第三章矩阵的初等变换与线性方程组

1、章节Ch3课题矩阵的初等变换与线性方程组计划课时数10授课班级04级计算机系专升本10-13教学目的能熟练进行初等变换；掌握初等矩阵、初等矩阵与初等变换的联系；理解矩阵等价的概念；熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩阵秩的概念；掌握其求法；掌握秩的一些基本性质；理解线性方程组的有解判别定理；掌握求通解的第一种方法。教学重点用初等变换求逆矩阵的方法；理解矩阵等价的概念；秩的概念及求法；线性方程组的有解判别定理；求通解的第一种方法。教学难点初等矩阵与初等变换的联系；秩的性质及其证明方法；计算准确性的保证。教学方法和手段 讲授、习题课、答疑备注教 学 内 容批注第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

2、 本章先引进矩阵的初等变换和初等矩阵，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质讨论线性方程组无解、有惟一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法。§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求解逆矩阵以及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子。1、 引例求解线性方程组 （1）2、 初等变换（行、列）定义 设是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1） 交换的第行和第行的位置，记为；（2） 用非零常数乘以的第行各元素，记为；（3） 将的第行各元素的倍加到第行对应

3、元素，记为。若把定义中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；。矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。例如：教 学 内 容批注 值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵经过、变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵复原为矩阵。3、矩阵的等价定义 如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称与矩阵行等价，简记为。如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称与矩阵列等价，简记为。如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称等价于矩阵，简记为。由定义可

4、以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质： (1) 反身性：；(2) 对称性：则；(3) 传递性：且，则。应用初等变换来求解引例，对照以下过程4、阶梯形矩阵、行最简矩阵、等价标准形（1）阶梯形矩阵（2）行最简矩阵：非零行的第一个非零元素为1，并且这写非零元所在列的其他元素为0（3）等价标准形定理任意矩阵都与形如的矩阵教 学 内 容批注 等价。矩阵称为矩阵的标准形。（数满足）证分两种情况讨论：（） 若则，结论显然成立；（） 若则总可以通过第一种初等变换将变换成左上角位于第一行第一列的元素不为零的矩阵。故不失一般性，不妨假设，对施行初等变换如下：令若则已经是标准形了。若同样不妨可以假设，继续对进行初等

5、变换，得教 学 内 容批注再令重复以上步骤，必可得到矩阵的标准形。特别，当时，的标准形为 当时，的标准形为当时，的标准形为例：把化成行最简形，其中教 学 内 容批注§2 初等矩阵一、初等矩阵定义 单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵，它们分别为：1、对调两行或者两列把单位矩阵中第，两行对调（），得到初等矩阵：用阶初等矩阵左乘矩阵，得=教 学 内 容批注很显然，其结果相当于对矩阵施行第一种初等行变换。类似上述做法，以阶初等矩阵右乘矩阵，其结果相当于对矩阵施行第一种初等列变换。2、 以数乘某行或者某列 以数乘单位矩阵的第行（得到初等行矩阵： =

6、由矩阵的乘法，容易验证：以左乘矩阵，结果相当于以数乘的第行，同理可证，右乘矩阵相当于数乘的第列。 3、以数乘某行（列）加到另一行（列）上去。 以数乘单位矩阵的第行加到第行上（）（或以数乘单位矩阵的第列加到第列上（），得到初等矩阵：教 学 内 容批注不难验证：以左乘矩阵，结果相当于把的第行乘数加到的第行上，右乘矩阵相当于把的第列乘数加到的第列上。综上所述，得到矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系如下：二、初等矩阵的应用定理对矩阵，施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵。显然，初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵，容易验

7、证：，。定理 矩阵A可逆A可分解成若干个初等矩阵之积 （证明过程要讲一下）推论 矩阵A可逆A与单位阵等价； 推论 设和都是矩阵，则等价于的充分必要条件为存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得教 学 内 容批注 三、求逆方法设矩阵可逆，则由推论知存在有限个初等矩阵，使得 =则 成立此式表明可经一系列初等行变换变成；另外 也成立此式表明可经这同一系列初等行变换变成。若构造一个矩阵，则有 =即对矩阵作初等行变换，当变成时，原来的就是了。当为可逆矩阵时，用初等行变换求逆矩阵的方法可简记为 例 用初等行变换法求矩阵=的逆矩阵。 教 学 内 容批注在矩阵方程中，如果是可逆阵，则有唯一解： 若构造矩阵，同上述讨论

8、可得：当对其进行初等行变换时，化其中的为时，就变为了。即例 用初等行变换解矩阵方程，其中 ， 。 另外，如果求，则可对矩阵作初等列变换，使 即可得到，不过通常都习惯作行变换，那么可该为对作初等行变换，使得 即可得到，从而求得教 学 内 容批注§3、矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，它反映出该矩阵所代表的线性变换某种特性的不变量。利用它，可以证明矩阵标准形的唯一性，在线性方程组的理论研究中也有很重要的作用。 1、阶子式、最高阶非零子式 （1）阶子式 定义 在矩阵中，任取行和列，由这些行和列交点上的个元素按原有顺序构成的一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式。 显然，矩阵的阶子式有

9、个。 （2）最高阶非零子式定义 矩阵中，有一个阶子式不为零，而任意阶子式均为零，称为矩阵的最高阶非零子式，称数为矩阵的秩，记为并规定零矩阵的秩为0。 2、矩阵的秩的有关结论 （1）有一个阶非零子式；（2）的所有子式均为零。 由行列式的性质可知，当矩阵中所有阶子式都为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此的秩就是中不为零的子式的最高阶数。（3）满秩矩阵和降秩矩阵（对于方阵的分类） 3、矩阵的秩的求法（1）子式判别法即用定义判别：求最高阶非零子式。适用于低阶矩阵或特殊矩阵。教 学 内 容批注 例1：求A、B的秩，其中，2。3（2）利用初等变换化为阶梯形矩阵常用方法例2：求A的秩，并求A的一个最高阶非

10、零子式，其中。3 （3）利用三秩相等定理转为向量组的秩下一章介绍 4、秩的一些基本性质及证明a、；b、c、 证明提要：等价矩阵具有相同的标准形注：其逆不真，加上条件为同型矩阵，则逆命题为真 d、可逆初等变换不改变矩阵的秩 e 、分别对中的作列变换化为，可得中仅有个列非零，中仅有个列非零，故中仞有个列非零，所以第二个不等式成立教 学 内 容批注f、g、下节证明h、下章证明§4、线性方程组的解设线性方程组为 其中，当时，称为非齐次线性方程组；当时，称为齐次线性方程组若线性方程组有解，则称该线性方程组相容，否则称为不相容本节我们要研究非齐次线性方程组相容的充要条件，以及相容时，方程组有唯一

11、解还是有无穷多解 1、有解判别定理及证明定理 元线性方程组 （1）无解的充分必要条件是 （2）有惟一解的充分必要条件是； （3）有无限多解的充分必要条件是。证明：先用初等行变换把与化简设，则中必有一个不等于零的阶子式，可通过改变方程位置以及未知量重新编号，将它调至的左上角，显然这样的变换不改变方程组的相容性所以，可不妨假设的左上角的阶子式不等于零，它所对应的阶矩阵是可逆矩阵从而可仅仅利用初等行变换将该阶子阵变为阶单位矩阵对增广矩阵的前行施行相应的初等行变换可得教 学 内 容批注再继续做适当的初等行变换可得矩阵其中C为矩阵，D为矩阵，显然由于，则cij=0 (i=r+1，m；j=r+1，n)若不

12、然，则有某个(，)，则C中有阶子式教 学 内 容批注这与矛盾于是C中右下角的(mr)×(nr)子阵为零矩阵，进而对的后行施行适当的初等行变换，有 其中当dr+1，dm全为零时，d=0；当dr+1， dm不全为零时，d0而且有 矩阵对应的线性方程组为 方程组*与原方程组同解由此，我们可给出充要条件的证明必要性：设方程组相容，于是方程组×也相容，则必须d=0易得 充分性：设，于是d=0，则方程组*有解所以原方程组也有解，且解可表示为 教 学 内 容批注 *（1）当时，线性方程组无解；（2）当=时，由*式得，方程组有唯一解 x1=d1，x2=d2，xn=dn； (3)当时，在*式中xr+1，xn作为自由未知量，当任意给定一组数时，由*可相应得到未知量的值，从而得到方程组的一个解因此，这时方程组有无穷多解，这些解的全体，即方程组的通解可表示为其中为任意常数定理给出了线性方程组的定性理论，而其证明则提供了求解相容线性方程组的方法即对增广矩阵施行适当的初等行变换，若， 教 学 内 容批注则找出不等于零的阶子式，并使对