第二章线性方程组的解法

1、第二章 线性方程组的解法基本解法迭代法和直接法。 直接方法大家已学过，我们重在分析程序写法。§1 雅可比（Jacobi）迭代法例： 求解线性方程组分离出、，构造迭代取初值得到近似解 准确解为思路和方程迭代解法一样 极限存在 极限为根线性方程组矩阵 当 极限存在就是方程组的解，本方法也适用于非线性方程组迭代 极限存在 极限即为解程序思想：定义数组 A（n,n） X0(n) X(n) B(n) 读入组数 A B X0 (初值)Do 100 k=1,10Do 200 i=1,n 三重循环200 CONTINUEDO 300 i=1，n300 X0（i）=X(i) 100 WRITE（*，*

2、）X Stop End51 2 3 4 5 7 8 9 2460§2 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法对雅可尔迭代稍加改进 就可得到更有效的计算公式Jacobi迭代中，第次迭代时，都用的是第次迭代结果例如 在此之前 到已经迭代出第k+1次结果。我们用已有的到新值，可改造为高斯-塞德尔迭代法程序更简单：定义数组 A（n,n） X0(n) X(n) B(n) 读入组数 A B X0 (初值)Do 100 k=1,10Do 200 i=1,n 三重循环200 CONTINUEDO 300 i=1，n300 X0（i）=X(i) 100 WRITE（*，*）X Stop End

3、§3 超松驰迭代法 我们要解的方程组是 矩阵形式 有初值 有一残余误差 将b的残余误差用来修正X，数学家也很伟大当极限，极限即解 为什么收敛极限即解？迭代公式： 注意可以，且必须含有该项或 以上两式迭代有何异同？当时 w减少 倍 不影响思想可以证明 保证迭代收效 必须要求 低松弛法 超松弛法 迭代法的收放性定理 所有迭代都可写成矩阵形式 对任意初值问差及任意 迭代收放的充要条件是： 为方阵B的特征值 定理（充分条件） 对任意收敛对角元点优 对间钱上元素绝对值大于同行元素绝对值之和。AX=b 则Jacobi Gauss-Seidel都收敛。§4 高斯消去法 消去中的 消去中的

4、 即消第i行的 经过上式得零。或 直接让为零。 经过k-1次消元第k次 消 用第k个方程消其下边方程中的 消第i个方程中的 消第i个方程中的时第i个方程中各项相应变化当j=k时或 消第i个方程中的时第i个方程中各项相应变化 强行让DO 100 k=1, n-1DO 200 i=k+1, nDO 300 j=k,n300 CONTINUE200 CONTINUE100 CONTINUE回代过程 程序结构：DO I=N-1，1，-1 T=0.0 DO J=I+1，N T=T+ ENDDOENDDO列主元素消去法高斯消去法 碰到为零或很小时，消去无法进行。人手工问时无所谓，为零更好该方程省得去消，但

5、程序计算就不能进行列主元素消去 调换方程顺序 注意调换方程顺序并不会改变未知数顺序例 ： 每次作消去时，判断不为零的剩余方阵第一列水最大。比如做第k次消元（消）剩余k 乘 k 矩阵，则判断谁最大。判断大小，只记最大位置比如最大， 则用它去消剩余的。为了程序设计方便我们将第m个方程移到第i个，一次下移。或更简洁地将第i个与第m个进行对换。必需作 注意：X矩阵不用变化。为什么？调整方程顺序，未知数的位置并不变。这样一来程序上要做一些变化，在消之前加判断大小和跳换位置加在*处 回代过程不变DO 100 k=1, n-1*DO 200 i=k+1, nDO 300 j=k,n300 CONTINUE200 CONTINUE100 CONTINUE回代过程不变完全主元素消去法在A中找最大元素， 将该元素换到第一行第一列。 这样方程调顺序未知数亦调顺序。做到第k