 编角、)际住 2-1 1)Pi(tn-tn j )§5.2柯尔莫哥洛夫微分方程引理5.2.1设齐次马尔可夫过程满足正则性条件，则对于任意固定的i,j IP"是t的 一致连续函数。定理5.3设Pij是齐次马尔可夫过程的转移概率，则下列极限存在1 Pm (At)(1 )妁 0=Vj =qjj ZPij(: t) . Monq”J我们称qij为齐次马

34、尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率或跳跃强度。推论对 有限齐次马尔可夫过程，有q 二Zq 心52)j式定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程)假设a qqii,则对一切i, j及t-0,有Pj二Z qk Pkj(Dqi Pij(D15.2.4 )k#1随机过程复习定理523(柯尔莫哥洛夫向前方程)在适当的正则条件下Pi(l)=» Pik(t)qq - Po (t)qjj(5.2.6)定理5.2.4齐次马尔可夫链过程在t时刻处于状态j e I的绝对概率Pj满足 如下方程：P；二-pj(t)qjj+f Pk(tq定理525设马尔可夫过程是不可约的，则有下列性质：(1)若它是正常返的，则极限

35、lim PMt)存在且等于二田I，这里二j是方程组FjqB¥R kqkjk=j£ 江j =1j迓的唯一非负解，此时称:,1 是该过程的平稳分布，并且有timPj(t- j(2)若它是零常返的或非常返的，则§ 5.3生灭过程定义设齐次马尔可夫过程(X(t),t_O)的状态空间为l= 0,1,2,.)，转移概率为Pj，如果'p,w(hh +o(h)(人 >0)P2(h) = »ih+0(h)(片=0,4。=0)I PM) =1 -(% + 片)h+o(h) Pu(h)=o(h) (|H | >2)则称(X (t), t-0)为生灭过程。其

36、中称为出生率，”称为死亡率。若骨,"为正常数)，则称(X(t),t-o)为线性生灭过程；若叫二0,则称(X(t),t-0)为纯生过程；若i =0，则称X(t),t-0为纯灭过程。第六章平稳随机过程§ 6.1 稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义1 .平稳过程定义§ 6.2 合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义设X,T和Y(t),t-T)是两个平稳过程，若它们的互相关函数EXY(t)及EYX(t)仅与.有关，而与t无关，则称X(t)和丫是联合平稳随机过程。 定理6.1设(X(t),rT)为平稳过程，则其相关函数具下列性质：1随机过程复习(I) Rx(O)-

37、O； (2) Ey<=Rx(-) ； (3)Rx(-)ARx(O);(4) Rx()是非负定的，即对任意实数LU &及复数ai,a2/,an，有'' Rx(ti5tj)3iaj_0i，F(5)若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t T),则Rx(J = RxC t);(6)若X是不含周期分量的非周期过程， 当ET °。时，X与X(t +斤)相互独立， 则Him RXC)= mx mx 22 Rxy(E)兰 Rx(O)Ry(0), Rxy(D 兰 Rx(O)Ry(0)； RxYGARfX(J§6.3 随机分析一、收敛性概念1 '

38、;处处收敛对于概率空间(IJ； , P)上的随机序列Xn,每个试验结果e都对应一序列。Xi(e),X2Xn,(6.2)故随机序列Xn实际上代表一族(6.2)式的序列，故不能用普通极限形式来定义随机序列的收敛 性。若(6.2)式对每个e都收敛，则称随机序列 Xn处处收敛，即满足X = nX mil n 其中X为随机变量。2、以概率1收敛若使随机序列Xn(e)满足 lim Xn=X(e) 的e的集合的概率为1 ,即P e:limXn(e) =X(e) =1 n_%C我们称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量x(e),或称(Xn (e)几乎处处收敛于X(e),记作Xn，aAeT X。

39、3、依概率收敛若对于任给的£ >0，若有lim P |Xn(e) -X(e)|- ； ) =0, n_.则称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e),记作Xnpr X。4、均方收敛设有二阶矩随机序列X"和二阶矩随机变量X,若有 n12lim E| Xn-XI = 0 (6.3)成立，则称Xn均方收敛，记作Xn-) X。注：(6.3)式一般记为 Li.m Xn=X 或 LimXn=X。 n5、依分布收敛设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(X)， 在x的分布函数F(x)的每一个连续点处，有limCFn(X) = F(X)

40、1则称一阶矩随机序列XQ 依分布收敛十一阶矩随机变量 X,归作Xn-TX对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：(1)若 Xn mA X，则 Xn p > X(2)若 X n 、 X，则 X n 7 X(3)若 Xn-p > X，则 Xn-d > X定理2二阶矩随机序列XQ收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为2Ijm E| Xn-Xm| rO n_.定理3设Xn , Yn , Zn都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量， Cn 为常数序列, a，b，C 为常数。令 Li.mXn = X，l.i.mYn = Y，I j.mZn = Z，l.i.mcn = c。贝 U(1) Li

41、.mcn = lim Cn =C ;n)PC(2) L =U ;(3) Ij.m(cnU) =cll ;(4) lj.m(aXn bYn) = aX bY ;(5) lim EXn = EX = ELi.mXn； nAA nn(6) lim EXnYj = ExY =E(l-i mXn)(l-i.mYm)；特别有nim： ： E|XnP =E | X | 2= E | l i.mXn | q。定理4设XQ为二阶矩随机序列，则X"均方收敛的充要条件为下列极限存在nAEIXnXm °、均方连续定义设有二阶矩过程(X(t),t - T,若对to - T ,有2忸 E |

42、 X(lO+h)-X(to) | =° ,则称X(t)在t。点均方连续，记作Li mX(b+h) = X(t。)。若对T中一切点都均方连续，则h称X(t)在T上均方连续。定理(均方连续准则)二阶矩过程(X(t),t-T)在t点均方连续的充要条件为相关函数RxSa)在点(t,t)处连续。推论若相关函数Rx (L,t2)在(t,t),rT上连续，则它在TxT上连续三、均方导数X(t),满足定义7设X(t),r T)是二阶矩过程，若存在一个随机过程X(t h)Xh-X (t) | 2=0则称X在t点均方可微，记作v dX(t) . X(t h) XX)X (t)=' / = 1.1

43、 m -dt hT h并称X(D为X在t点的均方导数odX类似的有X或一dt2称lim lRX fl +h32 + h2)_Rx(t1*M，2)h2 ± hhRx (11,12+ h2) RX (V X2为RX(tl &)在(L&)的广义二阶导数，记为I,:“RX/,/ tijt2定理6均方可微准则二阶矩过程X6,t-T在t点均方可微的充要条件为相关函数Rxg&)在点(t,t)的广义二阶导数存在。推论1二阶矩过程X,t-T在T上均方可微的充要条件为相关函数Rx (ti上)在(t,t),t T上每一点广义二阶可微。推论2若Rx (匕上)在(t,t),t-T)上每

44、一点广义二阶可微，则 啊曲在T上以及 dtRx 32)JtlFt2在T T上存在，且有dmx (t) d 曰X(t)dt 一 dt二 EX (t);EX(t)XA> =EX(tJXAy; HiJ%F EX(ti)X(tA)HEX(ti)X(tA; ct2 ct2fRx(t,t2)CtlCt2RxU = EX (ti)X(t2) CtAti四、均方积分定乂 8如果.:n > ° 时，Si 均方收敛于 S ,g g | m3E | Sn-S | 2=0，则称 f(t)X(t)在a,b上均方可积，并记为bn二.a f(t)X(t)dt =lj.nAAf(ti)X(ti)(tAt

45、ij)称此为fX在区间a,b上的均方积分。定理7(均方可积准则)f (t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为bbaa f (tl)f(t2)Rx(tl,t2)dtldt2存在。特别的，二阶矩过程X(t)在a,b上均方可积的充要条件为Rx (匕&)在a,ba,b上可rm 一设f(t)X在区间a,b上均方可积，则有 积。定 bb(1)Eaf(t)X#dt = .af(t)EX(t)dtbb特别有EM X(t)dt = J EX(t)dtaa随机过程复习 EJf(t)X(t)dt 订 f(t2)X(t2)dt2=j af(tl)f(t2)Rx(tl,t2)dtldt2b2 bb特别的

46、有 E | X(t)dt | =Jf Rx(ti,t2)dtidt2oa aa定理9设二阶矩过程X,T在a,b上均方连续，则Y(t) = aX(.)d, (a 红乞 b)在均方意义下存在，且随机过程X6,rT在a,b上均方可微，且有Y(t) = X(t) 0推论设X。)均方可微，且X均方连续，则X(t) -X(a) = X (t)dt特别有X(t)-X(a) = aX(t)dtS平稳过程的各态历经性定义9设<X(t),- ： ： a< ： ： )为均方连续的平稳过程，则分别称T.一7 17.1 ,cX(t) xlg m 齐 JX(t)dt, cX沏I) >=lg m J2iX

47、(t)X(tE)dt为该过程的时间均值和时间相关函数。定义10设X(t),.：t:： ： ： 是均方连续的平稳过程，若：X(t)PrAE(X(t)，即11 irX(t)dt =mx1.1. mjc 2T以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。1 T1.1. m X(t)X(t-)dt=Rx(-)t- 2T J以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定理10的充要条件为定义11如果均方连续的平稳过程(X(t),t T)的均值和相关函数都具有各态历经性, 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。设X(t),.二讥是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性1 2T2(6.9)吗丁一 -2T 1 .计RxG)-mxM=O .2T J定理 6.11 设X，-二：t 性的充要条件为)为均方连续的平稳过程，则其相关函其中Hm± 2T：2T(6.15)B( I)=E X(t)X(t -) X(t 1 ； X(t- - J 定理6.12对于均方连续平稳过程X,0乞t，等式 l.i.mX j= mx(6.16)以概率1成立的充要条件为T ( %(W0 T Jlim11T -2T、若X(t)为实平稳过程，则上式变为1 T.li